期中专题08：综合练习卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

期中专题08：综合练习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•和平区校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．3x+2＝0 D．x2﹣1＝0 2．（2026秋•雨花台区校级月考）一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝2x2化为一般形式为（　　） A．x2+2x+3＝0 B．3x2+2x+3＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 3．（2025秋•临泉县期末）反比例函数的图象上3个点的坐标分别为（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 4．（2026秋•和平区校级月考）若M（﹣4，a），N（﹣3，b），P（1，c）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 5．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2026秋•朝阳区校级月考）对于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口方向向下 B．顶点坐标为（﹣3，2） C．当x≥3时y随x增大而增大 D．对称轴为x＝﹣3 7．（2026秋•江汉区月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．b＝2a 8．（2026秋•黄岛区月考）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49名同学会做这项实验，求每节课每名同学教会多少名同学做实验？若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（　　） A．1+x（x+1）＝49 B．1+x+x（x+1）＝49 C．1+x+x2＝49 D．1+2x＝49 9．（2026秋•太原校级月考）根据关于x的二次函数y＝x2+px+q，可列表如下： x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 y ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 方程x2+px+q＝0的正数解满足（　　） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 10．（2026秋•长沙月考）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过C，D两点分别作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，有下列结论：①△CEF的面积等于；②△CEF与△DEF的面积相等；③△DCE≌△CDF；④EF∥CD；⑤AC＝BD．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 11．（2026•江门校级一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是_______________ 12．（2026秋•雁塔区校级月考）若方程（a+4）x|a|﹣2+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为_____ ． 13．（2026秋•南充校级月考）古希腊在研究黄金分割时得到方程x2﹣x﹣1＝0，已知m，n是方程的两个根，则代数式m3+m+3n＝_____ ． 14．（2026秋•浦东新区月考）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为____________________ ． 15．（2026秋•工业园区校级同步）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是 _____ ． 16．（2026•当阳市模拟）如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为_____ ． 三．解答题（共8小题） 17．（2026秋•武清区校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）2x2﹣x+3＝0； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （4）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 18．（2026秋•平阴县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根a，b． （1）填空：a+b＝_____ ，ab＝_____ ； （2）求的值； （3）若a2+b2＝2p+1，求p的值． 19．（2026•都安县一模）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_____________ 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20．（2026•息县一模）抛物线的图象经过点A（﹣1，0），点B（0，3），点C（3，0）． （1）求抛物线的表达式． （2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值． （3）若点M（m，y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围． 21．（2026秋•厦门月考）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）分别连接AO和BO，求△ABO的面积． 22．（2026秋•开福区校级月考）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的步长之差x之间有如表的关系： x/cm 1 2 5 7 y/cm 1400 700 280 200 【问题解决】 （1）请写出y与x之间的函数关系式． （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5cm时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为_________ cm． 【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD，一次游戏要求同学们闭眼从AB边的中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难到达边CD．这是为什么呢？经测量，在矩形ABCD中，BC＝170m，AM＝BM＝40m． （3）要想抵达草坪的对面CD，走偏最多的弧线为弧MC，求弧MC所在圆的半径R． （4）有研究显示，健康人群的步长之差约为0.33cm，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 23．（2026秋•皇姑区校级月考）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根分别为m、n，求的值； （2）思维拓展：已知实数s，t满足s2﹣3s﹣2＝0，t2﹣3t﹣2＝0，且s≠t，求的值． 24．（2026秋•大连月考）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1． （1）若抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，0）． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线y＝x2+bx+c向右平移t（t＞0）个单位得到抛物线y1，当1≤x≤7时，抛物线y1对应的函数值的最大值为16，求t的值； ③过点P（2，﹣3）的直线与抛物线y＝x2+bx+c交于不同的两点A，B，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，求（m﹣2）（n﹣2）的值． （2）已知点E（0，﹣9），F（3，﹣5），若抛物线y＝x2+bx+c与线段EF只有一个交点，直接写出c的范围． 期中专题08：综合练习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•和平区校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．3x+2＝0 D．x2﹣1＝0 【解答】解：A.3x+2y﹣1＝0，含有两个未知数，是二元一次方程，故选项A不符合题意； B.5x2﹣6y﹣3＝0，含有两个未知数，是二元方程，故选项B不符合题意； C.3x+2＝0，含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，故选项C不符合题意； D．x2﹣1＝0，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（2026秋•雨花台区校级月考）一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝2x2化为一般形式为（　　） A．x2+2x+3＝0 B．3x2+2x+3＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝2x2， x2﹣3x+x﹣3＝2x2， 2x2﹣x2+3x﹣x+3＝0， x2+2x+3＝0， 故选：A． 3．（2025秋•临泉县期末）反比例函数的图象上3个点的坐标分别为（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【解答】解：∵m2+1＞0， ∴反比例函数图象在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵﹣2＜0＜2＜3， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 4．（2026秋•和平区校级月考）若M（﹣4，a），N（﹣3，b），P（1，c）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴开口向上，二次函数的对称轴为直线x＝﹣2， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵M（﹣4，a），N（﹣3，b），P（1，c）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点， ∴N（﹣3，b）到对称轴的距离最近，P（1，c）到对称轴的距离最远， ∴b＜a＜c． 故选：B． 5．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 6．（2026秋•朝阳区校级月考）对于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A．开口方向向下 B．顶点坐标为（﹣3，2） C．当x≥3时y随x增大而增大 D．对称轴为x＝﹣3 【解答】解：根据抛物线的性质判断解答如下： A．开口方向向上，不符合题意； B．顶点坐标为（3，2），不符合题意； C．当x≥3时y随x增大而增大，符合题意； D．对称轴为x＝3，不符合题意； 故选：C． 7．（2026秋•江汉区月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．b＝2a 【解答】解：A．∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故选项A错误； B．把x＝1代入y＝ax2+bx+c，得y＝a×12+b×1+c＝a+b+c， 由图象可知，x＝1对应点在x轴的下方，即y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项B错误； C．∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0． ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0． ∵抛物线与y轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项C错误； D．∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a，故选项D正确． 故选：D． 8．（2026秋•黄岛区月考）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49名同学会做这项实验，求每节课每名同学教会多少名同学做实验？若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（　　） A．1+x（x+1）＝49 B．1+x+x（x+1）＝49 C．1+x+x2＝49 D．1+2x＝49 【解答】解：设1人每次能教会x名同学，则第一节课教会了x名同学，第二节课教会了x（x+1）名同学， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝49． 故选：B． 9．（2026秋•太原校级月考）根据关于x的二次函数y＝x2+px+q，可列表如下： x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 y ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 方程x2+px+q＝0的正数解满足（　　） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【解答】解：根据关于x的二次函数y＝x2+px+q，则： 观察表格得：一元二次方程x2+px+q＝0的解位于1.1与1.2之间（不包括1.1与1.2）， ∴方程的正数解满足解的整数部分是1，十分位是1， 故选：C． 10．（2026秋•长沙月考）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过C，D两点分别作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，有下列结论：①△CEF的面积等于；②△CEF与△DEF的面积相等；③△DCE≌△CDF；④EF∥CD；⑤AC＝BD．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）． 由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴S△DFEDF•OF|xD|•||k， 同理可得S△CEFk，故①正确； 故S△DEF＝S△CEF．故②正确； 若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故④正确； ③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； ⑤法一：∵CD∥EF，DF∥BE， ∴四边形DBEF是平行四边形， ∴S△DEF＝S△BED， 同理可得S△ACF＝S△ECF； 由①得：S△DBE＝S△ACF． 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等， ∴BD＝AC，故⑤正确； 法二：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC＝EF＝BD， ∴BD＝AC，故⑤正确； 综上，正确的结论有4个：①②④⑤． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•江门校级一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是y＝（x+3）2﹣7　 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣1﹣1＝（x+1）2﹣2． ∴将抛物线y＝x2+2x﹣1先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是：y＝（x+1+2）2﹣2﹣5，即y＝（x+3）2﹣7． 故答案为：y＝（x+3）2﹣7． 12．（2026秋•雁塔区校级月考）若方程（a+4）x|a|﹣2+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为　4　 ． 【解答】解：∵方程（a+4）x|a|﹣2+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|a|﹣2＝2且a+4≠0， 解得a＝4， 故答案为：4． 13．（2026秋•南充校级月考）古希腊在研究黄金分割时得到方程x2﹣x﹣1＝0，已知m，n是方程的两个根，则代数式m3+m+3n＝　4　 ． 【解答】解：由条件可知m2﹣m﹣1＝0，即m2＝m+1， ∴原式＝m（m2+1）+3n ＝m（m+2）+3n ＝m2+2m+3n ＝m+1+2m+3n ＝3m+3n+1， ∵m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根， 根据根与系数的关系可得m+n＝1， ∴原式＝3（m+n）+1＝3+1＝4． 故答案为：4． 14．（2026秋•浦东新区月考）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为　　 ． 【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象，由题意可得： 令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0）， ∴新函数在﹣1＜x＜3时，y＝x2﹣2x﹣3； 在x≤﹣1或x≥3时，y＝﹣x2+2x+3， 当直线y＝x+b与y＝x2﹣2x﹣3（﹣1＜x＜3）相切时， 方程x2﹣2x﹣3＝x+b有两个相等实数根， 整理得x2﹣3x﹣3﹣b＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3﹣b）＝0即21+4b＝0， 解得， 当直线y＝x+b经过点（3，0）时， 3+b＝0，解得b＝﹣3， 如图， 结合图象可知，当时，直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点． 15．（2026秋•工业园区校级同步）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是 　6　 ． 【解答】解：过点C作CD∥x轴，交y轴于点D，如图所示： ∵一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且点A坐标为（2，0）， ∴2×2+b＝0， 解得：b＝﹣4， ∴该一次函数的表达式为：y＝2x﹣4， 对于y＝2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4， ∴点B的坐标为（0，﹣4）， ∴OB＝4， ∵点A坐标为（2，0）， ∴OA＝2， ∵， ∴设CA＝m，AB＝2m， ∴BC＝CA+AB＝3m， ∵CD∥x轴， ∴CD∥OA， ∴△OAB∽△DCB， ∴， ∴， ∴DC＝3，DB＝6， ∴OD＝DB﹣OB＝6﹣4＝2， ∴点C的坐标为（3，2）， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴k＝3×2＝6． 故答案为：6． 16．（2026•当阳市模拟）如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　6　 ． 【解答】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等， ∵点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2（x＞0）的图象上，AB⊥x轴， ∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6， ∴△APC的面积为6， 故答案为6． 三．解答题（共8小题） 17．（2026秋•武清区校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）2x2﹣x+3＝0； （3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （4）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0， 移项得x2+2x＝5， 配方得x2+2x+1＝5+1， ∴（x+1）2＝6， ∴，即； （2）Δ＝（﹣1）2﹣4×2×3＝1﹣24＝﹣23＜0， ∴此方程无实数根． （3）∵3x（x﹣2）＝2（2﹣x）， ∴3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）， ∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， 则（3x+2）（x﹣2）＝0， 解得； （4）移项得（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0， ∴（x﹣3+5﹣2x）[x﹣3﹣（5﹣2x）]＝0， 整理得（2﹣x）（3x﹣8）＝0， 解得． 18．（2026秋•平阴县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根a，b． （1）填空：a+b＝p ，ab＝　1　 ； （2）求的值； （3）若a2+b2＝2p+1，求p的值． 【解答】解：（1）由条件可知，； 故答案为：p，1； （2）由条件可知a2﹣ap+1＝0， 当a＝0时，式子a2﹣ap+1＝0不成立， ∴a≠0， ∴把等式a2﹣ap+1＝0两边同时除以a得， ∴； （3）由（1）得a+b＝p，ab＝1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝p2﹣2， ∵a2+b2＝2p+1， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得p＝﹣1或p＝3， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣p）2﹣4×1×1＞0， ∴p2＞4， ∴p＝3． 19．（2026•都安县一模）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　（60+10x）　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件， 故答案为：（60+10x）； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 20．（2026•息县一模）抛物线的图象经过点A（﹣1，0），点B（0，3），点C（3，0）． （1）求抛物线的表达式． （2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值． （3）若点M（m，y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线的图象经过点A（﹣1，0），点B（0，3），点C（3，0）．设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）由（1）得y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于直线x＝1对称， 设P（xP，d），Q（xQ，d），则xP+xQ＝2， ∵点D为线段PQ的三等分点，且P在Q的左侧， ∴点D在P，Q之间，且xP＜0＜xQ， 若，则，即xQ＝﹣2xP， 联立xP+xQ＝2， 解得：xP＝﹣2， 当x＝﹣2时，d＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5， 若，则，即xP＝﹣2xQ， 联立xP+xQ＝2， 解得：xQ＝﹣2，与xQ＞0矛盾，舍去， ∴d＝﹣5； （3）m的取值范围是0.5＜m＜2．理由如下： 点M（m，y1）和点N（m+1，y2）在二次函数的图象上，将点M，点N的坐标分别代入得： ，， ∵0＜y2＜y1， ∴， 解得：0.5＜m＜2， ∴m的取值范围是0.5＜m＜2． 21．（2026秋•厦门月考）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）分别连接AO和BO，求△ABO的面积． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． ∴将点A（1，3），B（n，﹣1）代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：，点B（﹣3，﹣1）， 将A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y1＝kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：y1＝x+2； （2）∵一次函数y1＝x+2与反比例函数交于点A（1，3），B（﹣3，﹣1）， ∴当y1＜y2时，x＜﹣3或0＜x＜1； （3）设一次函数y1＝x+2与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点B作BF⊥x轴于F，过点A作AE⊥y轴于E，如图所示： 对于y1＝x+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2， ∴D的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2，OD＝2， ∴， ∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）， ∴BF＝1，AE＝1， ∴，， ∴S△ABO＝S△OCD+S△OBD+S△OAC＝2+1+1＝4． 22．（2026秋•开福区校级月考）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的步长之差x之间有如表的关系： x/cm 1 2 5 7 y/cm 1400 700 280 200 【问题解决】 （1）请写出y与x之间的函数关系式． （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5cm时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为　2800　 cm． 【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD，一次游戏要求同学们闭眼从AB边的中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难到达边CD．这是为什么呢？经测量，在矩形ABCD中，BC＝170m，AM＝BM＝40m． （3）要想抵达草坪的对面CD，走偏最多的弧线为弧MC，求弧MC所在圆的半径R． （4）有研究显示，健康人群的步长之差约为0.33cm，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 【解答】（1）解：由题意，设反比例函数解析式为，将点（1，1400）代入得： 1400， 解得：k＝1400， ∴y与x之间的函数关系式为y 经检验，代入其他数据，符合题意； （2）解：当x＝0.5时，得：y2800， 故答案为：2800； （3）解：在矩形ABCD中，BC＝170m，AM＝BM＝40m， ∴∠ABC＝∠OBC＝90°． ∵OM＝OC，设OB＝xm， ∴OM＝OC＝（x+40）m， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OC2＝BC2+OB2， ∴（x+40）2＝1702+x2， 解得：x＝341.25， ∴弧MC所在圆的半径R为：341.25+40＝381.25（m）； （4）解：当x＝0.33时，y4242.42（cm）＝42.4242（m）＜381.25m， ∴人很难闭上眼睛走到草坪对面． 23．（2026秋•皇姑区校级月考）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根分别为m、n，求的值； （2）思维拓展：已知实数s，t满足s2﹣3s﹣2＝0，t2﹣3t﹣2＝0，且s≠t，求的值． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝3，mn＝﹣2， ∴； （2）∵实数s，t满足s2﹣3s﹣2＝0，t2﹣3t﹣2＝0，且s≠t， ∴s，t是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根， ∴s+t＝3，st＝﹣2， ∴±． 24．（2026秋•大连月考）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1． （1）若抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，0）． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线y＝x2+bx+c向右平移t（t＞0）个单位得到抛物线y1，当1≤x≤7时，抛物线y1对应的函数值的最大值为16，求t的值； ③过点P（2，﹣3）的直线与抛物线y＝x2+bx+c交于不同的两点A，B，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，求（m﹣2）（n﹣2）的值． （2）已知点E（0，﹣9），F（3，﹣5），若抛物线y＝x2+bx+c与线段EF只有一个交点，直接写出c的范围． 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴，即1， 解得b＝﹣2， 将（﹣2，0）代入y＝x2﹣2x+c中，得0＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+c，解得c＝﹣8， ∴y＝x2﹣2x﹣8； ②∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣8向右平移t（t＞0）个单位得到抛物线， ∴抛物线y1的开口向上，对称轴为直线x＝1+t， ∵t＞0， ∴1+t＞1． 当1+t≥7时，即t≥6，1≤x≤7在对称轴左侧，y1随x的增大而减小， ∴当x＝1时，抛物线y1对应的函数值最大为16， ∴（1﹣1﹣t）2﹣9＝16，解得t1＝5，t2＝﹣5， ∵t≥6， ∴均不符合，舍去； 当1+t＜7时，即t＜6，若1+t﹣1＝7﹣（1+t），则t＝3， 当0＜t≤3时，x＝7时，抛物线y1对应的函数值最大为16， ∴（7﹣1﹣t）2﹣9＝16，解得t1＝1，t2＝11（舍去）， 当3＜t＜6时，x＝1时，抛物线y1对应的函数值最大为16， ∴（1﹣1﹣t）2﹣9＝16，解得t1＝5，t2＝﹣5（舍去）， 综上所述，t的值为1或5； ③设过点P（2，﹣3）的直线解析式为y＝kx+b1， 则2k+b1＝﹣3， ∴b1＝﹣3﹣2k， ∴y＝kx﹣3﹣2k， 联立得x2﹣2x﹣8＝kx﹣3﹣2k，整理得x2﹣（2+k）x+2k﹣5＝0， 由题意得，m、n是这个方程的两个实数根， ∴m+n＝2+k，mn＝2k﹣5， ∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4 ＝2k﹣5﹣2（2+k）+4＝﹣5； （2）﹣9≤c＜﹣8，或． 已知点E（0，﹣9），F（3，﹣5），若抛物线y＝x2+bx+c与线段EF只有一个交点，则： 设直线EF的解析式为y＝k1x+b2，代入E（0，﹣9），F（3，﹣5）， ∴， 解得， ∴， 令， 整理得， 当时，， 此时，解得，符合0≤x≤3，抛物线与线段EF只有一个交点； 当抛物线y＝x2﹣2x+c过点E（0，﹣9）时，c＝﹣9，此时y＝x2﹣2x﹣9， 当x＝3时，y＝9﹣6﹣9＝﹣6， ∵﹣6＜﹣5， 当抛物线y＝x2﹣2x+c过点F（3，﹣5）时，﹣5＝9﹣6+c，解得c＝﹣8，此时抛物线与线段EF有两个交点，不符合题意； ∴﹣9≤c＜﹣8． 综上所述，c的取值范围是﹣9≤c＜﹣8或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $