期中培优：已知线面角、二面角、点到平面距离求其他量问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

期中培优：已知线面角、二面角、点到平面距离求其他量问题专项训练 期中培优：已知线面角、二面角、点到平面距离求其他量问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知二面角求其他量问题 已知点到平面距离求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 例1．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 例2．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 例3．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 变式1．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 变式3．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，且． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，底面，． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 例2．（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． (1)若，证明：平面平面； (2)求的最小值； (3)若二面角的正弦值为，求． 例3．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，与相交于点平面是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求. 变式1．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，．且，，为棱上的点． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）判断直线与平面的位置关系，并说明理由． 变式2．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 变式3．（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 考点三 已知点到平面距离求其他量问题 例1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 例2．（25-26高二上·四川内江·期中）如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上.    (1)求证：平面； (2)若点到平面的距离为，求线段的长. 变式1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面所成角的正切值． (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25高二上·广西·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面 ，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面. (2)已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：已知线面角、二面角、点到平面距离求其他量问题专项训练 期中培优：已知线面角、二面角、点到平面距离求其他量问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量问题 已知二面角求其他量问题 已知点到平面距离求其他量问题 考点一 已知线面角求其他量问题 例1．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为F，M均为中点， 故为中位线，即， 又， 故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质证明四边形为平行四边形，得到线线平行，进而证得线面平行； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法即可确定的值． 【详解】（1）略 （2）在平面中，过作，以所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，． ， 设平面法向量为，则， 解得，令，则，故． 设，则， 所以， 解得（舍去）， 故． 例2．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 例3．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值， 所以， 代入，，可得， 所以， 化简解得，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 变式1．（25-26高一下·广东江门·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在四棱锥中，由正方形，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，由为的中点，， 得，又平面，所以平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. （2）（ⅰ）利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，平面，平面，得平面， 又平面与平面的交线为，平面，则， 则直线与直线所成的角是或其补角， 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，而，， 则， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成角的正弦值. （ⅱ）作，由（ⅰ）得平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由直线与平面所成的角为，得，解得， 所以存在点使直线与平面所成的角为，此时. 变式2．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 变式3．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，且． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1) 设，因为， 所以，所以． 在与中，因为， 所以，从而， 又，所以，即． 因为平面平面，所以， 又，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）利用全等三角形来证明垂直，再利用线线垂直证明线面垂直即可； （2）利用空间向量法来求线面角，然后解一元二次方程即可. 【详解】（1）略 （2）以（1）中的为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，因为， 所以，则， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 故． 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，底面，． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图所示，连接，交于点，连接， 在梯形中，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，根据题意，列出方程，求得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：以为原点，所在直线分别为轴，以过作平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为二面角的余弦值为， 可得，解得，    所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 例2．（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． (1)若，证明：平面平面； (2)求的最小值； (3)若二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)取的中点，连接，，． 因为和均为正三角形，所以，， 又平面，且，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角，即，是二面角的平面角， 又，则， 则，， 又，即，得， 在中，由余弦定理得，得， 所以，所以， 即二面角的平面角为，故平面平面． (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，，，先根据线面垂直的判定及性质证明为二面角的平面角，是二面角的平面角，再根据余弦定理及勾股定理得到，进而即可证明； （2）结合（1）建立相应的空间直角坐标系，再得到对应点的坐标，从而得到对应向量的坐标，再根据向量的线性运算得到，，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值； （3）结合（2）的空间直角坐标系，先分别求出平面和平面的一个法向量，进而根据面面角的向量求法即可求解． 【详解】（1）略 （2）结合（1）可得，，，， 则以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 所以，． 所以，， 故当时，取得最小值，且最小值为． （3）结合（2）的空间直角坐标系， 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则， 令，得，，即； 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则，令，得，，即． 则， 整理得，解得，或（舍去）． 例3．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，与相交于点平面是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明：四边形是菱形，互相平分，且， 则为的中点， 又是线段的中点，连接，， 平面平面，且， 由线面平行的判定定理，平面. (2) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，并设，用向量的方法求面面角的余弦值，进而可得的值. 【详解】（1）略 （2）四边形是菱形，互相平分，且. . 由于平面平面，则， 又，所以，故两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则，. 设平面的一个法向量为，且 则，即， 取，则，. 设平面的一个法向量为，， 则，即， 取，则，. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为，且，， 所以，即， ，，即，解得，或（舍去），即. 变式1．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，．且，，为棱上的点． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）判断直线与平面的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵平面，平面， ∴. ∵，∴. 所以. ， ∴，所以. ∵四边形为正方形，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面， ∴平面. ∵平面，∴平面平面. (2) （ⅰ） （ⅱ）直线与平面相交. 理由如下：由（ⅰ）可得， . 平面的一个法向量为， ∴. ∴与不垂直， ∴直线与平面不平行，且平面， ∴直线与平面相交. 【分析】（1）由线面垂直的性质及线面垂直的判定定理先证得平面，再证得平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法可得的值，从而求得线段的长；（ⅱ）利用空间向量可得平面的一个法向量与不垂直，进而分析判断. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴. 设， 则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， ∴平面的一个法向量为. 由（1）知平面， ∴平面的一个法向量为. ∴. 若平面与平面的夹角的余弦值为， 则， ∴，即， ∴， ∴. ∴，所以. （ⅱ）略 变式2．（26-27高二上·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1) (2)（i）证明：由，，可得， 而，则， 又，可得，则，而， 所以，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，因此平面平面． （ii）或 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式求解即可； （2）（i）利用空间向量证明，由平面可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理求证即可； （ii）利用面面角的空间向量公式建立方程求解即可. 【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）（i）略 （ii）设，，而，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 又平面的法向量为， 所以， 化简整理得：，解得或，即或． 变式3．（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】(1)证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2)． (3)点N为上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，结合及线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2）设（），分别求出平面与平面的法向量，，利用，求出的值，即可得点的位置. 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 考点三 已知点到平面距离求其他量问题 例1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)连接，在 中，∵，， ∴， 在 中，∵，∴， 同理可得，∵，平面， ∴平面； (2) 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得，，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设为的中点，利用面面垂直的性质定理可得 平面，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用点面距离的向量公式求得的位置，然后求出平面和平面 的法向量，利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）设为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵平面平面， 平面， ∴ 平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴， 设平面 的法向量为， ∵，， 取，∴， ∴设， ∵，∴， 设点到平面 的距离为， ∴，∴， ∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面 的法向量为， ∵，， 取 ，∴， 设平面 与平面所成的角为， ∴． 例2．（25-26高二上·四川内江·期中）如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上.    (1)求证：平面； (2)若点到平面的距离为，求线段的长. 【答案】(1) 在矩形中，， ∵平面，平面，∴AB//平面. ∵平面，平面，∴， ∵平面，平面CDE，∴平面CDE. 又∵平面，平面PAB，， ∴平面平面CDE， ∵平面PAB，∴平面CDE； (2) 【分析】（1）根据几何性质可得，从而得AB//平面，由线面垂直可得，从而得平面CDE，由面面平行判定定理得平面平面CDE，面面平行即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，，利用点到平面的距离为求解线段的长即可. 【详解】（1）略 （2）∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，又∵ABCD是矩形，， 所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，    则、、， 所以，， 设平面PCE的一个法向量为，则， 取，可得， 设，则，，所以， 因为点F到平面PCE的距离， 因为，解得，故. 变式1．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面所成角的正切值． (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：如图，取的中点，连接． 因为是的中点，所以，．   又因为且，所以，，   所以四边形是平行四边形，所以．   因为平面，平面，所以平面． (2) (3)存在，. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明； （2）利用向量法，求出两个平面的法向量，再求面面角的余弦值； （3）假设存在，设且，再由点到平面距离的向量求法列出方程，求参数即可得. 【详解】（1）略 （2）解：由题意，平面，，则，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 又因为，，，， 所以，，，．   平面的一个法向量为．   设平面的法向量为，因为，， 所以令，则．   设平面与平面所成角为， 所以， ，． 所以平面与平面所成角的正切值为． （3）解：设且，，， 则，，．   设平面的法向量为， 则令，所以． 又因为点到平面的距离为，， 所以，即，解得．   所以存在点，使得点到平面的距离为，此时． 变式2．（24-25高二上·广西·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面 ，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面. (2)已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：取的中点 ，连接， ，如图所示， 为棱的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）作的中点 ，连接， ，可证四边形是平行四边形，可得，可证得结论. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离得向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）平面 ，， ，， 两两垂直， 以 为坐标原点，，， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 为棱的中点，， （i），， 设平面的法向量为，则， 令，则，，， 取 的中点 ，连接 ，易知平面， 即是平面的一个法向量，， 设平面与平面夹角为， ， 平面与平面夹角的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，，则，， 由（i）知平面的一个法向量为，， 点Q到平面的距离是， ，，所以存在点Q满足题意，此时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $