第4章 整式的加减 强化训练 -2026—2027学年人教版数学七年级上册

第4章 整式的加减 一、单选题 1．下列各组中的两个单项式，是同类项的是（　　） A．a与b B．与 C．与 D．与 2．下列说法正确的是（　　） A．是单项式 B．单项式系数为 C．2是单项式，其次数是1 D．多项式是三次四项式 3．单项式﹣3πa2b的系数与次数分别是（　　） A．3，4 B．﹣3，4 C．3π，4 D．﹣3π，3 4． 下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．多项式化简后不含项，则常数的值为（　　） A．2 B． C．0 D．3 6．下列关于代数式的说法中，正确的是（　　） A．是3次单项式 B．次数是5 C．不是整式 D．系数是 7．把多项式3x2+5﹣2x3﹣4x按x降幂排列，它的第三项是（　　） A．2x3 B．﹣2x3 C．4x D．﹣4x 8．对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．若|a|大于1，则下列式子中，一定成立的是（ ） A．|a|-a<0 B．a-|a|=0 C．|a|+a>0 D．|a|+a≥0 10．已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“和差操作”，例如：为一次“和差操作”，为“和差操作”的一种运算结果下列说法： ①存在两种“和差操作”运算结果的和为2x； ②不存在两种“和差操作”运算结果的差为； ③所有的“和差操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知，对多项式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，称这种操作为“绝对操作”．例如：，，等．对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．下列说法其中正确的个数是（　　） ①存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 12．是　 　次　 　项式，一次项是　 　，常数项是　 　． 13．多项式的次数是　 　． 14．下列代数式：（1） ，（2）m，（3） ，（4） ，（5）2m+1，（6） ，（7） ，（8）x2+2x+ ，（9）y3﹣5y+ 中，整式有　 　．（填序号） 15．多项式，，如果中不含项，则a的值为　 　． 16． 单项式-2πab2的系数是　 　，次数是　 　． 17．若 与 可以合并成一项，则 的值是　 　． 18．填上“＋”号或“－”号． （1）－(2m＋3n)　 　(m－n)＝－2m－3n－m＋n； （2）－2(x＋y)　 　2(x－y)＝－4x. 19．单项式7πa2b3的次数是　 　． 20．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则　 　，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是　 　． 21．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： （1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　 　个单位（其中点C不与点A重合）． （2）若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳　 　步，落脚点表示的数是　 　． （3）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　 　种，其中移动所走的距离和最小的是　 　个单位； （4）若数轴上有个动点表示的数是x，则|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值是　 　． 22．对于一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字多5，百位数字比个位数字多3，则称为“五三数”．如：四位数6714，，，是“五三数”；四位数，，不是“五三数”，则最大的“五三数”和最小的“五三数”之差为　 　；一个“五三数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被5整除，则满足条件的的值为　 　． 23．若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数是“数学满分数”，则为 　 　，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为 　 　． 24．对于各个数位均不为0的三位数t，将t的各个数位中任取两个数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做t的“重生数”，例如：，则t的重生数字是52、25、51、15、21、12，t的所有“重生数”之和与11的商记为，若，；若m和n是两个三位数，它们都有“重生数”，（，），（，a、b、c均为整数），若的值能被5整除，记，则p的最大值为． 三、解答题 25．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：3(x﹣1)+▇＝x2﹣5x+1 （1）求所挡的二次三项式. （2）若x＝﹣3，求所挡的二次三项式的值. 26．如图是某窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为（取3）． （1）用含的代数式表示窗户的面积； （2）若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米26元，窗户的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用是多少元？ 27．某空调器销售商，今年四月份销出空调 台，五月份销售空调比四月份的2倍少1台，六月份销售空调比前两个月的总和的4倍还多5台． （1）用代数式表示该销售商今年第二季度共销售空调多少台？ （2）若 ，求第二季度销售的空调总数． 28．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离是______；表示和2两点之间的距离是______； （2）如果，那么______； （3）已知三点在数轴上所表示的数分别为，且是最小的正整数，满足若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值 29． 已知多项式的次数为4，是最高次项的系数，求的值． 30．如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6． （1）A、B两点之间的距离等于 ； （2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ； （3）若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值． 31．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足，， （1） ， ， ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合； （3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） （4）请问，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 32．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形． （1）设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示） （2）若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长； （3）在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长． 33．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、B表示的数为、，若该两点之间的距离为2，那么值为________． （2）的最小值为________，此时x的取值是________． （3）已知，求的最大值． 34．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． （1）的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． （2）用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． （3）当时，通过计算判断两点的位置关系． （4）当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】【解答】解：单项式﹣3πa2b的系数为﹣3π、次数为2+1=3， 故答案为：D． 【分析】根据单项式的系数和次数的定义作答即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】A、∵不是同类项，∴A不正确，不符合题意； B、∵，∴B不正确，不符合题意； C、∵，∴C不正确，不符合题意； D、∵，∴D正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用合并同类项的计算方法及去括号的计算方法逐项分析判断即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵中不含xy项， ∴k-2=0， 解得：k=2， 故答案为：A. 【分析】先合并同类项，再根据多项式中不含xy项，可得k-2=0，再求出k的值即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：A.∵代数式 ，1+2=3， ∴代数式是3次单项式，说法正确，符合题意； B..∵代数式 ，1+2=3， ∴次数是3，说法错误，不符合题意； C.代数式 是整式，说法错误，不符合题意； D.代数式 的系数是，说法错误，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据单项式的定义，系数和次数的定义等对每个选项逐一判断求解即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：多项式3x2+5﹣2x3﹣4x的各项为3x2，5，﹣2x3，﹣4x， 按x的降幂排列为﹣2x3y+3x2﹣4x+5． 则它的第三项为﹣4x． 故选D． 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列． 8．【答案】B 9．【答案】D 【解析】【解答】A、1 a>1或a<-1，A不符合题意； B、-a<0 -a<0<a，B不符合题意； C、a-=0a-=，C不符合题意； D、，D符合题意 【分析】根据绝对值的性质，大于1，得到a1或a-1，判断即可。 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】二；三；；2 13．【答案】3 14．【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8） 【解析】【解答】解：（1） ，（2）m，（3） ，（5）2m+1，（6） ，（8）x2+2x+ 都是整式， 故整式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）． 故答案为：（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8） 【分析】根据整式是单项式和多项式的统称，逐个判断即可。 15．【答案】 16．【答案】-2π；3 【解析】【解答】根据定义，单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数； 则 -2πab2的系数是： -2π， 次数是 ：1+2=3； 故答案为： -2π，3； 【分析】根据单项式中系数和次数定义，即可得到答案. 17．【答案】4 【解析】【解答】解： 与 可以合并成一项， 与 是同类项， 且 且 故答案为： 【分析】先求出 与 是同类项，再求出m=1且 最后求出 的值即可。 18．【答案】（1）－ （2）－ 【解析】【解答】解：（1）－2m－3n－m＋n-【－(2m＋3n)】， =－2m－3n－m＋n+2m＋3n， =－m＋n， =-（m-n）. （2）-4x-【－2(x＋y)】， =-4x+2(x＋y)， =-4x+2x＋2y， =-2x+2y， =-2（x-y）. 故答案为：-；-. 【分析】（1）加数=和-另一个加数，根据题意列式，由去括号法则：括号外是负号，括号里的每一项都要改变符号；去括号，合并同类项即可得出答案. （2）加数=和-另一个加数，根据题意列式，由去括号法则：括号外是负号，括号里的每一项都要改变符号；去括号，合并同类项即可得出答案. 19．【答案】5 【解析】【解答】解：7πa2b3的次数是5， 故答案为：5． 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数,，单项式的次数是一个单项式中，所有字母的指数的和；故7πa2b3的系数是7π，次数是2+3=5. 20．【答案】；171 21．【答案】（1）3 （2）197；-100 （3）3；7 （4）7 【解析】【解答】解：设将点C向左移动x个单位， ∵移动后，使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等， ∴3-x-（-2）=-2-（-4） 解之：x=3. 故答案为：3 （2）∵小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步… ∴第n次跳（2n-1）步， 当n=99时2×99-1=197； 落脚点表示的数是 -1-1+3-5+7-+195-197 =-1+（-1+3）+（-5+7）+（195-197） =-1-197+2×=-100. 故答案为：197，-100 （3）方法1：若移动B，C，将点B向左移动2个单位（-2-2=-4），将点C向左移动7个单位（3-7=-4），一共移动了2+7=9个单位； 方法2：移动A，C，将点A向右移动2个单位（-4+2=-2），将点C向左移动5个单位（3-5=-2），一共移动2+5=7个单位； 方法3：移动B，A，将点B向右移动5个单位（-2+5=3），将点A向右移动7个单位（-4+7=3），一共移动5+7=12个单位； 移动方法有3种，其中移动所走的距离和最小的是7个单位. 故答案为：3，7 （4）∵|x+4|≥0，|x+2|≥0，|x-3|≥0， 当x≥3时，原式=x+4+x+2+x-3=3x+3， 当x=3时有最小值为3×3+3=12； 当x≤-4时，原式=-x-4-x-2-x+3=-3x-3， 当x=-4时，有最小值为-3×（-4）-3=9； 当-4≤x≤-2时，原式=x+4-x-2-x+3=-x+5， 当x=-2时有最小值为2+5=7； 当-2＜x＜3时原式=x+4+x+2-x+3=x+9， 其最小值大于8， ∴当x=-2时|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值是7. 故答案为：7 【分析】（1）设将点C向左移动x个单位，根据移动后，使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值. （2）利用小青蛙的运动方向和速度，可知第n次跳（2n-1）步，将n=99代入可求出小青蛙跳的步数；然后列式计算求出落脚点表示的数. （3）利用点的运动，分情况讨论：若移动B，C到点A；移动B，A到点C；移动A，C到点B，然后求出移动所走的距离和；然后比较大小，可得答案. （4）利用绝对值的非负性，分情况讨论：当x≥3时；当x≤-4时；当-4≤x≤-2时；当-2＜x＜3时；利用绝对值的性质分别化简，再分别求出其最小值；然后比较大小，可得|x+4|+|x+2|+|x-3|的最小值. 22．【答案】； 23．【答案】1；2376 24．【答案】28, 25．【答案】（1）x2﹣8x+4；（2）37. 26．【答案】（1） （2）元 27．【答案】（1）解：四月份：（a﹣1）台， 五月份：2（a﹣1）﹣1=（2a﹣3）台， 六月份：4[（a﹣1）+（2a﹣3）]+5=（12a﹣11）台， 第二季度共销售：（a﹣1）+（2a﹣3）+（12a﹣11）=（15a﹣15）台 （2）解：当a=220时，有15a﹣15=15×220﹣15=3285台 答：第二季度销售的空调总数是3285台。 【解析】【分析】（1）根据题意表示出，四、五、六月份销售空调的台数，从而可得出第二季度销售空调的台数为（15a﹣15）台。 （2）把a=220，代入15a﹣15，求出第二季度销售空调的台数。 28．【答案】（1）， （2）或 （3）不变，的值为 29．【答案】解：依题意得：，所以，所以． 【解析】【分析】利用多项式的系数和次数的定义可得，再将m、n的值代入计算即可. 30．【答案】（1）16 （2） （3）16；32 31．【答案】（1），1，8 （2）5 （3），， （4）不变，15 32．【答案】（1）解：号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y， 1号正方形的边长为， 2号正方形的边长为， （2）解：长方形的长为：，宽为：， 长方形的周长为48，即， ， 号正方形的边长为x， 号正方形的边长为6； （3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知号正方形的边长为， 4号正方形的边长为y， 5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：， ， 周长为100的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为： ， 即阴影部分的周长为88． 【解析】【分析】（1）观察图形，得到1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，以及2号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长，列出代数式，即可求解； （2）根据观察，得到图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和为，宽为2号正方形的边长与3号正方形的边长和为，结合长方形的周长，求出x的值，从而得出3号正方形的边长； （3）根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，进而解得阴影部分的周长，得到答案． （1）解：号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y， 1号正方形的边长为， 2号正方形的边长为， （2）解：长方形的长为：，宽为：， 长方形的周长为48，即， ， 号正方形的边长为x， 号正方形的边长为6； （3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知号正方形的边长为， 4号正方形的边长为y， 5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：， ， 周长为100的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为： ， 即阴影部分的周长为88． 33．【答案】（1）或1 （2）3； （3）6 34．【答案】（1），， （2）， （3）重合 （4）时，不是定值；时是定值， 学科网（北京）股份有限公司 $