精品解析：河北石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学

石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期 九年级一阶段数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 3. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答． 【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得： 解得， 经检验，是分式方程的解且符合实际意义， 即P点表示的数为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程． 4. 计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， 故选：B． 5. 河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（ ） A. 1：3 B. 1：2.6 C. 1：2.4 D. 1：2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为∠BAC的正切即可求解. 详解： 在Rt△ABC中，BC=5米，AB=13米， 根据勾股定理得AC=12米， ∴AB的坡度i=. 故选C. 点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 6. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 配方得：，即， 则的值为4． 故选：A． 7. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解． 【详解】解：设放大后的长为． 由题意：， 解得：． 所以放大后的矩形的长为． 故选：A． 8. 某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设该公司第二、三季度的季均增长率均为， 根据题意得，． 9. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，设正方形零件的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设正方形零件的边长为x，则， ∴， 解得：， 即这个正方形零件的边长为． 故选：A 10. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象经过第一、二、三象限 B. 随的增大而减小 C. 它的图象与轴交于点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】结合一次函数的、取值，利用一次函数性质、代入计算、解不等式判断各选项． 【详解】解：∵，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故A、B错误； 当时，， ∴图象与轴交于点，故C正确； 当时，，解得， ∴当时，，故D错误． 11. 一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，由题意易得四边形是矩形，则有米，米，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知：米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴， ∴米． 12. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本题含4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，直线过点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，过作轴于点，由，则，，然后根据正切的定义即可求解，掌握三角函数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：过作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可． 【详解】解：对于方程，二次项系数为，常数项为， ∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得． 15. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程和计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得 ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为，且点的对应点分别是； （2）写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） （3）如果的周长和面积分别为，，则的周长为_____，面积为______； （4）直接写出的值为______． 【答案】（1）如图：即为所求． （2）；；． （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义确定的对应点分别是，然后顺次连接即可； （2）直接根据（1）的作图解答即可； （3）根据位似图形的周长比等于位似比，位似图形的面积比等于位似比的平方求解即可； （4）如图：过A作交延长线于，然后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）作图可得：，，． 【小问3详解】 解： ∵与的位似比为，的周长和面积分别为，， ∴的周长为，面积为． 【小问4详解】 解：如图：过A作交延长线于，则． 19. 如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 请你帮助嘉琪完成解题过程： （1）证明：，__________+， ______________________， 又___________， ； （2）解：， ，（填线段名称） ，，，， ， ， ______________________．（填线段名称） 【答案】（1），，， （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义可得，再利用同角的补角相等可得，再结合公共角即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得比例式，再说明，将相关已知条件代入可得，利用线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 又， ． 【小问2详解】 解：， ， ，，，， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点． （1）___________； （2）求直线的函数表达式； （3）不等式的解集是___________； （4）在轴负半轴上找点，使得与相似，直接写出点的坐标为___________． 【答案】（1）3 （2） （3） （4）或． 【解析】 【分析】（1）直接将代入正比例函数即可解答； （2）直接利用待定系数法求解即可； （3）直接根据函数图像确定不等式的解集即可； （4）先求得，如图：设，则；然后分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数上， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 由题意可知：、在直线上， 则，解得：， 所以直线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵一次函数与正比例函数交于点， ∴当时，正比例函数的函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式的解集是． 【小问4详解】 解：∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， 如图：设，则， 当时，，即，解得：， ∴； 当时，，即，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为或． 21. 如图，与交于点，且． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）16 （2）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由得到，根据相似三角形的性质求出，即可求出； （2）证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 22. 1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： （1）填空：___________°，___________； （2）求，两点之间的距离； （3）求纪念碑的高度． 【答案】（1），36米 （2）米 （3）米 【解析】 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【小问1详解】 解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． 【小问2详解】 解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 23. 【实际背景】 为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试．列车从A点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止．