第23章 解直角三角形 单元测试 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第23章 解直角三角形 单元测试 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，锐角，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5．如图，是的高，若，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 9．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 10．如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在△中，，，．则边的长为（    ） A．3 B．3.2 C．3.5 D．4 12．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为_____． 14．大西高铁侯马西站站房扩建工程是展示侯马市形象的重要窗口，9月日改扩建全部完成．如图，这是旅客出入站的自动扶梯示意图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度的长为_______． 15．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米． 16．已知，如图，在中，，，点E为的中点，点F在底边上，且，则的值是 _____． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 19．如图，在中，，D是边上的中点，连接，过点B作交延长线于点E．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 20．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 21．凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 22．综合与探究 小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 解题思路：小新先画出了几何图形（如图1），他说得22.5°虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连结，构造出等腰（如图2）． 解题过程：在上截取，再连结，可证为等腰三角形，设，则，……． (1)实践应用：请把上面小新的解题过程补充完整； (2)尝试应用：如图3，求的值； (3)拓展应用：如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 单元测试 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、相反数等知识点，掌握特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值求得，然后再求其相反数即可． 【详解】解：由，则的相反数是． 故选C． 2．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 3．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，根据，设，，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图， ， 设，， ， ． 故选A． 4．在中，锐角，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 则是直角三角形． 故选：D． 5．如图，是的高，若，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，根据解直角三角形可得，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 7．如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 8．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理及勾股定理逆定理．解题的关键是表示出所需线段长．利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，根据求出值即可． 【详解】解：根据题意，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：B． 9．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 10．如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，由得，由勾股定理得，根据即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在△中，，，．则边的长为（    ） A．3 B．3.2 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据含30度角的直角三角形的性质得出AB=2AH即可解决问题 【详解】解：如图，作AH⊥BC于H． 在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=2，cosC=， ∴ ∴CH= ∴AH=， 在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=30°， ∴AB=2AH=． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 二、填空题 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为_____． 【答案】 【分析】根据∠A的正切值，设两直角边分别为5k，12k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出． 【详解】解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， ∴设AC＝12k，BC＝5k， 则AB＝＝13k， ∴sinB＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理． 14．大西高铁侯马西站站房扩建工程是展示侯马市形象的重要窗口，9月日改扩建全部完成．如图，这是旅客出入站的自动扶梯示意图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握是解题的关键． 由题意知，根据，计算求解即可． 【详解】解，由题意知，， 故答案为：． 15．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡FE的坡度变为，则坝底加宽的宽度是______米． 【答案】12 【分析】过点作交于点，作于点G，则四边形为平行四边形，且，结合平行四边形的性质及正切函数求解即可； 【详解】过点作交于点，作于点G，则， ∵ ∴四边形为平行四边形， ，， 由题意得：，， 在中，， 在中，， ， ． 16．已知，如图，在中，，，点E为的中点，点F在底边上，且，则的值是 _____． 【答案】3 【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于H， 设， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握边角之间的转化． （1）先求正切值，即可求解度数，再由勾股定理求解斜边，以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）先根据直角三角形锐角互余求解，然后正切求解，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，∵，， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，在中，，D是边上的中点，连接，过点B作交延长线于点E．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了三角函数，直角三角形的性质． （1）在中，先根据三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长； （2）过C点作于F，求出的长，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 又是边的中点， ； （2）解：过C点作于点F． ， ， ∵， ∴， ， ， ， ． 20．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 21．凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 22．综合与探究 小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值． 解题思路：小新先画出了几何图形（如图1），他说得22.5°虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连结，构造出等腰（如图2）． 解题过程：在上截取，再连结，可证为等腰三角形，设，则，……． (1)实践应用：请把上面小新的解题过程补充完整； (2)尝试应用：如图3，求的值； (3)拓展应用：如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 米 【分析】此题主要考查了阅读材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本题的关键． （1）直接利用计算补充解题过程即可； （2）作线段的中垂线，交上于点，则使，连接，得到，再同材料的解题思路即可求出答案； （3）四边形是矩形，进而得出米，米，进而求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：在上截取，再连结， 可证为等腰三角形，设，则， ∴． （2）解：作线段的中垂线，交上于点 D，连接 ，则使， ，        设 则，      ； （3）解：由题意可得米，米， 在中,，， ，                  ， (米),                                 (米)． 答:纪念碑的高度约为 米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $