精品解析：广东揭阳市实验中学2026-2027学年度八年级上学期数学第一阶段练习卷

揭阳市实验中学2026-2027年度八年级上 数学第一阶段练习卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算，错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 3. 在中，斜边，则的值为（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 无法计算 4. 如图，数轴上表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 5. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 在下列各数：、、、、、、（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 8. 如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A. B. C. D. 9. 如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （1）36的平方根是______； （2）的立方根是______； （3）的算术平方根是______． 12. 如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 13. 如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走______米，踏之何忍”． 14. 在中，，高，则的周长是 _____． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若，，则正方形的边长等于________． 三、解答题 16. 计算（解方程）题： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 18. 如图，在四边形中，，，，，连接． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 19. 观察规律并回答下列问题：，，，…． （1）______，______； （2）若，，则______；（用含的代数式表示） （3）当时，根据上述规律比较与的大小关系． 20. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是______，的小数部分是______． （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中是整数，且，求的值． 21. 解答： （1）如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，则______；以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是______； （2）在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． 四、实践探究题 22. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳市实验中学2026-2027年度八年级上 数学第一阶段练习卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根式的运算，根据，，直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，故A错误，符合题意， ，故B正确，不符合题意， ，故C正确，不符合题意， ，故D正确，不符合题意， 故选：A． 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； B、1，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：C． 3. 在中，斜边，则的值为（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，数轴上表示的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 5. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求， 即， 解不等式得． 6. 在下列各数：、、、、、、（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，“无限不循环的小数叫无理数”． 【详解】解： ，，，是有理数； ，，（每两个之间增加个）是无理数， ∴无理数有个， 故选：B． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 9. 如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义和等腰直角三角形的定义可推出，利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 10. 如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （1）36的平方根是______； （2）的立方根是______； （3）的算术平方根是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】先化简根号的式子，再根据平方根、立方根、算术平方根的定义计算结果. 【详解】解：（1）∵ ， ∴ 36的平方根是 ； （2）先计算得 ， ∵ ∴ 的立方根是 . （3）先化简得 ∵ 算术平方根为非负数，且 ∴ 的算术平方根是 . 12. 如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵将折叠，使点C与点A重合， ∴， ∵， ∴， 解得：．即 13. 如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走______米，踏之何忍”． 【答案】4##四 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得的长，再利用即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米， 在中，（米）， （米）． 14. 在中，，高，则的周长是 _____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若，，则正方形的边长等于________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，勾股定理等．根据题意可得设正方形的边长为，则，继而得到，，，再利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵根据题意可知，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵，， ∴设正方形的边长为，则， ∴，，，， ∴，解得：， ∴正方形的边长为1， 故答案为：1． 三、解答题 16. 计算（解方程）题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ，； 【小问4详解】 解： ． 17. 一个正数的两个平方根分别是和；且． （1）求； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 18. 如图，在四边形中，，，，，连接． （1）求的长度； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理逆定理得，由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 19. 观察规律并回答下列问题：，，，…． （1）______，______； （2）若，，则______；（用含的代数式表示） （3）当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】（1）， （2） （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 （3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 20. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是______，的小数部分是______． （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）11 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握无理数的大小估算方法． （1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分； （2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根； （3）由得即，从而得，y=，将x、y的值代入原式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， 故答案为：， 【小问2详解】 ∵，a是的整数部分， ∴， ∵， ∴的整数部分为1， ∵b是的小数部分， ∴， ∴ ∵9的平方根等于， ∴的平方根等于； 【小问3详解】 ∵， ∴即， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴． 21. 解答： （1）如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，则______；以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是______； （2）在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． 【答案】（1）， （2）如图，点表示的实数为． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，由作图可知， 即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 由作图可知， ∵点与数轴原点重合， ∴， 点表示的实数是； 【小问2详解】 解：构造直角，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，则，，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 四、实践探究题 22. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1） （2）25 （3）x的值为7.2 【解析】 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． 【小问3详解】 如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $