4.2.1 指数函数的概念（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕指数函数概念、解析式及应用、指数型函数实际应用展开，课前预习通过定义辨析与诊断分搭建学习支架，课中探究衔接概念理解与问题解决，形成完整知识脉络。 其亮点是以实例驱动教学，通过人口增长、酒收藏价值等问题培养数学眼光，借助概念辨析和待定系数法发展数学思维，用指数型函数模型强化数学语言表达。素养小结系统梳理要点，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

4.2 指数函数 1 4.2.1 指数函数的概念 2 探究点一 指数函数的概念 探究点二 指数函数的解析式及应用 探究点三 指数型函数的实际应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,能 说出指数函数的定义. 4 知识点一 指数函数的定义 一般地,函数（______________）叫作__________,其中指数 是自变量，定义域是___. ,且 指数函数 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数 是指数函数.( ) × [解析] 因为的系数为，所以函数 不是指数函数. （2）函数 是指数函数.( ) × [解析] 因为指数不是，所以函数 不是指数函数. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）函数 是指数函数.( ) × [解析] 因为底数小于0，所以函数 不是指数函数. （4）函数 是指数函数.( ) × [解析] 因为底数不是常数，所以函数 不是指数函数. 课 前 预 习 7 知识点二 指数型函数 形如_________且,,且 的函数称为指数型函数， 此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 课 前 预 习 8 探究点一 指数函数的概念 例1（1）给出如下几个函数:;; ; ;; ; 且; .其中是指数函数的有 ________（填序号）. ①③⑦ 课 中 探 究 9 [解析] ,符合指数函数的定义,故是指数函数; ,指数不是 ,不符合指数函数的定义,故不是指数函数; ,符合指数函数的定义,故是指数函数; ,因为，所以 ，不符 合指数函数的定义,故不是指数函数; , 的系数为3,故不是指数函数; ,自变量出现在底数的位置,故不是指数函数; 且 ,符合指数函数的定义,故是指数函数; ,底数为 ,不满足“底数大于0且不等于1”这个条件, 故不是指数函数.故是指数函数的有①③⑦. 课 中 探 究 10 （2）若函数是指数函数,则实数 ___. 4 [解析] 由是指数函数,可得 解得 . 课 中 探 究 11 变式（1）（多选题）下列函数是指数函数的有( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，函数不是指数函数； 对于B，函数 是指数函数； 对于C，函数 是指数函数； 对于D，函数不是指数函数.故选 . √ √ 课 中 探 究 12 （2）若函数是指数函数，则 ___. 3 [解析] 由指数函数的概念，得解得 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 指数函数的解析式必须具有三个特征:①底数<m></m>为大于0且不等于1的 常数;②指数位置是自变量<m></m>;<m></m>的系数是1. 课 中 探 究 14 探究点二 指数函数的解析式及应用 例2 已知函数，为常数，且函数 的图象过点 . （1）求 的值； 解：因为函数的图象过点，所以，所以 . （2）若，且，求 的值. 解：因为，， 所以 可变形为， 可得，所以 . 课 中 探 究 15 变式（1）若函数是指数函数，则 的值为__. [解析] 因为函数 是指数函数， 所以 解得，所以, 故 . 课 中 探 究 16 （2）已知函数若，则 的值为 _____. 或 [解析] 当，即时，由 ，得， 解得； 当，即 时，由，得， 解得.综上，的值为或 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ （1）求指数函数解析式的关键是求底数<m></m>,并注意<m></m>的限制条件. （2）求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的 解析式,然后利用已知条件求出解析式中的参数,从而得到函数的解析 式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. （3）求指数函数的函数值的关键是得到指数函数的解析式. 课 中 探 究 18 探究点三 指数型函数的实际应用 例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增 长率控制在，设经过年后，该市人口为 万. 课 中 探 究 19 （1）求关于 的函数关系式. 解：2024年年底该市的人口为130万，经过1年后，2025年年底该市 的人口为 （万）， 经过2年后，2026年年底该市的人口为 （万）， 经过3年后，2027年年底该市的人口为 （万）， ， 经过年后， 该市的人口为 （万）， 即 . 课 中 探 究 20 例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增 长率控制在，设经过年后，该市人口为 万. （2）若按此增长率，2035年年底该市的人口约是多少？ 解：2035年年底该市的人口为 （万）. 课 中 探 究 21 例3 截至2024年年底，某市人口为130万.若今后能将人口年平均增 长率控制在，设经过年后，该市人口为 万. （3）哪一年年底该市的人口首次达到135万？ （计算结果保留到小数点后两位.参考数据： ， ，， ） 解：由题可知，2036年年底该市的人口为 （万），2037年年底该市的人口为 （万）， 所以2037年年底该市的人口首次达到135万. 课 中 探 究 22 变式 [2026·山西吕梁高一阶段练]一般来说，年份越久的某品牌酒， 其收藏价值越高.已知一箱原价800元的该品牌酒，储存 年 后的收藏价值 （单位：元）满足函数关系式 为常数 .若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价 值为1200元，则储存18年的此种品牌酒整箱的收藏价值为( ) A.1600元 B.1800元 C.2400元 D.2700元 [解析] 由题意可得，即 ， 所以 ， 故储存18年的此种品牌酒整箱的收藏价值为2700元，故选D. √ 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 关于函数<m></m>在实际问题中的应用 （1）函数<m></m>是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数 模型，一般当<m></m>时，若<m></m>，则刻画指数增长变化规律，若 <m></m>，则刻画指数衰减变化规律. （2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的 参数后，利用指数的运算性质解题. 课 中 探 究 24 课后习题 25 1.下列函数中，指数函数的个数为( ) ； 且； ； . A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由指数函数的定义知，只有②符合指数函数的定义，其他均 不符合，故选B． √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 2.已知指数函数的图象过点，则 等于( ) A.3 B.6 C.9 D.27 [解析] 设,且，将代入得 ， 解得，所以，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 3.若函数是指数函数，则 的值为( ) A.2 B.1 C.1或 D. [解析] 函数 是指数函数， 且，， 由 ，解得或， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 4.[2025·哈尔滨三中高一期中]已知函数 则 ( ) A.0 B.1 C.3 D.9 [解析] 由题意得 ， 则 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 5.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减 （称为衰减率），大约每经过 年衰减为原来的一半，这个时间称 为“半衰期”．按照上述变化规律，若生物体内碳14原有初始质量为 ， 则该生物体内碳14所剩质量与死亡年数 的函数关系式为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 [解析] 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为 ，将刚死亡生物体内 碳14的含量看成1个单位， 因为每经过 年衰减为原来的一半， 所以，即. 若生物体内碳14原有初始质量为 ， 则生物体内碳14所剩质量与死亡年数 的函数关系式为 ，即 ，故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 6.（多选题）下列函数是指数函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A选项， 符合指数函数的定义，是指数函数，故 A选项正确; 对于B选项，， 前的系数为3，不为1， 不是指数函数，故B选项错误； 对于C选项， ， 前的系数为2，不为1，不是指数函数， 故C选项错误； 对于D选项， 符合指数函数的定义，是指数函数，故D选项正确. 故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 7.[2026·苏州高一期末] 已知函数则 __. [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 8.若函数，且是指数函数，则 ____， ___. 2 [解析] 根据指数函数的定义，得解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 9.（13分）已知函数 是指数函数． （1）求 的解析式； 解：由题意得，解得或， 又 且，，故 . （2）判断 的奇偶性，并加以证明． 解： 为奇函数，证明如下： ， ， ， 是奇函数． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 10.已知指数函数的图象经过点，则 ( ) A. B. C.2 D.4 [解析] 由指数函数的图象经过点 ， 得解得，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 11.（多选题）设指数函数，且 ，则下列结论 中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 对于A，，， ， 因为，所以 ，A正确； 对于B，，，故 ， B正确； 对于C，， ， 故 ，C正确； 对于D， ， 故 不一定成立，D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 12.已知函数的定义域为，，， ， ，， ， .写出满足上述条件的一 个函数 __________________. （答案不唯一） [解析] 例如，则，且 ， 所以 符合题意. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 13.某商品的价格（单位：元）因上架时间 （单位：天）的不同而 不同，假定商品的价格关于上架时间的函数是一种指数型函数，即 且， .当商品上架第1天的价格为96元， 上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为_____元. 40.5 [解析] 由题意得 可得， 该商品上架第4天的价格为 （元）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 14.（15分）平改坡是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面 改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建 筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．改造后的房子不仅有漂亮的外 观，还能解决顶层渗漏等问题，达到隔热的效果．近年来，某县持 续关注民生，推进民房屋顶平改坡工程，对全县 的老房子进行 平改坡（且每年平改坡面积的百分比相等）．已知改造到面积的一 半时，所用时间为10年，且到今年为止，平改坡剩余面积为最开始 的 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 （1）求每年平改坡的百分比. 解：设每年平改坡的百分比为，则 ， 即，解得 ， 故每年平改坡的百分比约为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 （2）到今年为止，该平改坡工程已经进行了多少年？ 解：设到今年为止，该平改坡工程已经进行了 年， 则，即，解得 ， 所以到今年为止，该平改坡工程已经进行了5年． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 15.已知函数的定义域为， 是偶函数， 是奇函数，则 _ _____. [解析] 因为是偶函数， 是奇函数， 所以， ， 所以，所以 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 16.（15分）已知函数， . （1）求 的值； 解：, ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 16.（15分）已知函数， . （2）求 的值. 解：设 ， 则 ， 两式相加得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 由（1）得,, , , ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $