精品解析：浙江温州市实验中学2026-2027学年八年级上学期数学第二章练习卷

2026学年第一学期八上数学第二章练习卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在中，，如果，那么的度数为（ ） A. 40° B. 70° C. 100° D. 40°或70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C即可求解． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝40°， ∴∠C＝40°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 3. 如图，已知于点，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出周长. 【详解】解：①当腰长为3时， ，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况不能构成三角形； ②当腰长为7时， ，满足三角形三边关系， ∴周长， 综上，该等腰三角形的周长为17． 故选：B． 5. 将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高线上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 6. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从边与角两个维度，结合勾股定理的逆定理、三角形内角和定理逐项判断． 【详解】解：A选项，∵，， ∴， ∴能判断为直角三角形，不符合题意． B选项，设，，， ∵，， ∴， ∴能判断为直角三角形，不符合题意． C选项，∵，， ∴， ∴， ∴能判断为直角三角形，不符合题意． D选项，设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不能判断为直角三角形，符合题意． 7. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，则有和，进一步得到和，则有，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，． 8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它往水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，结合线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由题意得，米，米，， ∴米， ∴米． 9. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 10. 如图，在中，D为上一点，，，，记长为x，长为y，当x、y变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，代数式求值，过点A作，垂足为E，根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，分别在和中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴当x，y变化时，值不变， 故选：B． 二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 12. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【答案】4.9 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：， 是直角三角形， 是的中点，， ， 故答案为：4.9． 13. 如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，求出的长，同理可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明． 14. 如图，在中，为上一点，为上一点，．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得到，，根据线段的和差关系求出的长，再求出，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 15. 在中，，，点在线段上，连接，点关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点，当时，线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由轴对称的性质可得，，证明，则可证明是等边三角形，得到，再证明，推出，则． 【详解】解：由轴对称的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图）折叠成一个正方形（如图）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为________，的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知正方形的边长为5，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可；过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是50，得到关于x的方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积是． 如下图所示，过点D作， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， 在中，， 设， 则， ∴四边形的面积是， 由折叠可知，四边形的面积是， ∴， 解得：， ∴的长为3.25． 三．解答题（本题有5小题，共46分） 17. 如图，已知，，，，求证：．请完成下列填空： 证明：，（已知） ________ （ ） （已知） （ ） ________（ ） ________（ ） 又 （ ） 【答案】；已知；；；全等三角形对应角相等；；等角对等边；三线合一定理 【解析】 【分析】根据垂线的定义和已知条件，全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质与判定定理求解即可． 【详解】略 18. 如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）在直线上作点，使的值最小，此时 ． 【答案】（1） （2）如图所示，点P即为所求， 【解析】 【分析】（1）先分别画出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，与直线l的交于点P， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， 由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴， ∴是直角三角形，且． 19. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果是大于的偶数，那么，的一半的平方减，的一半的平方加是一组勾股数”． （1）当时，写出这一组勾股数 ； （2）证明“罗士琳法则”的正确性． 【答案】（1），， （2）证明：∵是大于的偶数， ∴是不小于的正整数， ∴，，均为正整数. ∵，， ∴， ∴，，是一组勾股数， 即“罗士琳法则”正确． 【解析】 【分析】（）将代入罗士琳法则，计算另外两个数即可得到对应勾股数； （）先确认三个数均为正整数，再验证两较小数的平方和等于最大数的平方，即可求证． 【小问1详解】 解：当时，，  ∴，， ∴这组勾股数为，，； 【小问2详解】 略 20. 如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质可证明，再结合等边对等角和三角形内角和定理推出，据此可证明为等边三角形； （2）过点E作交的延长线于点F，由三线合一定理得到；由等边三角形的性质得到，求出，得到，据此结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作交的延长线于点F，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 由（1）得为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】（1）， （2） 证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 （3）16或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，过点作于点． 有两种情形：当时，是智慧三角形． ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，是智慧三角形． 设， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 综上所述，满条件的的面积为16或． 【点睛】本题考查了智慧三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八上数学第二章练习卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，，如果，那么的度数为（ ） A. 40° B. 70° C. 100° D. 40°或70° 3. 如图，已知于点，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10 5. 将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高线上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 6. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 7. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（） A. B. C. D. 8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它往水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D为上一点，，，，记长为x，长为y，当x、y变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 12. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 13. 如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为________． 14. 如图，在中，为上一点，为上一点，．若，，则的长为________． 15. 在中，，，点在线段上，连接，点关于直线的对称点为，射线与的延长线相交于点，当时，线段的长为________． 16. 如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图）折叠成一个正方形（如图）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为________，的长为________． 三．解答题（本题有5小题，共46分） 17. 如图，已知，，，，求证：．请完成下列填空： 证明：，（已知） ________ （ ） （已知） （ ） ________（ ） ________（ ） 又 （ ） 18. 如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）在直线上作点，使的值最小，此时 ． 19. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果是大于的偶数，那么，的一半的平方减，的一半的平方加是一组勾股数”． （1）当时，写出这一组勾股数 ； （2）证明“罗士琳法则”的正确性． 20. 如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）连接．若，求的长． 21. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $