2.2.1 直线的点斜式方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 第二章　直线和圆的方程 基础预习 重点探究 巩固演练 同步分级训练(十二)直线的点斜式方程 目录 1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学 素养． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 基础预习 NO.1 新知初探 初试身手 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线． 　　已知某一斜拉索过桥塔上一点B， 那么该斜拉索位置确定吗？ 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 1．直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距____ 图示 方程形式 y－y0＝__________ 适用条件 斜率存在 b k(x－x0) y＝kx＋b 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．直线在y轴上的截距 定义：直线l与y轴的交点(0，b)的 . 符号：可正，可负，也可为零． 纵坐标b 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．(　 　) (2) ＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程．(　 　) (3)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标．(　 　) × × √ 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　 　) A．2　　 B．－1　　 C．3　　 D．－3 C 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 3．直线 － ＝1在y轴上的截距是(　 　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b 4．过点(2,1)且与直线y＝3x＋1平行的直线的点斜式方程为______________． B y－1＝3(x－2) 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 重点探究 NO.2 探究一 探究二 探究三 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 [因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为 y－5＝x－2. ] 例1　(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为 . y－5＝x－2 探究1 直线的点斜式方程 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为 . [因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.] x＝－5 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 求直线的点斜式方程的步骤 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 1．分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2； 解：由点斜式方程得y－4＝2(x－3)． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (2)与x轴平行； 解：与x轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直． 解：与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 探究2 直线的斜截式方程 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 解：由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 求直线的斜截式方程 (1)先求参数k和b，再写出斜截式方程.  (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率.  (3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 探究3 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 [探究问题] 1．已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？ 提示：k1＝k2且b1≠b2；k1•k2＝－1. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．一次函数的解析式与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？ 提示：一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数，而斜截式方程y＝kx＋b中的k可以是0. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 例3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 解：由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， ∵l1∥l2，∴ 解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解：由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得a＝ . 故当a＝ 时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． [思路探究]　由直线的斜截式方程中k、b的几何意义及直线平行、垂直的条件建立关于a的方程及不等式，求出a的值． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 1．(变结论)本例(1)中l2恒过哪个定点？过该定点且与l1平行的直线方程是 什么？ 解：在y＝(a2－2)x＋2中，当x＝0时，y＝2. 故直线l2恒过定点(0,2)． 当与l1平行时，斜率k＝－1. 故过(0,2)且与l1平行的直线方程为y＝－x＋2. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．(变结论)在例(2)中a为何值时，两直线平行？ 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直 设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.  (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；  (2)l1与l2重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；  (3)l1⊥l2⇔k1•k2＝－1. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有 ＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 巩固演练 NO.3 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　 　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 D 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　 　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 C 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 3．已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为______________． 4．无论k取何值时，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是____________. (－2，－3) 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 5．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－ ，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 同步分级训练(十二)直线的点斜式方程 NO.4 A级 基础过关练 B级 能力提升练 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 B 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 [由于两条直线平行，∴a＝2－a，解得a＝1，验证知适合条件．] B 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　) A　　　　 B　　　 　 C　　　　 D [A中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；B中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；D中，y＝ax，a＜0，y＝x＋a的图象错误．] C 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 4．直线y＝2x＋1绕着其上一点(3,4)，逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为(　　) A．y－4＝2(x－3) B．y－4＝ (x－3) C．y－4＝－ (x－3) D．y－4＝－2(x－3) [逆时针旋转90°即与y＝2x＋1垂直，由于y＝2x＋1的斜率为2，则所求直线的斜率为－ ，又因过点(3,4)，故直线方程为y－4＝－ (x－3)．] C 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 二、填空题 5．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为 ___________. [∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.] y＝－3x＋2 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 6．直线l的方向向量为(1,3)，且在y轴上的截距为－2的斜截式方程为 . [由于直线l的方向向量为(1 ， 3)，也就是直线的斜率为k＝3，又因直线在y轴上的截距为－2 ，故方程为y＝3x－2.] y＝3x－2　 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (2)在y轴上的截距是－5. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 9．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝ 45°，求： (1)边AB所在直线的方程； 解：由题意，点A(1 ， 1)，B(5 ， 1)，可得A，B两点的纵坐标均为1，所以AB边所在直线的方程为y＝1. 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 (2)边AC和BC所在直线的点斜式方程． 解：因为AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，且kAC＝tan 60°＝ ，kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，所以直线AC的方程为y－1＝ (x－1)，直线BC的方程为y－1＝－(x－5)． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 10．(多选)下列说法正确的有(　 　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3 ， 2) C．过点(2，－1)斜率为－ 的点斜式方程为y＋1＝－ (x－2) D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3. ABC 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 [A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，∴(k，b)在第二象限，正确．B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C中根据点斜式方程知正确．D中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．] 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 11．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) [由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，∴kAO＝3，kAB＝－3，由点斜式方程得y－3＝－3(x－1)．] D 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 12．若直线l：y＝kx＋2k＋1，那么直线过定点 ，若当－3＜x＜3时， 直线l上的点都在x轴上方，则实数k的取值范围是 . (－2，1) 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 [由y＝kx＋2k＋1得y－1＝k(x＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点 (－2，1)． 又设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 13．已知直线y＝ x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是 . [令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝ |k|•|－2k|＝k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的范围是k≥1或k≤－1.] ( ) 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 14．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝ (x－1)的夹角为30°，求直线l的方程． 2．2.1　直线的点斜式方程 返回目录 本节内容到此结束! 解：因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. 解：因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 解：设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得•|b|•|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1. 解：根据平行的条件知， ， 解得a＝. 即a＝时，l1∥l2. y－1＝－(x－2) 解：直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－6＋ ＝0.∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－， ∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－2＋＝0. 一、选择题 1．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 [由方程y－2＝－(x＋1)得y＝－x＋2－， ∴斜率k＝－，在y轴上的截距为2－，倾斜角为120°.] 7．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是 . y－(－)＝(x－2) [∵直线y＝x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k＝tan 60°＝.又该直线过点A(2，－)，故所求直线为y－(－)＝(x－2)．] 解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－， ∴其倾斜角α＝120°， 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝. 三、解答题 8．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(，－1)； ∵所求直线经过点(，－1)，斜率为， ∴所求直线方程是y＋1＝(x－)． 解：∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y＝x－5. 若－3＜x＜3，直线l上的点都在x轴上方，则需满足 即解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是.] ∪ 解：∵直线y＝(x－1)的斜率为，∴其倾斜角为60°，且过点(1,0)． 又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l的倾斜角为30°或90°. 故直线的方程为x＝1或y＝(x－1)． $