测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如表所示： 刹车时间 0 1 2 3 4 瞬时速度 20 18 16 14 12 【问题解决】 （1）请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）求刹车开始后6秒时列车的速度． 【拓展提升】 在匀减速运动中，列车滑行的距离可以通过以下公式计算： 列车滑行距离列车平均速度时间， 其中，平均速度（初始速度秒时的瞬时速度） （3）若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？ （4）若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明理由． 【答案】（1）一次函数表达式为，自变量的取值范围是 （2） （3）2秒 （4）列车不会撞上障碍物．理由如下： ∵当时，此时， ∴， ∵， ∴列车不会撞上障碍物． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，当列车停止时，，即，解得，即可得出自变量的取值范围． （2）把代入求解即可． （3）根据题意可知初始速度为，秒时的瞬时速度为，，代入给定的公式得出关于t的一元二次方程求解并舍去不合适的值即可． （4）求出列车行驶的，然后和110米比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式为， 由表格数据可知，该函数过点，， 则， 解得， ∴列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式为． 当列车停止时，，即，解得， ∴自变量的取值范围为：． 【小问2详解】 解：当时，则． 【小问3详解】 解：根据题意可知，初始速度为，秒时的瞬时速度为，， 则， 整理得：， 解得，（大于10不合题意舍去）， 故列车刹车后经过2秒会到达该位置． 【小问4详解】 解：略. 24. 如图1~图3，在中，，，，且的顶点，，分别在线段，及射线上．当点（不与点重合）在边上移动时，点，随之移动（的大小会发生变化）． （1）___________，___________． （2）求证：． （3）①如图2，当时，求的长；②当为等腰三角形时，直接写出的长． （4）如图3，记，为的角平分线，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，在点移动过程中，若点始终落在或其延长线上，请直接写出的值． 【答案】（1），． （2）证明：∵， ∴． ∵点、、在同一直线上，点在射线上， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点在射线上， ∴． 在中，， ∴． ∵点在上， ∴． ∴． （3）①；②或或． （4）． 【解析】 【分析】（1）过点作，由得为的中点，在中由与勾股定理得、，再由得； （2）由得，结合点、、共线表示出，与中的相等，又，由两角分别相等证得相似； （3）①由（2）的相似得，设表出、，按点在线段上或在的延长线上讨论；②由得，作后用勾股定理表出，按、、三种情况列方程，并舍去与点与点重合的情形； （4）由得垂直平分且；由旋转得，结合推得，再作、，经、、得，从而，比值为定值． 【小问1详解】 解：过点作于点． ∵，， ∴． 在中，， ∴设，， 由勾股定理得． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设． 由（1）（2）知，且， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ①若点在线段上，则， 由得，解得，不合题意，舍去； 若点在的延长线上，则， 由得，解得， 此时，符合点在的延长线上， ∴． ②∵，， ∴． 过点作于点． 在中，， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 为等腰三角形，分三种情况讨论： （ⅰ）．若点在线段上，则， 由得，解得，此时，符合题意； 若点在的延长线上，则， 由得，解得，不合题意，舍去； （ⅱ），则，即， 整理得， 解得或． 当时，，点与点重合，不存在，舍去； （ⅲ），则，即， 整理得， 解得（时点与点重合，不合题意，舍去），此时，点在线段上，符合题意． 综上，或或． 【小问4详解】 解：∵，且， ∴，，， 设，． ∵平分， ∴． ∵， ∴，为的中点， ∴． ∵， ∴，， ∴在中，． 由（3）知，． ∵将绕点逆时针旋转，点的像为点， ∴，． ∵点在直线上，射线与射线同向， ∴． ∵点、、在同一直线上， ∴， ∴． 在中，． ∵点、、在同一直线上， ∴， ∴． 在中，， ∴． 过点作于点，过点作于点，过点作于点． 在中，由，，得，． ∵，， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴，即． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理；解题关键是先由与得、，再由点、、共线时的角的和差证，把动点线段统一表示为、；第（3）问要注意点可能在线段上也可能在其延长线上，需分类讨论，且退化（点与点重合）的情形应舍去；第（4）问由旋转得与，通过作、把化为，结合求得定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄外国语教育集团2026-2027学年度第一学期 九年级一阶段数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 4. 计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（ ） A. 1：3 B. 1：2.6 C. 1：2.4 D. 1：2 6. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　） A. 4 B. 21 C. 25 D. 46 7. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象经过第一、二、三象限 B. 随的增大而减小 C. 它的图象与轴交于点 D. 当时， 11. 一架无人机从起飞点处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点水平距离8米的处．当无人机飞行到点时，小亮测得此时的仰角为，无人机此时的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题含4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，直线过点，且，则______． 14. 已知，是方程的两个根，则___________． 15. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 16. 如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程和计算下列各式： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为，且点的对应点分别是； （2）写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） （3）如果的周长和面积分别为，，则的周长为_____，面积为______； （4）直接写出的值为______． 19. 如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 请你帮助嘉琪完成解题过程： （1）证明：，__________+， ______________________， 又___________， ； （2）解：， ，（填线段名称） ，，，， ， ， ______________________．（填线段名称） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点． （1）___________； （2）求直线的函数表达式； （3）不等式的解集是___________； （4）在轴负半轴上找点，使得与相似，直接写出点的坐标为___________． 21. 如图，与交于点，且． （1）求的长； （2）求证：． 22. 1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： （1）填空：___________°，___________； （2）求，两点之间的距离； （3）求纪念碑的高度． 23. 【实际背景】 为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试．列车从A点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止．测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如表所示： 刹车时间 0 1 2 3 4 瞬时速度 20 18 16 14 12 【问题解决】 （1）请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）求刹车开始后6秒时列车的速度． 【拓展提升】 在匀减速运动中，列车滑行的距离可以通过以下公式计算： 列车滑行距离列车平均速度时间， 其中，平均速度（初始速度秒时的瞬时速度） （3）若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？ （4）若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明理由． 24. 如图1~图3，在中，，，，且的顶点，，分别在线段，及射线上．当点（不与点重合）在边上移动时，点，随之移动（的大小会发生变化）． （1）___________，___________． （2）求证：． （3）①如图2，当时，求的长；②当为等腰三角形时，直接写出的长． （4）如图3，记，为的角平分线，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，在点移动过程中，若点始终落在或其延长线上，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $