第一章 直角三角形的边角关系 ☆ 问题解决活动：利用三角函数测高 课件 -2026--2027学年北师大版九年级数学下册

问题解决活动： 利用三角函数测高 第一章 直角三角形的边角关系 1.经历完整的问题解决过程，体会解决实际问题的基本流程和方法策略。 2.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。 学习目标 2 问题 我们曾经测量过学校旗杆的高度。当在地面上不能直接测得测点与被测旗杆的底部之间的距离时(这种情况称为“底部不可以到达”)，你能利用三角函数的有关知识测量旗杆的高度吗? 课堂导入 3 知识点1 利用三角函数测高 选择一个底部不可以到达的物体，测量它的高度。 新知讲解 理解问题 (1)“底部不可以到达”会给测量物体的高度带来哪些困难? 如图，无法获取测点A 与被测物体MN 底部 N 之间的水平距离，即AN 的长 度，而AM的长是无法测量的，这样就无法知道Rt△AMN中的一条边，只知道从点A处到点M 的仰角，无法解直角三角形。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 理解问题 (2)还记得九年级上册相似三角形章节中“刘徽与《海岛算经》”中的方法吗？我们有哪些可以借鉴的经验？ 如图，“刘徽与《海岛算经》”中的方法是设置了两个测点，并且知道两个测点之间的距离，这样就用两条未知线段HF，HG的线段差，完美解决了“底部不可以到达”的困难。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 理解问题 (3)如何利用三角函数的有关知识克服这些困难? 采用“类比”策略，借鉴“刘徽与《海岛算经》”中的方法，设置两个测点，分别测出两个测点到物体最高点的仰角，及两个测点之间的距离，然后就可以利用三角函数进行测高。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案一 示意图 测量工具 皮尺、测角仪(如测倾器) 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案一 测量步骤 ①在点A处安置测角仪，测得此时点M的仰角∠α； ②在测点A和物体MN之间的点B处安置测角仪，测得此时点M的仰角∠β； ③用皮尺测得AB之间的距离l。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 方案一 计算过程 测高表达式 在Rt△AMN中，AN = ，在Rt△BMN中，BN = ， ∵AN-BN = AB = l，∴- = l， 解得MN = 。 MN = 。 知识点1 利用三角函数测高 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 新知讲解 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案二 示意图 测量工具 知识点1 利用三角函数测高 皮尺、测角仪、标杆 新知讲解 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案二 测量步骤 知识点1 利用三角函数测高 ①在点A处安置测角仪，测得此时点M的仰角∠α； ②在测点A设置一个垂直于地面的标杆，在标杆的顶端B处测得此时点M的仰角∠β； ③用皮尺测得A，B之间标杆的长度l。 新知讲解 方案二 计算过程 测高表达式 知识点1 利用三角函数测高 在Rt△AMN中，MN = AN·tanα， 在Rt△BMC中，MC = BC·tanβ。 易知四边形ABCN是矩形，∴CN = AB = l，AN = BC，∵MN-MC = CN = l，∴AN·tanα-AN ·tanβ = l， 解得AN = ，∴MN = AN·tanα = 。 MN = 。 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 新知讲解 实施计划 (1)各小组进行实地测量，做好数据记录。 (2)梳理测量过程并撰写活动报告。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 回顾反思 (1)你们在实地测量过程中遇到了哪些困难，是如何克服的? 在测量仰角或长度时，不同的小组成员测得的数据会有偏差。 方案二中标杆要保证与地面垂直，不同的小组成员操作起来有一定的偏差。 首先制定统一的测量标准，其次考虑多次测量求平均值。 如果采用方案二，标杆下面安装一个垂 直地面的底座，保证标杆与地面垂直。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 回顾反思 (2)各小组汇报展示活动成果，共同讨论减小测量误差的策略。 两个组采用了不同的测量方案，可以一起讨论各自方案的测量标准， 以及测量数据的合理性。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 请你解决下列问题。 1. 如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何利用三角函数的有关知识测量某测点到该物体的水平距离? 如图所示，可以在测点A处测出M的仰角∠MAN = ∠α， 通过AN = (MN是已知的或容易测量的)得到测点A到 物体MN的水平距离AN。 知识点1 利用三角函数测高 新知讲解 2.到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法?请举例说明各种方法的特点，并整理成一篇小短文。 知识点1 利用三角函数测高 全等三角形、相似三角形、三角函数这三种测量高度的方法。 新知讲解 1.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米。 80 随堂练习 2.如图，在高CD为60 m的小山上，若测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，则这个建筑物的高度为( ) A.20 m B.30 m C.40 m D. 50 m C 随堂练习 3.如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着坡角为30°的山坡前进 1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是(精确到1米)( ) A. 1 366米 B. 1 482米 C. 1 296米 D. 1 508米 A 随堂练习 方案一 方案二 示意图 测高 表达式 MN = 。 MN = 。 利用三角函数测高--“底部不可以到达” 课堂小结 $