2026-2027学年高二上学期数学期中自编模拟试题（范围：人教A版选择性必修第一册第一章-第三章第一节）

2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟试题 （范围：人教A版选择性必修一第一章-第三章第一节） 本卷满分150分，考试时间120分钟，难度系数0.65。 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分共40分） 1．直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 2．椭圆的短轴长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 3．已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（    ） A． B． C． D． 5．如图，在梯形 中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（    ） A． B． C． D． 6．椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围为 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆，则（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分共18分） 9．经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线，圆C的方程为，则下列选项正确的是（    ） A．直线l与圆一定相交 B．当k=0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则面积的最大值为 C．当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2 D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48 11．在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积不是定值 C．若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面的距离最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分共15分） 12．已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 13．已知圆与直线，上任意一点向圆引切线，切点为A，B，若线段AB长度的最小值为，则实数的值为____________． 14．已知椭圆C：（）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，PA⊥PF，直线PA与OB交于点M，且，则该椭圆的离心率为______. 四、解答题 15．（13分）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， (1)用向量，，表示与； (2)求证：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦． 16．（15分）已知直角坐标平面内的两点. (1)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程； (2)一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上，直线经过坐标原点，并且被圆截得的弦长为2. (1)求直线的方程. (2)求圆关于直线对称的圆的方程. 19．（17分）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A D A A C ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 2．C 【分析】利用椭圆方程直接求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，∴，则短轴长为. 故选：C. 3．A 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以右顶点坐标为，. 根据椭圆性质可知，椭圆上到右焦点距离最短的点为右顶点， 所以最小值为. 故选：A. 4．A 【分析】根据题设分析可得，要使面积最大，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】直线与x，y轴分别交于M，N两点，则， 由圆，即，则圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 则直线与圆相离，而点在圆上， 要使面积最大，则点到直线的距离最大， 即与直线垂直，而，则， 如图，此时三点共线，即，则， 所以. 故选：A    5．D 【分析】由已知及几何体中对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出即可. 【详解】 . 故选：D 6．A 【分析】由题意，设，，，的外接圆的方程为，进而联立方程组求出圆心坐标，建立关于的不等式即可求解. 【详解】解：由题意，设，，，的外接圆的方程为， 则，解得，所以， 所以的外接圆圆心为， 所以，即，也即， 因为， 所以，即， 所以， 所以， 故选：A． 7．A 【分析】利用椭圆的定义结合正弦定理可求得结果. 【详解】在椭圆中，，，则，故点、为椭圆的焦点， 因此，. 故选：A. 8．C 【分析】先利用向量条件得到线段长度比例，设，结合椭圆定义写出，再在中使用余弦定理，求解关于的表达式；接着在中由余弦定理求出，再对再次使用余弦定理，建立关系式，进而求出离心率. 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）. ， ， 在中，， 整理得. 9．ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 10．AC 【分析】由直线过定点在圆内判断A，由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面积最大值判断B，当定点与圆心连线垂直于直线时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判断C，求出圆与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D． 【详解】直线过定点，，在圆内，因此直线一定与圆相交，A正确； 时，直线为，代入圆方程得，，因此， 圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为，的面积最大值为，B错； 当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小时，，， 因此，C正确； 在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为， ，，四边形面积为，D错． 故选：AC． 11．ACD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直即可判断A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可判断B，利用点面距离的向量公式求解距离，然后利用一次函数性质求解最值判断C，利用向量法可求线面角的正弦值，再利用二次函数性质求解最值判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取正方体的棱长为2， ，，，， ，，，， 对于A：，， ， 所以，，且， 所以是平面的一个法向量，即直线平面，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 所以平面，因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故由等体积法可知三棱锥的体积为定值，故B错误； 对于C：设，则， 由A选项可知平面的一个法向量为， 故点M到平面的距离为， 因为，所以． 即点M到平面的距离最小值为，故C正确； 对于D：设，则，， 由A选项可知平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 且最大值为，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 13． 【解析】先求出圆心和半径，设，则，由题意可得，从而可求得圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式可求出实数的值 【详解】圆C：，则圆心，， 设，则 ， 有最小值， 即圆心到直线的距离为 即 (舍负)． 故答案为： 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题 14．/ 【分析】画出图像，设出，由，表示出坐标，代入椭圆方程，得到，再根据，得到斜率关系，列出离心率方程可求解. 【详解】 设，，因为，所以得，， 因为点P在椭圆上，故可得，得， 因为，所以，，代入，，，得，联立和 得，所以，或（舍去） 故答案为： 15．(1)， (2)由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 由题意可得，， 所以，， 所以，同理可证， 因为，因此，平面 (3) 【分析】（1）使用空间向量的线性运算求解； （2）使用向量证明线线垂直，通过线面垂直判定定理求解； （3）使用空间向量的模长公式和夹角公式求解. 【详解】（1） （2）略 （3）由（1）得 所以，异面直线与夹角的余弦为 16．(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出方程； （2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程． 【详解】（1）由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为， 由直线方程的点斜式得直线的方程为， 即； （2）设关于轴的对称点为，则点， 所以， 则直线， 即反射光线所在的直线方程为． 17．(1)证明：是等边三角形，是的中点，， 又平面平面， 又平面平面平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直得到，再由线面垂直的判定定理得到结果即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可； 【详解】（1）略 （2）由（1）得平面，连接，建立以为原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系， 如图所示，底面是边长为4的正方形，    则， ， 则，设平面的法向量为， 则 取，则平面的法向量为， 又平面的法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为 . 18．(1)或； (2) 【分析】（1）先根据已知条件求出圆的方程，再分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用直线与圆的位置关系求出直线的方程； （2）先求出直线的方程，再求出圆心关于直线对称的圆心圆心的坐标，最后根据圆的标准方程写出圆的方程. 【详解】（1）圆心在直线上，设圆心的坐标为， 又圆经过点，和直线相切，而在直线上，是切点， 故圆心到直线的距离等于圆心到点的距离，，解得， 圆，半径，故圆的方程为， 直线经过坐标原点，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线被圆截得的弦长为2且圆的半径为，故圆心到直线的距离为1， ，解得，则直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. （2）由（1）可知圆的方程为，直线的解析式为， 圆关于直线对称的圆半径不变，只需求圆的圆心关于直线对称的圆的圆心即可， 设关于直线对称的点为，则， 解得，，故圆的方程为. 19．(1) (2)为定值零． 【分析】（1）由已知条件得关于的方程组，联立求解即可； （2）设、，将直线方程与椭圆联立，消元，得，由根与系数关系得：，再由斜率公式计算即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $