吉林省吉林市友好学校2027届高三上学期10月模拟测试数学试题

吉林市友好学校高三年级10月模拟测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 4．若函数最小正周期为，且在（）有个零点，则在（）零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与极值点，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 10．在一个有限样本空间中，事件，，发生的概率满足，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则 C．若与互斥，则 D．若，与互斥，则 11．如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（    ） A．BD⊥CC₁ B．BD₁与AC所成角的余弦值为 C． D．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．函数的单调递减区间为_________ 13．已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 14．已知正实数列的前项和为，若，当，且时，，则的整数部分为__ ． 四、解答题（共5小题，77分） 15．已知函数（），且函数的最小正周期为． (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)求在上的最大值与最小值． 16．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他某天选择了米饭套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为；如果他某天选择了面食套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为． (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率，并证明：当时，． 17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18．已知二次函数 (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 高三数学参考答案 1．C 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 故等价于， 等价于，等价于， 解得， 故的解集为. 2．A 【分析】根据正余弦齐次式求法可构造方程求得，代入中即可求得结果. 【详解】，，解得， . 3．A 【分析】原等式变形为，再由基本不等式求解即可． 【详解】由得，得， 则， 等号成立时，，即， 故的最小值为． 4．C 【分析】由题意可得在（）上有个零点，再结合函数周期性可得在（）、（）、（）内零点个数分别为、、，即可得在（）上零点个数，即可得解. 5．C 【分析】设第n次“打水漂”时的速率为，则，则可建立不等式求解. 【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 6．A 【分析】设正方形边长为，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算向量夹角余弦，再取绝对值得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】 设正方形边长为，建立空间直角坐标系，底面圆心为原点，在轴，， 因为是的中点，所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 7．A 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 8．A 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 9．AD 【分析】由直线与正弦型函数图象的相邻交点间距求出，再结合零点及图象走势确定；随后利用正弦型函数的零点、极值点和对称轴逐项判断． 【详解】对于A，令． 方程的相邻两个解相差，因此 解得．又在图象上，所以即． 结合，得或．由图象知，故，从而 于是． 由上面的计算，，故A正确． 对于B，由上面的计算，，故B错误． 对于C，函数的零点满足 函数的极值点满足 相邻的一个零点和极值点之间的距离为 取充分小的，区间同时包含这两个点，且长度小于，故C错误． 对于D，的图象的对称轴为极值点所在的直线，即 其中离轴最近的对称轴为． 将图象沿轴平移个单位，使该对称轴与轴重合，所得函数为偶函数； 小于该距离的平移不能使任何对称轴与轴重合，故的最小值为，故D正确． 10．BD 【分析】依次对四个选项进行判断，A利用独立事件概率公式结合加法公式计算；B用概率加法公式先求出，再分别计算两个互斥事件概率相加；C用互斥事件的定义分析；D利用并集概率不等式进行放缩判断. 【详解】对于A，由与相互独立，所以， 所以，故A错误； 对于B，，所以， 所以， 所以，， 由与互斥，所以，故B正确； 对于C，与互斥，则，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 11．ABD 【分析】先证线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直，可判断A选项，以为基底，表示出和，利用向量法可求得与所成角的余弦值，可判断B选项，用基底表示出，再根据可求得，可以判断C选项，先求出，再求出平行六面体的高，再根据体积公式计算的体积. 【详解】 连接，平面，, 又为菱形，， 平面，且，平面， 又平面，，A选项正确. 记，由题意，，，， ，， 平面，，， 整理得，得，可得, ，， ， ， 记与所成角为，则，B选项正确. ，，C选项错误. 易知在平面上的射影在上， 设平行六面体的体积为，高为， ，， ，D选项正确. 12． 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 13． 【分析】根据空间向量夹角为钝角的等价条件：且两向量不反向共线，结合坐标运算求解的取值范围 【详解】由题意得：，解得， 又与不共线，所以，所以， 所以. 14． 【分析】由条件可得（），由此判断单调性，证明，结合求结论. 【详解】因为， 当时，可得， 所以，所以数列单调递增， 因为，解得， 所以， 所以， 所以， 则的整数部分为． 15．(1)，单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用周期求出，令，解出即可求解； （2）由，得，进而利用正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）由题意得：， 又，所以， 所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）由（1）得， 又，得， 所以，， 所以的最大值为，最小值为. 16．(1) ； (2) 设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，， ，是以为首项，为公比的等比数列；可得. 当为大于1的奇数时，； 当为正偶数时，． 综上可得：当时，． 【分析】（1）设 “第i天选择米饭套餐”，则“第i天选择面食套餐”，然后由题设结合全概率公式可得答案； （2）设“第天选择米饭套餐”，由题可得是以为首项，为公比的等比数列，据此可完成证明. 【详解】（1）设 “第i天选择米饭套餐”，则“第i天选择面食套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； （2）略. 17．(1) 因为 平面 ABCD，，所以以 为原点，分别以 、、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由 ，，且 ，得各点坐标： 由 为 的中点， 为 的中点，得     因为     故 与这两个向量共面；又 平面 ， 因此 平面 . (2) (3) 【分析】(1)由 底面且 ，三条棱两两垂直，适合建系；把待证直线的方向向量表示为平面内两个不共线向量的线性组合，由共面条件证线面平行； (2)分别求两平面的法向量，用法向量夹角公式求二面角的余弦； (3)用“平面内一点与该点连成的向量在法向量上的投影绝对值”求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设平面 的法向量为 ，由 ，， 即： ，取 则 设平面 的法向量为 .在该平面内取 ，， 即： ，取 则 设两平面所成二面角为 ，则 （3）平面 过点 ，其法向量为 ，又 ，故点 到平面 的距离 【点睛】三线两两垂直时建系是通法：线面平行看“方向向量能否被平面内两向量线性表示”，二面角与线面角、点面距离都归结为法向量的夹角与投影. 18．(1) (2)当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. (3) 【分析】（1）将不等式整理成标准形式，再根据不等式解集及三个二次关系求解； （2）将不等式整理成，讨论二次项系数及对应方程根的大小关系求解； （3）由恒成立得到关系，代入所求式化简为“”型一元分式，通过换元化为基本不等式求最值. 【详解】（1）由得，即， 因为不等式的解集为，所以，解得. （2）由（1）不等式即，整理得， 若，则对应二次函数开口向上，，解得或； 若，则不等式变为，解得； 若，则对应二次函数开口向下，，解得； 若，则不等式即，无解； 若，则对应二次函数开口向下，，解得. 综上，当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）当时，，不满足对任意，恒成立； 当时，若对任意，恒成立，则，即， 所以，令，则， 则，因为， 所以，所以当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 19．(1) (2) 存在，最大值为 ， 设的内切圆半径为， 由椭圆的定义，​的周长. 根据三角形内切圆面积公式，的面积，即. 由（1）得焦点，设过​的直线方程为， 代入椭圆方程整理得：，设， 由韦达定理得，， 所以. 又因为的面积可表示为， 所以，令， 则，因为对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，函数有最小值，即， 所以，因此，的内切圆面积. 因此当时，的内切圆面积有最大值. 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质计算椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）先由椭圆的定义可得内切圆半径，再设直线方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数关系可得，再由对勾函数的单调性可得最大值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得， 过左焦点且垂直长轴的直线代入椭圆方程，得，解得， 因此该弦长为​，所以； 结合椭圆恒等式，将代入得​，即， 解得，所以，椭圆方程. 因此椭圆标准方程为. （2）略 答案第4页（共12页） 答案第3页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $