3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦椭圆标准方程及性质的应用，系统梳理直线与椭圆的位置关系（相离、相交、相切的判别式判断）、弦长公式的推导与应用，以及中点弦问题的解决方法（设而不求、点差法），构建从基础判断到复杂问题的递进式学习支架。 资料以逻辑推理和数学运算为核心，通过一题多解（如位置关系判断的代数法与几何法）、规律方法总结（如弦长公式、中点弦点差法）及梯度训练题，培养学生严谨思维与运算能力。课中助力教师高效授课，课后通过多样化练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用 课标 要求 1.会判断直线与椭圆的位置关系（逻辑推理、数学运算）. 2.体会设而不求的数学方法，求弦长及中点弦等有关问题（数学运算）. 知识点一　直线与椭圆的位置关系 问题　（1）如何判断P（x0，y0）与椭圆＋＝1的位置关系？ 提示：将点P（x0，y0）代入椭圆方程左侧，与右侧1比大小. 若＋＞1，P在椭圆外； 若＋＝1，P在椭圆上； 若＋＜1，P在椭圆内. （2）类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？ 提示：直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用判别式Δ判断. 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程， 位置关系 公共点个数 组成的方程组的解 判定方法（利用判别式Δ） 相交 　2　个 　两　解 Δ　＞　0 相切 　1　个 　一　解 Δ　＝　0 相离 　0　个 　无　解 Δ　＜　0 提醒：设直线方程时，注意斜率不存在的情况. （链接教材P114例7）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）相交； 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，　① 方程①的根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不相等的实数根，这时直线l与椭圆C相交. （2）相切； 解：当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根，这时直线l与椭圆C相切. （3）相离. 解：当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数根，这时直线l与椭圆C相离. 规律方法 　　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 训练1　（1）〔一题多解〕直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是（　A　） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 解析：法一　直线过点（0，1），而0＋＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交. 法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＝640＞0，所以直线与椭圆相交. （2）〔多选〕无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1交点情况有（　BC　） A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.无法确定 解析：因为y＝kx＋2过定点（0，2），且椭圆＋＝1的上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，故选B、C. 知识点二　直线与椭圆中的弦长问题 问题　当直线与椭圆相交时，如何求截得的弦长？试推导一下. 提示：当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m（k≠0），椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则｜AB｜＝， 所以｜AB｜＝ ＝ ＝， 或｜AB｜＝ ＝ ＝. 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y（或x）后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 弦长公式：当直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2）时，｜AB｜＝ ＝　　或｜AB｜＝　　. 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 已知椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； 解：由题意得解得c＝，a＝，b＝＝＝1，∴椭圆M的方程为＋y2＝1. （2）若直线过椭圆的上顶点，且k＝1，求｜AB｜的值. 解：∵k＝1，椭圆上顶点为（0，1），∴直线l的方程为y＝x＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2）. 联立得2x2＋3x＝0.又直线l与椭圆M有两个不同的交点，∴Δ＝9＞0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0， ∴｜AB｜＝·｜x1－x2｜ ＝· ＝×＝. 规律方法 求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长； （2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式求弦长. 训练2　（1）过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则｜AB｜＝　1　； 解析：因为椭圆＋y2＝1，可得a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所以椭圆的右焦点的坐标为F（，0），将x＝代入椭圆的方程，求得y＝±，所以｜AB｜＝1. （2）已知直线y＝x＋2交椭圆＋＝1于A，B两点，若｜AB｜＝3，则实数m的值为　12　. 解析：由椭圆＋＝1，得顶点为（0，2），而直线y＝x＋2也过（0，2），所以A（0，2）为直线与椭圆的一个交点，设B（xB，yB），则｜AB｜＝＝｜xB－xA｜＝｜xB｜＝3，解得xB＝±3，所以B（－3，－1）或B（3，5）（舍去），把B（－3，－1）代入椭圆方程得＋＝1，故m＝12. 提能点　直线与椭圆中的中点弦问题 问题　直线l与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设AB中点为P（x0，y0），你能求出kAB·kOP的值吗？ 提示：将点A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，则 ①－②得＋＝0，因为x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－，即kAB·kOP＝－. 〔一题多解〕已知P（1，1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，若此弦被点P平分，求此弦所在的直线方程. 【破题思维】 题目信息 信息转化 已知P（1，1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，此弦被点P平分 联想到P为弦的中点，点P在此弦所在的直线上，易设直线方程为y－1＝k（x－1），与椭圆方程联立，由根与系数的关系可求出k的值 解：法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k（x－1），弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点. 由 消去y得，（2k2＋1）x2－4k（k－1）x＋2（k2－2k－1）＝0， ∴x1＋x2＝， 又∵x1＋x2＝2，∴＝2， 解得k＝－. 经检验，k＝－满足题意. 故此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1）， 即x＋2y－3＝0. 法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则＋＝1，　① ＋＝1，　② ①－②得＋ ＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0， 又x1－x2≠0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意. ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 规律方法 解决椭圆“中点弦”问题的方法 训练3　过点M（1，1）作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，试求椭圆C的离心率. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1.∵直线AB的方程是y＝－（x－1）＋1，∴y1－y2＝－（x1－x2）.由①②两式相减可得＋＝0，即＋（－）·＝0.∴a＝b，∴c＝b，∴e＝＝. 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析：A　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离. 2.直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是（　　） A. B. C. D. 解析：A　将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，可得x2＋4（x＋1）2＝8，即5x2＋8x－4＝0，∴x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝，∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为＝. 3.已知椭圆M：＋y2＝1，直线l与椭圆M相交于A，B两点，点D（1，）是弦AB的中点，则直线l的斜率k＝　－　. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与椭圆M相交于A，B两点，所以有两式作差得－＝－，整理得kAB＝＝－×，因为点D（1，）是弦AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以kAB＝－. 4.已知直线y＝kx＋1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆＋＝1（b＞0）总有公共点，则实数b的取值范围为　[1，2）　. 解析：由题意，知直线y＝kx＋1（k∈R）恒过定点M（0，1），要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1（b＞0）总有公共点，则只需点M（0，1）在椭圆上或椭圆内，则b≥1.又b2＜4，所以1≤b＜2. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.点P（4cos α，2sin α）（α∈R）与椭圆C：＋＝1的位置关系是（　　） A.点P在椭圆C上 B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 解析：D　把P（4cos α，2sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左边，得＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4＞1，因此点P在椭圆C外. 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　　） A.　　 　B.－ C.±　　 　D.± 解析：C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3.〔一题多解〕直线y＝x被椭圆x2＋＝1截得的弦长为（　　） A. B. C. D. 解析：B　法一　由解得或所以直线y＝x交椭圆于点A（，），B（－，－），所以｜AB｜＝＝. 法二　设直线y＝x与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由得3x2－2＝0，则x1＋x2＝0，x1x2＝－，所以｜AB｜＝＝＝. 4.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值为（　　） A.　　 　B. C.　　　 D. 解析：B　由消去y，得（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为（x0，y0），则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x得y0＝.由题意知＝，∴＝. 5.（2026·泰安质检）已知过圆锥曲线＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为（　　） A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0 C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0 解析：B　过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，则与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x＋y－2＝0. 6.〔多选〕已知椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0相交于两个不同的点A，B，M为线段AB的中点，则（　　） A.－＜m＜ B.m＜－或m＞ C.弦长｜AB｜的最大值为 D.M一定在直线x＋4y＝0上 解析：AD　设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0的方程，得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由判别式Δ＝（8m）2－4×5×4（m2－1）＞0，得m2＜5，即－＜m＜，选项A正确，选项B错误；又x1＋x2＝－，x1x2＝（m2－1），所以｜AB｜＝·＝·，当m＝0时，弦长｜AB｜取最大值，｜AB｜＝，选项C错误；由直线l：y＝x＋m，线段AB中点M的坐标为（，＋m），即M（－，），所以点M的坐标满足直线方程x＋4y＝0，选项D正确，故选A、D. 7.〔多选〕已知直线y＝－x＋1经过椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点Q，且与E在第四象限交于点P，E的左、右焦点分别为F1，F2，则（　　） A.E的离心率为 B.△PQF1的周长为4 C.以PF1为直径的圆过点Q D.｜PQ｜＝2 解析：BC　由题意可知Q为椭圆E的上顶点，如图，对于A，直线y＝－x＋1经过E的右焦点F2（1，0）和上顶点Q（0，1），所以b＝1，c＝1，则a＝＝，所以E的离心率为e＝＝，A错误；对于B，由椭圆的定义可知，△PQF1的周长为4a＝4，B正确；对于C，由A中分析可得｜QF1｜＝｜QF2｜＝，｜F1F2｜＝2，所以｜QF1｜2＋｜QF2｜2＝｜F1F2｜2，所以∠F1QF2＝90°，则以PF1为直径的圆过点Q，C正确；对于D，由A中分析可知E的方程为＋y2＝1，由解得或则P（，－），Q（0，1），所以｜PQ｜＝＝，D错误. 8.如果椭圆的一个焦点坐标为（2，0），过此焦点且垂直于x轴的弦的长为，则这个椭圆的标准方程为　＋＝1　. 解析：设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），由题知解得则所求椭圆的标准方程为＋＝1. 9.已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1（0＜b＜4）相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C（－1，2），则△CF1F2的面积为　4　. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，则所以＝－，即＝，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，所以＝×2c×2＝4. 10.（13分）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1交于M，N两点（点M，N不重合）. （1）求m的取值范围； （2）若m＝1，求｜MN｜. 解：（1）由消去y得5x2＋8mx＋4m2－8＝0， 由题意知Δ＞0，即（8m）2－20（4m2－8）＞0，化简得m2＜10，解得－＜m＜，即m的取值范围为（－，）. （2）当m＝1时，5x2＋8x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝， 故｜MN｜＝｜x1－x2｜＝×＝. 11.经过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则·＝（　　） A.－3 B.± C.－ D.－ 解析：C　由题意得椭圆的标准方程为＋y2＝1，∴a＝，b＝1，∴c＝1，∴椭圆的焦点为（－1，0），（1，0）.不妨设倾斜角为45°的直线l过点（1，0），则其方程为y＝x－1，由消去y，整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.当x＝0时，y＝－1；当x＝时，y＝.∴·＝0×＋（－1）×＝－.故选C. 12.已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为（　　） A.x＋4y＝0 B.x＋4y＝0（－＜x＜） C.4x＋y＝0 D.4x＋y＝0（－＜x＜） 解析：B　设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），由点差法可知，k＝2＝＝－×＝－×，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＋（－）2＜1，解得－＜x＜.∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0（－＜x＜）. 13.〔多选〕设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.kAB·kOM＝－1 B.若点M坐标为（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 解析：BD　设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（，），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选B、D. 14.（15分）在平面直角坐标系中，C1（0，－），圆C2：x2＋（y－）2＝12，动圆P过C1且与圆C2相切. （1）求动圆圆心P所在曲线C的方程； （2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝－上，求直线l的方程. 解：（1）连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r， 由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2－r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2＞｜C1C2｜＝2， 所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2，焦距为2c＝2， 则a＝，c＝，故b＝＝1， 所以曲线C的方程为＋x2＝1. （2）若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意. 若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1， 将y＝kx＋1代入＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－，即＝－＝－， 所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3， 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1. 15.（15分）已知直线l过点P（3，0），且与椭圆＋y2＝1相交于不同的两点M，N. （1）若MN中点的纵坐标为，求直线l的方程； （2）若｜MN｜＝，求直线l的方程. 解：（1）根据题意可得直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为x＝my＋3，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为Q，如图，联立 整理可得（m2＋4）y2＋6my＋5＝0，Δ＝（6m）2－4×5（m2＋4）＞0， 解得m＞或m＜－， 则y1＋y2＝， 由MN中点的纵坐标为，可得＝2×， 解得m＝－2或m＝－（舍去）， 因此直线l的方程为x＋2y－3＝0. （2）由（1）可得｜MN｜＝·＝·， 又｜MN｜＝，可得·＝， 整理可得13m4－88m2－128＝0， 解得m2＝8（负值已舍去）， 即m＝±2，满足题意， 因此直线l的方程为x±2y－3＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $