精品解析：广西南宁市第二十四中学2026-2027学年度上学期9月第一阶段素质评价九年级数学试题

南宁市第二十四中学2026—2027学年度上学期9月第一阶段素质评价 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 汽车 B. 路程 C. 速度 D. 时间 4. 二次函数的常数项是（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 3 D. 5 8. 小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 12. 在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（ ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则___________． 14. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 16. 如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 按要求解题： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在某次乒乓球垫球的活动中，体育老师将九年级（1）班的12名女生平均分为甲、乙两队，下面记录的是两队女生的垫球个数（垫球高度不低于2米的为有效垫球数，低于2米的为无效垫球数）． 信息1：两队学生的有效垫球数： 甲队垫球情况（单位：个）：20，18，32，30，26，30； 乙队垫球情况（单位：个）：24，26，22，26，28，30； 信息2：如图： 信息3：技术统计表 队伍 平均垫球个数 垫球众数 垫球中位数 垫球数的方差 平均无效垫球数 甲队 26 30 2 乙队 26 26 5 根据以上信息，回答下面问题： （1）表格中的 ， ， （填“”“”或“”）； （2）请补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图； （3）结合信息3的数据统计表，请给甲队和乙队的女生分别提出一个改进的建议． 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 20. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起．一个物体挂在距离点的左侧处，重量．在点的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即 （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数的最小值． 21. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与实践 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． （1）如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 23. 综合与实践 【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题． 例如：求式子的最小值． 解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4 【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析． （1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值； （2）当篱笆总长为时， ①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②当取何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第二十四中学2026—2027学年度上学期9月第一阶段素质评价 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合,据此解答即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差可进行求解． 【详解】解：由题意得：； ∴成绩最稳定的是丁； 故选D． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键． 3. 小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 汽车 B. 路程 C. 速度 D. 时间 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的基本定义：在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断． 【详解】解：∵在这个变化过程中，速度保持不变，是常量，路程随着时间的变化而变化，时间主动发生变化， ∴自变量是时间． 4. 二次函数的常数项是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 5. 已知一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8，则另一直角边的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为8， ∴另一直角边的长是． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确． 7. 若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：年平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 9. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断时的增减性，再代入的端点值得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 10. 如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 11. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键． 根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，小球飞行的最大高度为，故C选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或， ∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 12. 在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（ ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将温度值分别代入函数关系式逐一验证排除即可． 【详解】解：将分别代入四个选项，所得值均为101，与表格数据一致． 将代入各选项： A． ，排除． B． ，符合． C． ，排除． D． ，排除． 将代入B选项，得； 将代入B选项，得，均与表格数据一致． 因此，与之间的函数关系可能是． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式．经过函数的某点一定在函数的图象上． 直接把代入反比例函数中，即可解答． 【详解】解：把点代入反比例函数（为常数，且）中，得 ， 解得． 故答案为：2． 14. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 16. 如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段进行等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：设与交于点， 根据折叠的性质，得，，， 阴影部分图形的周长 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 按要求解题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 ， ，，， ， ， 18. 在某次乒乓球垫球的活动中，体育老师将九年级（1）班的12名女生平均分为甲、乙两队，下面记录的是两队女生的垫球个数（垫球高度不低于2米的为有效垫球数，低于2米的为无效垫球数）． 信息1：两队学生的有效垫球数： 甲队垫球情况（单位：个）：20，18，32，30，26，30； 乙队垫球情况（单位：个）：24，26，22，26，28，30； 信息2：如图： 信息3：技术统计表 队伍 平均垫球个数 垫球众数 垫球中位数 垫球数的方差 平均无效垫球数 甲队 26 30 2 乙队 26 26 5 根据以上信息，回答下面问题： （1）表格中的 ， ， （填“”“”或“”）； （2）请补全信息2中甲队有效垫球数的箱线图； （3）结合信息3的数据统计表，请给甲队和乙队的女生分别提出一个改进的建议． 【答案】（1）28，26， （2）如图所示， （3）由，可知甲队数据比较分散，建议加强稳定性练习，乙队数据比较集中，稳定性较好，建议整体提高垫球水平（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，方差定义解答； （2）用两种方法求出四分位数，再画出甲队有效垫球数的箱线图即可； （3）根据方差作出决断即可． 【小问1详解】 解：甲队的垫球数据重新排列得：18，20，26，30，30，32，最中间的是26,30，所以甲队的垫球中位数； 乙队的垫球数据中26出现的次数最多，所以乙队的垫球众数是26； ， ， 所以； 【小问2详解】 解：方法一：由（1）知甲队的垫球中位数是28，分成两组：18，20，26；30，30，32，前一组的中位数是20，后一组的中位数是30，可知甲队的下四分位数是20，上四分位数为30，最小值为18，最大值为32，画出箱线图如答案； 方法二：甲队的垫球数据重新排列得：18，20，26，30，30，32，最小值为18，最大值为32，由（1）知甲队的垫球中位数是28， 下四分位数：，不是整数，取第3位置上的数，故下四分位数是20； 上四分位数：，不是整数，取第5位置上的数，故上四分位数是30， 画出箱线图如答案； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 20. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起．一个物体挂在距离点的左侧处，重量．在点的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即 （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】（1） （2）弹簧秤的示数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 21. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种布料25件，乙种布料55件 （2）第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元 【解析】 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【小问1详解】 解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则： ， 解得： ∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件． 【小问2详解】 解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为件，则根据题意得： 解得： ∴的取值范围为 （且为整数）． 设第二次全部售完后获得的利润为W元，则： ∵ ∴W 随 m 的增大而增大， ∴ 当时， 元， 此时乙种布料为 件． ∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元． 22. 综合与实践 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． （1）如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， 碗体DEC的抛物线解析式可设为， 轴，， ， ， ， ， 解得， 碗体DEC的抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意可知， ， ， ， ， 设直线的关系式为 则解得 ， 解得，， 当时，，即点，舍去； 当时，，即点； 故，． 23. 综合与实践 【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题． 例如：求式子的最小值． 解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4 【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析． （1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值； （2）当篱笆总长为时， ①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②当取何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围） 【答案】（1）8 （2）①；②当时，有最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，列一元二次方程求解计算； （2）①根据面积公式列出函数解析式，根据实际意义列出不等式组从而求解； ②根据二次函数的性质分析计算； （3）结合材料利用和数形结合思想分析求解． 【小问1详解】 解：当为时，， ∴，即： 解得， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 【小问2详解】 解：①当为时， ∴， 又∵，解得， ∴； ② ， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：结合材料，， ∴， 当时，有最小值为，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为 又∵且，解得 综上，当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $