精品解析：江苏省无锡市市北高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

无锡市市北高级中学2026―2027学年第一学期 高二年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.10 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 5. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于平面ABC外的一点P，有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8. 生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥，其所有棱长都为6，且交于点O，点E在线段上，且，则的重心G到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D. 经过点，两点的直线方程为 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 若点在平面内，则必存在实数，使得 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 存在实数、使得 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点，且以为一个方向向量的直线的方程为_____. 13. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是________ 14. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 17. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求三棱柱的侧棱长； （2）设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量； （3）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 18. 已知直线，互相垂直，且相交于点． （1）若的斜率为2，与轴的交点为Q，点在线段PQ上运动，求的取值范围； （2）若，分别与y轴相交于点A，B，求的最小值． 19. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2026―2027学年第一学期 高二年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.10 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案． 【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， 则设，即，，，2，， 则有，则，， 则，，，故； 故选：A． 2. 已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用面面平行可得两个平面的法向量平行判断即可. 【详解】因为，设平面的法向量为， 所以，即， 对于A项，，故A项不成立； 对于B项，，故B项不成立； 对于C项，，故C项不成立； 对于D项， ，故D项成立. 故选：D. 3. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 4. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线与直线的倾斜角，结合图象可知旋转角的大小. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 5. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于平面ABC外的一点P，有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 7. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 8. 生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥，其所有棱长都为6，且交于点O，点E在线段上，且，则的重心G到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为所有棱长都为6，所以，， 所以，，，，， 因为为的重心，所以. 设，，， 因为，所以，即. 因为，， 则G到直线的距离. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 D. 经过点，两点的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【详解】A项：方程是点斜式，不能表示斜率不存在的直线（即垂直于轴的直线），故A错误； B项：当直线在两坐标轴上的截距均为时（即过原点），不能用该截距式方程表示，故B错误； C项：两点式方程的前提是且.当或时，分母为，不能用该方程表示，故C错误； D项：该方程由两点式变形而来，即使当或时，等式依然成立且能表示对应的直线，故D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 若点在平面内，则必存在实数，使得 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 存在实数、使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误； 对B：取的中点为，连接，如下所示： 在三角形中，分别为的中点，故可得//， 在三角形中，分别为的中点，故可得//， 则//，故直线所成的角即为或其补角； 在三角形中，， ， 由余弦定理可得：， 即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：连接如下图所示： 在三角形中，， ，， 故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为， 则.故C正确； 对D：记的中点为，连接，如下所示： 由B选项所证，//，又面面，故//面； 易知//，又面面，故//面， 又面，故平面//面， 又面，故可得//面， 故存在实数、使得，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题. 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点，且以为一个方向向量的直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，可得出直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线的斜率为，所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围． 【详解】设直线的倾斜角为 α，则 tanαsinθ， ∵﹣1≤sinθ≤1， ∴tanα， 又 α 的范围为 ， ∴的范围为， 故答案为． 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，正切函数的有界性以及倾斜角的取值范围． 14. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，当点P，M，N和共线时周长最小，计算得到，，，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据距离公式计算得到答案. 【详解】要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面， 延长DC至，使得， 于是点N在线段的垂直平分线上，所以， 因为PD为定值，故当点P，M，N和共线时，空间四边形PMND的周长最小， 易得，即得，即， 所以，，， 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，由题意可得，，， 则，， 设是平面PMN的一个法向量，则. 即得， 令，得，，，， 所以点Q到平面PMN的距离． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可. 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以. 且. 因为向量与垂直, 所以. 即. 所以实数和的值分别为和. (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 16. 已知直线：与直线：，. （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求三棱柱的侧棱长； （2）设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量； （3）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设侧棱长为，然后表示出对应点坐标，根据求得的值即可； （2）根据为中点可得，然后结合可求结果； （3）先表示出的坐标，然后计算出，再结合空间向量夹角的余弦值计算公式求解出结果. 【小问1详解】 设侧棱长为， 则， 所以， 因为， 所以， 解得（负值舍去），故侧棱长为. 【小问2详解】 因为M为BC1的中点， 所以. 【小问3详解】 由（1）知， 所以，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知直线，互相垂直，且相交于点． （1）若的斜率为2，与轴的交点为Q，点在线段PQ上运动，求的取值范围； （2）若，分别与y轴相交于点A，B，求的最小值． 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式可得的方程为，然后利用的几何意义及斜率公式即得； （2）设的斜率为，由题可得直线方程，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【小问1详解】 由于的斜率为2，则的斜率为， 则的方程为，令，得， 表示点与连线的斜率，由于，， 所以，的取值范围是． 【小问2详解】 由题可知，直线，的斜率均存在，且不为0， 设的斜率为，则的斜率为， 直线的方程为，令，得， 直线的方程为，令，得， 则， 当且仅当时取“=” ． 故的最小值为2． 19. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 底面中，已知，，， 由余弦定理得， 所以， 又平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2）； （3）存在，或，理由如下： 假设存在，不妨设，由（2）可知， 则， 设与平面所成角为， 则， 解之得或，即存在M符合题意，此时或. 【解析】 【分析】（1）证明即可判定线面垂直； （2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知三直线两两垂直，可以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有 及， 取，取， 即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $