2026-2027学年高二上学期数学期中自编模拟试题

2026—2027学年高二数学上学期期中自编模拟试题 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）过点，的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 3．（本题5分）若直线m被两平行线：与：所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设的方向向量为的方向向量为.若，则等于（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．（本题5分）重庆市巫山中学学校大门（如图①）的形状为中国古代数学著作《九章算术》中记载的几何“曲池”，该几何体是上、下底面平行且均为扇环（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体（图②），底面，底面扇环所对的圆心角为90°，大门的高为6米，底面扇环对应两个圆的半径分别为12米和10米，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．（本题5分）如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，则存在点使得（    ） A． B．与平面所成角为 C． D．二面角的大小为 8．（本题5分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）关于直线，下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 10．（本题6分）如下图，正方体中，为线段上的动点，平面，则下面说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．已知为中点，当的和最小时， C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大. 11．（本题6分）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）点关于直线对称的点的坐标是______． 13．（本题5分）已知直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为______. 14．（本题5分）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为_________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，在平行六面体中，，，，，设，，． (1)用、、表示、，并求； (2)若点为线段的中点，点为线段的中点，判断点、、、四点是否共面并说明理由． 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形且垂直于底面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 17．（本题15分）已知平面内三点，，，为坐标原点． (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点， ①求面积的最小值及此时的方程； ②求的最小值及此时的方程． 18．（本题17分）已知圆过点，，. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求该切线方程. 19．（本题17分）椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)斜率为的直线与交于不同于点的两点，直线分别与轴交于点． （ⅰ）设直线与轴交于点，且，为坐标原点，求的面积； （ⅱ）若关于原点对称，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年高一数学上学期期中自编模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A C D B AB ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据两点求解直线的斜率，即可求解. 【详解】，的斜率为, 故直线的倾斜角为， 故选：C 2．D 【分析】根据题意，利用空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：D. 3．A 【分析】可设直线m的方程为，根据题设条件可得关于的方程，从而可求直线的倾斜角. 【详解】因为平行直线截、的线段总是相等，故可设直线过原点. 若直线的斜率不存在，此时直线的方程为：， 此时直线截、的线段长为，不合题意. 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 由可得， 由可得， 故直线截、的线段长为， 解得， 因为，， 故选：A. 4．C 【分析】利用直线垂直，方向向量垂直，数量积为0即可. 【详解】因为，所以， 则有，所以，即. 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间直线垂直，方向向量数量积为，属于基础题. 5．A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，则，， 所以， 又因为异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A. 6．C 【分析】由得焦点三角形为直角三角形，结合勾股定理与椭圆定义可得，再由面积公式可得齐次方程，进而求出离心率 【详解】由得，则， 由椭圆定义可知：， 所以，即， 所以， 又，所以，即， 故E的离心率为. 故选：C. 7．D 【分析】假设，结合线面垂直判定定理证明面，由此得到，推出矛盾，确定A错误，建立坐标系，计算与平面所成角，判断B，计算,判断C错误，求二面角的大小，判断D. 【详解】对于A：由是等腰直角三角形，可得 因为，所以，若，， 则面，因为面，所以，即 与矛盾，A错误； 以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系 则，，设点， ∵ ，， ∴  ，， ∴ ，， ∴ ，， 设，，则， 设平面的法向量为，则 ，即， 取，可得平面的一个法向量为， 又， ∴ ， 若与平面所成角为，则 则，可得，与矛盾，B错误， ∵ ， ∴ ， ∴ ，所以不存在点满足，C错误， ∵ 平面的一个法向量为， ∴ ， 令，则， ∴   ， ∴   ，解得（-1舍去）， 所以存在点使得二面角的大小为，D正确 故选：D 8．B 【分析】由对称性得到平行四边形为矩形，根据得到，求出，上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故，从而得到，得到答案. 【详解】由对称性可知，四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形为矩形， ，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得，即， 故，， 由得， 故，，解得， 上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故， 所以，即，所以，解得， 所以离心率的取值范围是 故选：B 9．AB 【分析】判断A，求得直线斜率可得倾斜角；判断B，由截距定义计算；判断C，作出图象，根据图象判断；判断D，由直线平行的条件判断. 【详解】直线可化为， 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为2，故B正确； 对于C，作出直线的图象如下：    由图象可知直线经过第一、二、三象限，故C错误； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 故选：AB. 10．ABC 【分析】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误； 对于B选项，将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断B选项的正误. 对于C选项，利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误； 对于D选项，证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断D选项的正误； 【详解】对于A选项，设正方体的棱长为2，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点， 平面，则为平面的一个法向量，且，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确； 对于B选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示： 若最短，则、、三点共线， ，，B选项正确. 对于C选项，设平面交棱于点，点，， 平面，平面，，即，得，， 所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，， 而，，且， 由空间中两点间的距离公式可得，，， 所以，四边形为等腰梯形，C选项正确； 对于D选项，当与重合时，连接、、、， 在正方体中，平面，平面，， 四边形是正方形，则，，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为. 设、、、、、分别为棱、、、、、的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，D选项错误； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决，针对立体几何中线段长度和的最小值问题，可以通过将直线所在两个平面延展成一个平面，然后找到三点共线的位置即为取得最小值的位置. 11．ABD 【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项. 【详解】设动点，则由得：， 即， 化简得：，即，所以A选项正确； 所以点轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确； 又，和点轨迹的圆心都在轴上，且， 所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误； 又， 因为（）， 所以（）， 则，所以D选项正确； 故选：ABD. 12． 【分析】设点关于直线对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标是， 则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标是. 故答案为： 13． 【分析】直线l过定点，曲线表示以O为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案. 【详解】直线l：，得，可知直线l过定点， 如图，曲线表示以O为圆心，1为半径的上半圆， 当直线l与半圆相切时，，解得， 曲线与x轴负半轴交于点，， 因为直线l与曲线有两个交点，所以.    故答案为：. 14． 【分析】将圆上存在两点使得为等边三角形，转化为圆心到点的距离满足几何不等式；利用切线构造直角三角形，结合三角函数建立的范围，代入坐标解二次不等式得到横坐标取值范围. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，由图形对称性可得， 过作圆的切线，切点为，连接、，则， 又，则，即， 也即， ，整理得， 解得， 即点的横坐标的取值范围为. 15．(1)；； (2)点、、、四点共面，理由如下： 因为点为线段的中点，所以， 因为点为线段的中点，所以， 由（1）得， 若点、、、四点共面， 则存在唯一实数、，使得 所以， 所以，解得， 所以，所以点、、、四点共面. 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可求得，，进而利用，可求； （2）假设点，，，四点共面，则存在唯一实数，使得，进而计算可得结论. 【详解】（1）. . 又因为， ， ， 所以 ， 所以. （2）略. 16．(1)如图所示，取中点，为等边三角形，， 又面垂直于底面，交线为，得面， 又面. 底面为直角梯形，，， ，，， 所以，，， 所以，得， 又，面，得面，面，所以. (2) 【分析】（1）先证，再由线面垂直的判定定理证明面，即可得证； （2）建系，由面面角的向量求法，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）由（1）知面， 不妨设，则， 以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，， ，，； 设平面的一个法向量为， 则，，可取； 设平面的一个法向量为， 则，即，可取. 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17．(1) (2)① 面积最小值为12，方程为；② 最小值为12，方程为 【分析】（1）求出直线，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线的斜率范围； （2）①设直线的方程为截距式，然后结合基本不等式代入计算，即可得到面积最值；②由题意直线的方程为，求出， 两点坐标，则，然后利用基本不等式求解最小值及直线的方程. 【详解】（1）因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. （2）①设直线的方程为， 将代入可得， 由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 则， 此时直线方程为，即； ②由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 18．（1）；（2）或. 【分析】（1）设圆的一般方程为，将、、三点坐标代入圆的一般方程，得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程，再将圆的方程化为标准方程即可； （2）分两种情况讨论，一种是切线与轴垂直，得出此时切线的方程为，验证此时该直线与圆是否相切，另一种是切线的斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，求出的值，综合可得出切线的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将、、三点坐标代入圆的一般方程，得，解得， 所以，圆的一般方程为，圆的标准方程为； （2）当切线与轴垂直时，则该直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即. 圆心到直线的距离为，解得， 此时，切线的方程为，即. 综上所述，所求切线的方程为或. 【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线的方程的求解，解题时不要忽略了对直线垂直于轴的讨论，从而漏掉答案，考查运算求解能力，属于中等题. 19．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意求出，即可求出椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，通过向量关系求出，从而得出直线的方程，联立直线与椭圆方程，得出，然后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而得出的面积；（ⅱ）设，得出相应的直线方程，联立解出相关的参数，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题意分析即可得出结论. 【详解】（1）由，得，半焦距， 所以椭圆的离心率为：. （2）（ⅰ）设， 因为，所以， 所以，直线的方程为即：， 代入椭圆方程，得，由，得， 代入直线方程，得，即， 所以， 又到直线的距离， 所以的面积为. （ⅱ）设，方程为， 直线方程为，得， 同理， 因为，所以， 整理得，① 将直线方程代入椭圆方程，得，② 所以，， 代入①式得，整理得， 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，此时该直线经过轴上定点， 方程②可化为， 由，得， 当时，直线方程为，经过点，不符合题意， 所以的取值范围为.    答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $