2.2.2 直线的两点式方程（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 2.2.2 直线的两点式方程 　 直线的两点式方程 1. 已知直线l的两点式方程为＝，则直线l的倾斜角为（　　） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：方法一：易知直线l过点（－1，0）和（－4，）， 所以直线l的斜率k＝＝－，所以倾斜角为150°. √ 方法二：＝化成斜截式为y＝－x－， 所以直线l的斜率k＝－，倾斜角为150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 已知点A（m，5），B（3，n），若AB的中点坐标为（2，1），则直线AB的 方程为（　　） A. x＋4y－9＝0 B. x＋4y＋9＝0 C. 4x＋y＋9＝0 D. 4x＋y－9＝0 √ 解析：由题可得解得 即A（1，5），B（3，－3）. 将点A，B坐标代入两点式方程可得＝，即4x＋y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. [教材例题变式]已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，－1），B（－5， 2），C（7，4），则BC边上的中线所在直线的方程为（　　） A. x＋2y－1＝0 B. 2x＋y－5＝0 C. 2x－y－7＝0 D. x－2y－5＝0 解析：易得BC的中点坐标为（1，3）， 所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－5＝0. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 已知从点（－5，3）发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好经过 （1，1），则反射光线所在的直线方程为（　　） A. 2x－3y＋1＝0 B. 2x－3y－1＝0 C. 3x－2y＋1＝0 D. 3x－2y－1＝0 解析：由点（－5，3），得出其关于x轴的对称点为（－5，－3）， 又点（－5，－3）与（1，1）都在反射光线所在的直线上， 所以反射光线所在的直线方程为＝，化简得2x－3y＋1＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 若点P（3，m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝ ⁠ ⁠. 解析：由直线的两点式方程得＝，即＝， ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2. ∵点P（3，m）在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. 直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B. －＝1与＋＝－1可转化为直线的截距式方程 C. 直线方程的斜截式都可以化为截距式 D. 在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为＋＝1 直线的截距式方程 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：因为截距式适用于在x轴、y轴上的截距都存在且都不为0的直线， 所以A错误； 方程－＝1与＋＝－1分别变为＋＝1与＋＝1，为截距式方程形式，所以B正确； 因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y＝2x，所以C错误；易知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 已知直线l的方程为＋＝1，则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 （　　） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 解析：直线l在y轴和x轴上截距分别为2，3， 所以所求三角形的面积S＝×3×2＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点A（－3，8），则直线l 的方程为 ⁠. 解析：设直线的截距式方程为＋＝1，则＋＝1， 解得a＝3或a＝1， 则直线l的方程是＋＝1或＋＝1， 即4x＋3y－12＝0或2x＋y－2＝0. 4x＋3y－12＝0或2x＋y－2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 求符合下列条件的直线方程： （1）斜率是，且经过点A（3，）； 解：由点斜式可得直线方程为y－＝（x－3），整理得x－y－ 2＝0. （2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； 解：由两点式可得直线方程为＝，整理得2x＋y－3＝0. （3）在x轴和y轴上的截距分别是，－3； 解：由截距式知＋＝1，整理得2x－y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （4）经过点A（4，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的. 解：若直线过原点，则直线方程为y＝x，即x－4y＝0，满足题意. 若直线不过原点，设直线在x轴上的截距为a（a≠0），则直线在y轴上 的截距为2a， 则直线方程为＋＝1. 因为直线过点A（4，1），所以＋＝1⇒a＝. 所以直线方程为2x＋y－9＝0. 综上，所求直线方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 1. 已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1 （a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（　　） A. 2x＋y＋1＝0 B. 2x－y＋1＝0 C. 2x＋y－1＝0 D. x＋2y＋1＝0 1 2 3 4 5 6 7 √ 解析：把点A（2，1）的坐标代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0， ∴2（a1－a2）＝b2－b1. 又过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是＝， ∴y－b1＝－2（x－a1），则2x＋y－（2a1＋b1）＝0， ∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1， ∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 2. 在△ABC中，已知点A（5，－2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上， BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为（　　） A. 5x－2y－5＝0 B. 2x－5y－5＝0 C. 5x－2y＋5＝0 D. 2x－5y＋5＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：设C（x，y），M（0，m），N（n，0）， 因为A（5，－2），B（7，3），所以且 解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1， 即C（－5，－3），M，N（1，0）， 所以直线MN的方程为x＋＝1，即5x－2y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 3. [真实情境]甲同学某高考选考科目成功进入A档.那一年，全省该科目进入A 档的考生的卷面分最高为92分，最低为85分.按规则将用一条“直线”对这 些分数“折算”，其中92分“折算”为100分，85分“折算”为86分.如果甲 同学该科得分被“折算”为96分，则甲同学该科卷面分为（　　） 　 A. 89分 B. 90分 C. 91分 D. 92分 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由题意可知，将卷面分当作点的横坐标，折算后分数作为纵坐标， 则“折算”使用的直线过两点（85，86），（92，100）， 由此得直线方程为＝，即2x－y－84＝0， 将y＝96代入，得x＝90，即甲同学该科卷面分为90分.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 4. （多选）已知直线l经过点（－3，2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相 等，则直线l的方程可能是（　　） A. x＋y＋1＝0 B. x－y＋5＝0 C. x＋3y－3＝0 D. 2x＋3y＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：当直线l的截距都为0时，直线l的方程为y＝－x，即2x＋3y＝0. 当直线l的截距都不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 所以解得或 当时，直线l的方程为x＋y＋1＝0， 当时，直线l的方程为x－y＋5＝0.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 5. [模块融合]已知△ABC的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0， 2），将△ABC绕顶点A逆时针旋转45°，此时BC边上的中线所在直线的方程 为（　　） A. 5x－6y＋25＝0 B. 6x－7y＋30＝0 C. 7x－8y＋35＝0 D. 8x－9y＋40＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：依题意，B（3，－3），C（0，2），所以线段BC的中点坐标为， 所以旋转前BC边上的中线所在直线方程为＝，即y＝－x－. 设此时BC边上的中线所在直线的倾斜角为α， 则tan α＝－，α为钝角，则tan （α＋45°）＝＝＝， 所以旋转后BC边上的中线所在直线的斜率为， 此时BC边上的中线所在直线方程为y－0＝（x＋5）， 整理得6x－7y＋30＝0. 1 2 3 4 5 6 7 6. （2026·浙江Z20名校联考）已知O为坐标原点，过点M（－1，1）的直线l与 坐标轴交于A，B两点，若△AOB的面积为2，则直线l在x轴上的截距为 ⁠ ⁠. 2 ＋2或2－2或－2 1 2 3 4 5 6 7 解析：由题意，直线l显然不过原点，所以不妨设直线l的方程为＋＝1， 其中a，b分别为直线l在x轴，y轴上的截距，A（a，0），B（0，b）， 又点M（－1，1）在直线l上，所以＋＝1， 又△AOB的面积为2，所以｜ab｜＝2，即b＝或b＝－. 当b＝时，＋＝1，即a2－4a－4＝0，解得a＝2－2或a＝2＋2； 当b＝－时，－＝1，即a2＋4a＋4＝0，解得a＝－2. 故直线l在x轴上的截距为2＋2或2－2或－2. 1 2 3 4 5 6 7 7. 已知定点P（－4，2）. （1）求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； 解：当截距都为0时，设直线方程为y＝kx，因为直线过点P（－4，2），则2＝－4k，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x； 当截距相等且不为0时，设直线方程为＋＝1， 因为直线过点P（－4，2），则代入直线方程得，a＝－2，则直线方程 为x＋y＋2＝0. 所以直线方程为y＝－x或x＋y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若直线l过点P且交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，记△AOB的 面积为S（O为坐标原点），求S的最小值，并求此时直线l的方程. 解：由题意可知，直线的截距不为0，斜率存在且k＞0， 设直线方程为y－2＝k（x＋4）， 令x＝0，y＝4k＋2，令y＝0，x＝－， 则S△AOB＝｜x｜y＝＝＝8k＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当k＝时，等号成立. 所以S的最小值为16，此时的直线方程为x－2y＋8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 $