精品解析：辽宁锦州市渤海大学附属中学2026-2027学年度第一学期第一次限时训练高二数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次限时训练 高二数学试题 命题教师：高一备课组 考生请注意：Ⅰ考试时间120分钟．满分150分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效． 一、单选题（每小题5分，共40分．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于三维向量，，定义，，，则（ ） A. B. C. D. 以上选项均不正确 5. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，部分对部分得分，有选错的得0分．） 9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 直线：在轴上的截距为2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 直线的方向向量为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 若点在直线上，且满足，则的取值范围为 11. 如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，若二面角的平面角的正弦值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________. 13. 已知，，，若、和共面，则实数________． 14. 如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线经过点.（直线要求化成一般式） （1）若直线的倾斜角为，求直线的方程； （2）若直线的斜率为，求直线的方程； （3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 如图，对正方体­，，，分别是和的中点. （1）求到的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 18. 已知平面内三点，，，为坐标原点． （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点， ①求面积的最小值及此时的方程； ②求的最小值及此时的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，分别为中点． （1）求证：平面平面； （2）若点为中点，点关于平面的对称点为点，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次限时训练 高二数学试题 命题教师：高一备课组 考生请注意：Ⅰ考试时间120分钟．满分150分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效． 一、单选题（每小题5分，共40分．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称关系，即可判断. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为. 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将直线化为斜截式，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的方程为，变形为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 故选：. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以向量共面， 所以不能构成空间的一个基底，所以A不符合题意； 对于B，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间的基底，所以B符合题意； 对于C，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以共面， 所以不能作为一个空间的基底，所以C不符合题意； 对于D，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以共面， 所以不能作为一个空间的基底，所以D不符合题意； 4. 对于三维向量，，定义，，，则（ ） A. B. C. D. 以上选项均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，结合空间向量运算的坐标表示即可求解. 【详解】已知，，根据题意，， 因此. 5. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 6. 如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 7. 已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合共面向量定理得四点共面，则的最小值为点到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式可得答案． 【详解】由，且， 结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，取，则，， 所以点到平面的距离. 8. 如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系.过点作与垂直的平面，并由坐标法证明，从而得出点和满足条件的所有点P构成的图形为梯形，求出其各边的长，即可得出周长. 【详解】边长为2正方体中如图所示，建立空间直角坐标系， 则. 所以，，因为，所以. 所以. 在棱上取中点，则，. 因为，所以，所以. 取棱的中点，则.连接，，所以. 所以四点共面. 因为，平面，所以平面. 所以点和满足条件的所有点P构成的图形为梯形. ，，， 梯形的周长为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分，部分对部分得分，有选错的得0分．） 9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 直线：在轴上的截距为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】选项A：任何一条直线都存在倾斜角，选项A正确； 选项B：钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，选项B错误； 选项C：若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，选项C错误； 选项D：直线：，令，得到：， 所以直线：在轴上的截距为-2，选项D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 直线的方向向量为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 若点在直线上，且满足，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的范围，以及其正切值的范围，即可确定选项A，利用直线方向向量的定义直接判断选项B，根据直线两点式方程，即可判断选项C，结合消元法求解分式的取值范围，即可判断选项D. 【详解】对于A，因为直线的斜率，所以倾斜角满足， 又直线倾斜角，所以，A正确； 对于B，令，则，令，则， 即该直线过两点， 所以直线的方向向量为，B正确； 对于C，过任意两点，的直线， 都可以用方程表示，C错； 对于D，，所以， 又，即， 解得，所以， 所以， 所以，D正确. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，为线段上的动点，若二面角的平面角的正弦值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用二面角的夹角公式求出二面角的平面角的余弦值，结合已知条件二面角的平面角的正弦值为，列出等量关系，求出. 【详解】 如图建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为3，故，，，. 为线段上的动点，设，， ，， ， 设平面的法向量为， ，，则： ，即，令，得，， 即. 设平面的法向量为， ，，则： ，即，令，得，， 即. 设二面角的平面角为，则，. 又， 即，即， 即，即， 即，即， 解得：，或. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 13. 已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 14. 如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，进而得，再根据底面为等边三角形，平分，进而得，点为的中心，故三棱锥是棱长为的正四面体，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：设顶点在平面内的射影为点， 因为与平面所成角的正弦值为，，所以， 因为，所以， 又因为，所以，如图1，在平面中，为等边三角形，≌， 所以平分，即， 所以在中，，解得，（舍）， 所以点为的中心，故三棱锥是棱长为的正四面体， 故如图2，以中点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标 则， 设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 因为，设与平面所成角为， 所以 ， 令，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时，与平面所成角的正弦值最大，最大值为 故答案为： 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线经过点.（直线要求化成一般式） （1）若直线的倾斜角为，求直线的方程； （2）若直线的斜率为，求直线的方程； （3）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到直线与轴垂直，进而求得直线的方程； （2）根据题意，利用直线的点斜式方程，即可求解； （3）根据题意，分直线过原点和直线不过原点，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，直线经过点， 当直线的倾斜角为时，直线与轴垂直，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由题意知，直线经过点， 当直线的斜率为时，可得直线的方程为，即. 【小问3详解】 解：由题意知，直线经过点，且直线在两坐标轴上的截距相等， 当直线过原点时，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 16. 如图，对正方体­，，，分别是和的中点. （1）求到的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； 【小问2详解】 由（1），已有， 所以，​，， 设异面直线与所成角为，则. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； 【小问2详解】 因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； 【小问3详解】 因为， 所以 . 18. 已知平面内三点，，，为坐标原点． （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点， ①求面积的最小值及此时的方程； ②求的最小值及此时的方程． 【答案】（1） （2）① 面积最小值为12，方程为；② 最小值为12，方程为 【解析】 【分析】（1）求出直线，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线的斜率范围； （2）①设直线的方程为截距式，然后结合基本不等式代入计算，即可得到面积最值；②由题意直线的方程为，求出， 两点坐标，则，然后利用基本不等式求解最小值及直线的方程. 【小问1详解】 因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 将代入可得， 由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 则， 此时直线方程为，即； ②由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，分别为中点． （1）求证：平面平面； （2）若点为中点，点关于平面的对称点为点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：侧面为正三角形，为的中点， ， 是矩形，且分别为中点，， 面面， 面平面， 平面平面． （2） 【解析】 【分析】(1)利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直； (2)方法一：建立空间直角坐标系，通过点的坐标和向量运算求出平面的法向量；利用对称条件解出对称点坐标，最后用法向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值；方法二：通过线面平行的性质与对称关系确定点的位置及辅助线，结合三角形全等与角度推导；将空间平面夹角转化为平面内的角度差，利用三角函数公式求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）知，平面平面， 平面，平面平面平面，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，设， 则， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，所以， 易知点P到平面的距离与点到平面的距离相等且， 即且， 即且， 解得（舍去）或，所以． 设平面的一个法向量为， 又， 则，即， 取，所以． 设平面的一个法向量为， 则，即取， 则，所以， 设平面与平面夹角为，则． 故平面与平面夹角的余弦值为． 方法二：设平面与棱相交于点， 因为面，则平面， 且面面，则，又因为为中点，可得为中点， 设平面平面，，则为中点， 因为关于平面的对称点为，的中点为， 所以面，由（1）知平面平面， 所以平面，又平面平面 且，且， 在平面内，，所以， 因为为中点， 可得为正三角形，因为，所以为中点， 由对称性可知，， 所以，可得，且， 设交于点，则为中点， 则， 由面，可得， 则平面与平面夹角为， 设平面与平面夹角为，同理可得， 则平移可得平面与平面夹角为， 则，即， 故平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $