练案24 第三章 3.3 幂函数-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[24] 第三章3.3 幂函数 A组·基础巩固 8.已知4.1>4.3，则ax的取值范围是 1.若f(x)=mx“+(2n-4)是幂函数，则m+n等于 9.比较下列各组数的大小： ( )(层)与(3)： A.1 B.2 C.3 D.4 2.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0，+∞)上 (2)(-3)'与(-) 为增函数，则实数m的值为 A.1 B.0或2 C.0 D.2 3.已知函数f(x)=x(k∈Q),在下列函数图象 中，不是函数y=∫(x)的图象的是 4.(多选)若幂函数f(x)=x的图象经过点10.已知幂函数y=f(x)=x2mm+3(-2<m<2,且 (2,),则函数(x)具有的性质是（ m∈Z)满足： ①在区间(0，+∞)上单调递增； A.在定义域内是减函数 ②对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0. B.图象过点(1,1) 求同时满足①②的幂函数∫(x)的解析式，并 C.是奇函数 求x∈[0,3]时f(x)的值域 D.其定义域是R 5.当0<x<1时f(x)=x2,g(x)=x2,h(x)=x2的 大小关系是 A.h(x)<g(x)<f(x)B.h(x)<f(x)<g(x) C.g(x)<h(x)<f(x)D.f(x)<g(x)<h(x) 6.下列幂函数在区间(0，+∞)内单调递减的是 A.y=x B.y=x2 C.y=x D.y=x 7.已知函数f(x)=(m2+3m+1)xmm-1是幂函数， 且其图象过原点，则m= —237 B组·综合运用 16.若点（√2,2）在幂函数∫(x)的图象上，点 1(多选)设a{1,1写3，则使函数y=r (2,2)在幂函数g(x)的图象上 的定义域为R且为奇函数的是 ( (1)求f(x)和g(x)的解析式； f(x),f(x)≤g(x), A.-1 B.1 c号 D.3 (2)定义h(x)= 求函数 g(x),f(x)>g(x), 12.（多选)已知函数f(x)=x的图象经过点 h(x)的最大值及单调区间. (4,2),则下列命题正确的有 ( ) A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 有时西g】 2 13.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码 系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到 密文（加密），接收方由密文到明文（解密）. 现在加密密钥为y=x“(α为常数)，如“4”通 过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文 “3”,则解密后得到的明文是 14.已知幂函数f(x)=x2,若f(10-2a)<f(a+1), 则a的取值范围是 C组·拓展提升 15.已知幂函数f(x)=(-3m2-2m+2)x+3m在(0， +∞)上为增函数 (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)=f(x)-(2a+1)x+a2-1在区 间(a,2a-1)上单调递减，求实数a的取 值范围. —2388.√x+1f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=√+1，∴.当x<0 时，-x>0,f(x)=f(-x)=√x+1,即当x<0时，f(x)=x +1. 9..f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数 由f(1-x)+f(1-2x)<0, 得f(1-x)<f(1-2x),即f(1-x)<f(2x-1). 又·f(x)在(-1,1)上是减函数 -1<1-x<1, .2 -1<2-1<1,解得0<x<3 1-x>2x-1, ·原不等式的解集为x0<x<兮} .21 10.F(x)在(-0,0)上单调递减. 证明如下：任取x,2∈(-0,0)，且x1<2, 则有-x1>-x2>0. 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0, 所以f(-x2)<f(-x)<0, ① 又因为f(x)是奇函数， 所以f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x), ② 由①②得f(x2)>f(x1)>0. 于是F(x)-F(6)=f)f() ff6)>0, 即F(x)>F(x2), 所以F(x= 在(-∞，0)上单调递减 f(x) 11.D方法一：令g(x)=ax3+bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，从 而f(-2023)=g(-2023)+1=-g(2023)+1.又因为 f(2023)=k,所以g(2023)=k-1,从而f(-2023)= -(k-1)+1=2-k. 方法二：因为f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2,所以 f(-2023)+f(2023)=2.又因为f(2023)=k,所以 f(-2023)=2-k. 12.A因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f代-x),而 F(x)=f(x)-x2,可得F(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2 F(x),则F(x)是定义在R上的偶函数，由题意得F(x)在 [0,+∞)上单调递增，因为f(2)=0,所以F(2)=-4,而f(t+ 2)≤t2+4t可化为f(t+2)-(t+2)2≤t2+4t-(t+2)2,化简得 f(t+2)-(t+2)≤-4，即F(t+2)≤F(2),得到It+21≤2，解 得t∈[-4,0]，故A正确.故选A. 13.D由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)=1-x和函数 x)=x为奇函数，故排除选项A,B:又当xe(0,1)时1 ->0,2-1<0,此时x)=1 2一○文x)三0，市可 当xe(0,1)时f(x)<0,故C不符合，D符合.故选D. 14.(-1,3)f(x)为偶函数，∴f(x-1)=f(1x-11),又f(2)= 0,f(x-1)>0,∴.f(1x-11)>f(2)..1x-11,2∈[0，+∞)，且 f(x)在[0，+0)上单调递减，.Ix-11<2,即-2<x-1<2,x 的取值范围为(-1,3) 15.Df(x+8)=f(x),∴f(25)=f(17)=f(9)=f(1),同理 f(80)=f(0),又：奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增， .f(x)在区间[-2,2]上单调递增，f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-1)<f(80)<f(25). 16.任取x1,2,且-3≤x1<x2≤3，则x2-x1>0f(x2-x1)<0, :f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1), ∴f（x2）f(x)=f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1), ∴.f(x)在[-3,3]上单调递减. 又f(1)=-2,f(2)=f(1)+f(1)=-4, 3 ∴.f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6,又f(x)是定义在R上的奇 函数， .f(-3)=-f(3)=6,又f(x)在[-3,3]上单调递减， .函数f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. 练案[24] ,m=l.m+n=3. 1c由题意，得4-0.{ 2.D因为f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1,解得m=0或2， 当m=0时f(x)=x在(0，+∞)上为减函数，不符合题意，当 m=2时f(x)=x在(0，+∞)上为增函数，符合题意，所以m =2.故选D. 3.C函数f(x)=x(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以 C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.故选C. 4C幂函数)=的图象经过点(2，)，则=2，解 得a=-1.故f(x)=x.所以函数在(0，+∞)和(-∞，0)内都 单调递减，函数为奇函数，且函数的图象经过(1,1)点，函数 的定义域为(-∞，0)U(0,+∞). 5D待值法取=代人排除A.B.C,可知D正确故选D 6.D函数y=x在区间(0，+0)内单调递增，故排除A;函数y= x在区间(0，+∞)内单调递增，故排除B;函数y=x在区间 (0,+0)内单调递增，故排除C:函数y=x'=1在区间(0， +∞)内单调递减，故D满足题意. 7.-3由题意得m2+3m+1=1,∴.m2+3m=0,∴.m=0或m=-3. 当m=0时()==是，其图象不过原点，m=-3 8.(-∞，0)因为0<4.1<4.3，而4.1“>4.3“，所以y=x在 (0,+∞)上单调递减，故a<0. )因为幂函数y=0在[0，+∞)上是单调递增的，又二> 所以()（） (2)因为幂函数y=在(-”，0)上是单调递减的.又-子 3 所以（子）>() 10.因为-2<m<2,且m∈Z,所以m=-1或0或1. 因为对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数 当m=-1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②： 当m=1时，f(x)=x°，条件①②都不满足. 当m=0时，f(x)=x3,条件①②都满足，f代x)=x3, 因为函数代x)在区间[0,3]上单调递增， 所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27] 1BGDa依次取值时，y==y=,y=宁-派，y=r,显 然除α=-1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数. 12.ACD将点(4,2)代人函数f(x) 2,所以 x,f》B2,r2) =x“得：2=4“，则a= A f(x)=x2.显然f(x)在定义域[0， 0+2为 2 +∞)上单调递增，所以A正确： f(x)的定义域为[0，+o),所以f(x)不具有奇偶性，所以B 错误：当x>1时，√x>1,即f(x)>1,所以C正确；当0<x1<x2 76 时，如图，设A(x(x),B(),易)f() 2 (产）成立，所以D正确旅选AD 13.9由题意可知函数y=x中，当x=4时，y=2,.2=4“,∴.a =7克当y=3时2=3=9 14.(3,5]因为f(x)=x2=(x≥0)，易知f(x)在[0，+0)上 ra+1≥0， 为增函数，又f(10-2a)<f(a+1),所以10-2a≥0，解得 La+1>10-2a. ra≥-1， a≤5，所以3<a≤5. la>3. 15.(1):幂函数的解析式为f(x)=(-3m2-2m+2)x+3m 、.-3m2-2m+2=1,解得m=-1或m=3 当m=-1时，f(x)=x2,在(0，+)上为减函数，不符合题 意，舍去； 当m=3时(x)=,在(0，+)上为增函数，符合题意。 ∴f(x)=x2 (2)g(x)=f(x)-(2a+1)x+a2-1=x2-(2a+1)x+a2-1在区 间(a,2a-1)上单调递减， 又“函数g(x)的减区间为-0,2)： 2a+1 ÷(a,2a-1)c（-,2) 2a+1\ ra<2a-1, 2-12a+1解得1<a≤) 测实数✉的取位范围足(，引 16.(1)设f(x)=x,因为点（√2,2）在幂函数f(x)的图象上， 所以(2)“=2，解得a=2,即f(x)=x2 设e()=,因为点(2，分） 在幂函数g(x)的图象上， 所以2°=分解得B=-1,即8(x) (2)在同一平面直角坐标系中画出函 y 数f(x)=x和g(x)=x的图象，可 (1,1) 得函数h(x)的图象如图所示.由题 意及图象可知 sao政 根据函数h(x)的解析式及图象可 知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0,1]，单调递 减区间为(-0,0)和(1，+∞). 练案[25] 1.A由题意设y=kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式，得k=3, 故y=3x.此时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0. 2.C当0<x≤2000时，邮费y与运送距离x之间的函数关系 r5,0<x≤500， 式为y= 7,1000<≤1500,1300e(100,1500],当x 6,500<x≤1000， L8,1500<x≤2000， =1300时，y=7,故选C. 3 3C设BC=x,则6-x≥4得≤12所以0<a≤12，a≤≤ x≥a, x≥a. 12,花圃的面积为y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且a≤x≤12.当 0<a≤8时，花圃的面积的最大值ymx=S=64为定值；当8<a ≤12时，花圃的面积的最大值逐渐变小且S<64.观察各选项， 知选C. 4.B由图表可知，距离s与时间t的关系是s=10t,.当t=2.5 时，s=10×(2.5)2=62.5,故选B. 5.B依题意有A产品的原价为16元，B产品的原价为36元， 若厂家同时出售A,B两种产品，亏5.92元. 6.800由5x+4000≤10x,解得x≥800，即日产手套至少为800 副时才不亏本 7.23设一个三角形的边长为xcm,则另一个三角形的边长 为(4-)cm,两个三角形的面积和为5=5x2 (4-x)2= 号(x-2)2+23≥23，这两个正三角形面积之和的最小值是 2√/3cm2. 8.100[60,100] 记每小时的油耗为y,根据题意得y= x 5 120 15,解得=10，所以y=5(x-10+4s00）y≤9，即 1 x 3(-10450） ≤9，解得45≤x≤100.又因为60≤x≤ 120,所以x的取值范围为[60,100]. 150 9.(1)由题意，得y1=150+0.25x,2= +0.25,y3=0.35x,y4= 0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出y4=0.1x-150的图象如图 y 由图象可知，当x<1500时，该公司亏损： 当x=1500时，公司不赔不赚；当x>1500 0 时，公司赢利 1500元 10.(1)由题意可得f(x)=100x-P r100x-40x,0≤x≤20 100x-1x2+76x-1000,20<x≤30 r60x,0≤x≤20， {-72+24x+1000,20<r≤30. (2)当0≤x≤20时f(x)=60x单调递增， 可得f(x)的最大值为f(20)=1200: 20kx≤30时，f(x)=-2x+24x+10 =-2（x-24)2+1288, 当x=24时f(x)的最大值为1288. 因为1288>1200，所以该公司每日处理厨余垃圾24吨时： 获得日纯收益最大 11.D设每辆车的日租金为x元，租赁公司的日收益为W元， 则每辆车的日收益为(x-20)元，租赁公司日出租车辆数为 2004.所以W=(-20)(20-04）=专2 5 296x-5600. 29 所以当x= -=185时，W取得最大值 4 则每辆车的日租金为185元时，租赁公司的日收益最大. 12.BD在A中，甲在公园休息的时间是10min,所以只走了 50min,A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的 7