精品解析：宁夏回族自治区中卫市第一中学2026-2027学年高三上学期10月学情诊断评价数学试题

中卫市第一中学2026-2027学年度第一学期10月份学情诊断评价 高三数学 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的实数解所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为.若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 2 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 设、为正数，且，则的最小值为_____________. 13. 若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 14. 已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求，的值； （2）当时，求的最小值． 16. 已知函数 （1）求、的值； （2）若，，求的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值； 18. 已知函数（a为常数）， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）不等式在上有解，求实数a的取值范围． 19. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2026-2027学年度第一学期10月份学情诊断评价 高三数学 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解． 【详解】因为，所以． 故选：B． 2. 方程的实数解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性，可得，进而可得充分性和必要性. 【详解】解：， 则“”是“” 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题. 4. 角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则， 所以.  5. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，① 由得，② ①②得，， ①②得，， 因此. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用极值点的性质结合二次函数的性质得出实数的取值范围. 【详解】，因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根，故，解得. 故选：D 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象分析可得的值，再由的取值范围即可得出答案. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 若，由，即， 即，化简可得：，所以， 当时，单调递增，且， 令，则，所以，. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系，求出的三角函数值，进而根据角的范围，以及三角恒等变换，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由诱导公式可知，即，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； ，所以C正确； 由可得， 则，所以D正确； 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为.若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，通过求导并结合不等式，即可得出使不等式成立的的可能值. 【详解】由题意，, 在函数中, 设，则 ∵， ∴， ∴，即在定义域上单调递减. ∵， ∴， ∴不等式等价于，即， 解得：， 结合选项可知，只有BD符合题意. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 设、为正数，且，则的最小值为_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】 基本不等式中“1的代换”求最值. 【详解】因为、为正数，且， 所以, 当且仅当a=b=1时取等号 即的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域． 13. 若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 14. 已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求，的值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 当时，，则在上单调递增，所以； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以在上的最小值为． 综上可得，在上的最小值为． 16. 已知函数 （1）求、的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入，运算求解即可； （2）根据题意可得，以为整体，结合两角和差公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以， . 【小问2详解】 因为，即， 又，则，可得， 所以 . 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值； 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，可得平面， 因为平面，所以， 在中，，且点是线段的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱可得线面垂直，从而得到线线垂直；再根据等腰三角形三线合一的性质可得线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再求出这两个法向量夹角余弦的绝对值，从而可以求出锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，可得平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得，且， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以； 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数（a为常数）， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【小问1详解】 当时，，， ，， 曲线在点处的切线方程． 【小问2详解】 在上有解在上有解， 在上有解， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，， 所以当时，取最小值，， 所以，故实数a的取值范围是． 19. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2）函数的定义域为，求导得， ，， 使得，即，， 又在上单调递增， ∴当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上单调递减， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）对函数直接求导，由导数符号判断单调区间. （2）先对求导，利用导函数的单调性确定的最小值点，再将最小值与所给常数比较即可. （3）由可转化为函数在上单调递减、在上单调递增，从而得到再代入的表达式，并令，把问题转化为参数在区间上的不等式恒成立问题，分别求出下界与上界，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，． 令得，令得． 所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，且都有，即． 在上单调递减，在上单调递增． 在上恒成立，在上恒成立． ， 令，在上单调递增，，． 在上恒成立，在上恒成立， 由得，令，则． ，在上单调递减，， 所以． 由得，令，则． ，当时，单调递增；当时，单调递减． ，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $