第四章指数函数与对数函数单元自测卷（1）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数单元自测卷（1） 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解. 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂运算以及对数的定义分析求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用换底公式化简对数，再结合题意代入变量求解即可. 【详解】由题意得 ， 故B正确. 故选：B 6．（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别判断与 0、1的大小关系，即可求解. 【详解】指数函数 在上单调递增，所以，即； 指数函数 在上单调递减，所以， 又因为指数函数的值域大于0，所以，即. 对数函数在上单调递减，所以，即. 由上述分析可知，所以. 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是37.7834；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过（    ）天．（参考数据：，） A．130 B．230 C．150 D．115 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，即， 故， 故大约经过115天. 故选：D. 8．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 二、多选题 9．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）函数的图象（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误； 因为函数和函数在上均为增函数， 所以在上单调递增，故C正确，D错误. 11．（25-26高一下·河南叶县·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得 ，解得， 综上或，A错误； 对于B，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上，或，B正确； 对于C，因为 ， 所以 ，C正确； 对于D，当时，，当时，， 所以，的值域为，D正确． 三、填空题 12．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次函数根的分布的性质，结合对称轴，顶点纵坐标及特殊点函数值得到不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 要想函数的两个零点都在区间内，需满足， 解得，故实数m的取值范围是 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）函数单调递减区间是________________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【详解】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 四、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 【答案】(1)70；(2) 【分析】（1）利用指数及分数指数幂运算公式化简求值． （2）利用对数运算公式化简. 【详解】（1） ； （2） 16．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； (2)证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【详解】（1）略； （2）略. 17．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； (3)或 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）略 （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 18．（25-26高一上·河北承德·期中）已知函数在上的最大值与最小值之差为1． (1)求实数的值； (2)求的最小值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合已知条件列出关于的方程，进而求解的值. （2）先求出的表达式，再根据二次函数的性质求出的最小值，最后根据对数函数的单调性求出的最小值. （3）先对不等式右边化简，再根据对数函数的单调性列出关于的不等式，进而求解不等式的解集. 【详解】（1）因为函数，根据对数函数的性质，当时，函数在区间上单调递增．所以在区间上单调递增， 又因为函数在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得． （2）由（1）得，则． 因为对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递增，所以， 即的最小值为． （3）由（1）知，， 又因为， 所以，即， 所以，令， 则，即， 解得；解得． 所以的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为. 19．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数，（且）图象的一部分.临床表明，当药物浓度不低于时治疗有效. (1)求的函数关系式； (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留位小数）. 【答案】(1) (2)3.4小时 【分析】（1）根据函数图象的性质，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用每段曲线对应函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，； 又当时，曲线是函数，（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，又，所以， 则可得，； 综上可得. （2）由题意知，当药物浓度大于等于4时治疗有效， 当时，令， 解得：， 当时，令， 解得：， 综上可得，， ∵， ∴该药物的有效治疗时长约为小时. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $回深弱▣互薄 第四章指数函数与对数函数单元自测卷(1) 动弱 讲诊 一、单选题 可经题断 1.(26-27高一上·江苏宿迁阶段检测)下列根式与分数指数幂的互化中，错误的 是() A.5-32=-2 B.a-blo=la-bP 115 C.(a.Vab=a5b2a>0,b>0 D.。b-a6a0.b01 2.(25-26高一上·福建莆田：期中)函数y=(7-2a是指数函数，则实数。的取值范围为（） B.-0,3) c-,3u3,引D3, 3（2s26商-上山东案庄期+)如图0800中不属于医数y-2,y-6,y-2广的-个是 ① ② ③ (④ A.① B.② C.③ D.④ 4.(2425高一上江苏宿迁期中)计算17-() 2 A.71 B.7 c.27 D.27 5.(25-26高一上广东深圳·期中)已知log23=a,1og25=b,则log15375=() A.a+2b B.a+3b C.-2b D.a-3b a+b a+b a-b a-b 6.（25-26高一下·广东江门·期中)已知a=2.4,b=0.32,c=l0g023,则() A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c 7.(25-26高一上·湖北武汉·期末)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江 试卷第1页（共3页） 海.”我们可以把1+19%看作是每天的“进步”率都是1%：一年后是1+19%)≈37.7834：而把 (1-1%}看作是每天“退步”率都是1%一年后是0.9965≈0.025：这样，一年后的“进步值”是 “退步值”的1.01365 9g≈1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约经过C）天、 (参考数据：1g101≈2.0043，lg99≈1.9956) A.130 B.230 C.150 D.115 8。(25-26高一上-山东济南：期中)已知函数fX=x-3X+1在区间0,1内有且仅有1个零点，在利用 二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为() A. 0,4 B. 11 C.13 42 24 二、多选题 9.(25-26高一下…湖北咸宁.期中)下列结论正确的有() A.2g23=3 B.1og23·log38=3 C. g+-1号 D.(1g22+lg2-lg5+lg5=10 10.(25-26高一下广东汕头阶段检测)函数fx=9-1的图象（) 3 A.关于原点对称 B.关于y轴对称 C.在R上单调递增 D.在R上单调递减 1og3x-1,x>1 11.(25-26高一下·河南叶县·期中)己知函数fx= 下列结论正确的是() 3/,xs1 A.若f(a)=1,则a=4 B.若f(a)≥3，则a≤-1或a≥28 2027 =2026 2026 D.f(x)无最值 三、填空题 试卷第2页（共3页） 12.(26-27高一上·江苏南京·阶段检测)若函数y=x2+x+2的两个零点都在区间1,2内，则实数m的 取值范围是 13.(24-25高一上·江苏连云港阶段检测)函 y=225x-6单调递减区间是 14.(25-26高一上浙江杭州期中)函数fx=-3X+4ax-4a+5,X<1在R上单调递增，则a的取 1oga（x+3),x≥1 值范围是 四、解答题 1 15.(25-26高一上浙江杭州期中)1)0.125+-4+2.3+2-2 2 (2)4o83-1+1og32-log1627+log186+log183 1655有-卡南吕期)已知d=g引 (①)判断函数fx的奇偶性，并说明理由： (2)求证：fx>0, 17.(25-26高一上·福建厦门期中)已知函数fx=ln2-x+ln2+x. (1)求函数fx的定义域： (2)判断fx奇偶性，并加以证明： (3)若f2m+1<ln3,求实数m的取值范围 18.（25-26高一上河北承德期中)已知函数fx=10g,xa>1在a,2a上的最大值与最小值之差为 (1)求实数a的值： ②求fx-+1的最小值： 3)求不等式f4-2”s2+10g5×1og,3的解集。 19.(26-27高一上·浙江嘉兴·期中)某医药研究所测试某种新药的血液浓度，测得血液中药物浓度℃（单 位：μg/mL)与服药后时间t(单位：小时)之间的关系满足如图所示的曲线当t∈0,3时，曲线是二 次函数图象的一部分：当t∈3,24时，曲线是函数c=1+4·a-3,(a>0且a≠1)图象的一部分.临床表 试卷第3页（共3页） 明，当药物浓度不低于4μg/mL时治疗有效. 6 3.25 2 23.5 (①)求c=ft的函数关系式： (2)求该药物的有效治疗时长（结果保留1位小数)· 试卷第4页（共3页）