第一章 直角三角形的边角关系-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)
2025-11-17
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学北师大版（2012）九年级下册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 本章复习与测试 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | 锐角三角函数 |
| 使用场景 | 同步教学-单元练习 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 4.25 MB |
| 发布时间 | 2025-11-17 |
| 更新时间 | 2026-01-30 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-11-17 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/54944351.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册“直角三角形的边角关系”，涵盖锐角三角函数、解直角三角形及其应用等核心知识点，通过教材同步分层练衔接中考真题与章测，构建从基础概念到综合应用的学习支架。
其亮点在于融入2025年广西、天津等地中考真题，以测量树高、晾衣装置等实例培养推理意识与应用意识，学生能通过真题演练提升解题能力，教师可借助分层练习与详细解析高效开展教学。
内容正文：
数 学
九年级下册 BS
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第一部分 教材同步分层练
4
第一章
直角三角形的边角关系
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
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中考
考点1 锐角三角函数
1.【2025广西中考】在中， ，，,则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】在中， ，，， ，故选B.
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2.【2025天津中考】 的值等于( )
A
A.0 B.1 C. D.
【解析】 ，故选A.
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3.【2025四川泸州中考】计算： .
【解】
.
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考点2 解直角三角形
（第4题图）
4.【2025四川南充中考】如图， ，在射线 上取
一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点 为圆心，
长为半径画弧，两弧在的内部相交于点 ，连接并延
长交射线于点．设，则 的长是____．
【解析】连接，如图.由作图可得， 是
等边三角形， ，
，故答案为 ．
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5.【2025山东威海中考】如图，点在反比例函数的图象上，点 在反比例函
数的图象上，连接，，.若，则 _ __.
（第5题图）
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【解析】如图所示，过点作轴于，过点作 轴
于，， ,
，
，， 点
在反比例函数的图象上，点在反比例函数 的图象
上，，， ，
，，故答案为 .
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关键点拨
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方,以及反比例函数比例系数 的几何
意义求解即可.
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考点3 解直角三角形的应用
6.【2025辽宁中考】如图，为了测量树 的高度，在水平地面上取
一点，在处测得 ，，则树 的高约为____
（结果精确到.参考数据：， ，
）.
7.4
【解析】由题意得， ，， 在 中，
，即， ，故答案为7.4.
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7.【2025湖南中考】如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和 分别垂直地面
水平线于点，，分米，.在点， 之间的晾衣绳上有一固定
挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点 重合），且直线
.
图（1）
图（2）
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（1）如图（1），当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线
的距离等于12分米，求该连衣裙 的长度;
【解】由题意得，，， 四边形 是矩形，
.在中，分米， 分米，
（分米）， 分米，
分米.
答:该连衣裙 的长度为14分米.
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（2）如图（2），为避免该连衣裙接触到地面，在另一个固定挂钩 处再挂一条长
裤（点在点的右侧），若 ，求此时该连衣裙下端点 到地面水平
线的距离约为多少分米.（结果保留整数，参考数据: ，
， ）
【解】如图所示，过点作于，延长交于.由题意得 ，
， 四边形是矩形，.在中， 分米，
，
（分米）分米，分米， 分米.
分米， （分米）.
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答:此时该连衣裙下端点到地面水平线 的距离约为2分米.
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章测
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.【2025河南漯河期末】在中， ，，则 的值
为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图，在中， ，， 设
，， ，
，即的值为 ，故选C.
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（第2题图）
2.如图，在矩形中，于，设 ，且
，，则 的长为( )
B
A.3 B. C. D.
【解析】由题可知， ,
.在中，,即 ,
.根据勾股定理，得 .
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（第3题图）
3.【2024安徽淮南质检】如图，要测量河内小岛到河岸 的距
离，在点测得 ，在点测得 ，又测
得，则小岛到河岸 的距离为( )
D
A. B. C. D.
【解析】在中， ，，则 .
在中， ， ，则
，即， .故
选D.
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（第4题图）
4.【2025广东汕头质检】如图，在平面直角坐标系中，菱形
的顶点为坐标原点，边在 轴正半轴上，反比例函数
的图象经过点，交菱形对角线于点 ，
轴于点，若，则 的长为( )
C
A.1 B. C. D.
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【解析】如图,作于.设， ，
四边形 是菱形，
, ,
,，，
关键点拨
根据得到 是解题的关键.
反比例函数的图象经过点， ，
（负值已舍去），.同理,设，则 ，
，，（负值已舍去）， ，
.故选C.
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（第5题图）
5.【2025江苏苏州质检】如图，在中， ，
.分别以点， 为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交
于点（点在的左侧），连接，则 的最大值为( )
C
A. B. C. D.
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【解析】，， 设，则 .在
中，由，可得 ，则
.过点作，且 ，连接
，，如图.由题意得,, ，
,, .
，， ，
， .又
，，. ，
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.， 当,,在同一直线上时, 有最大值
，故选C.
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二、填空题（每小题5分，共25分）
6.在中，，都为锐角，且，则 的度
数为______.
【解析】由题意得，，，. ,
都为锐角， ， ， .故答
案为 .
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7.【2025黑龙江大庆期末】已知在中，,是锐角，且 ，
，，则的面积等于_____ .
220
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（第7题图）
【解析】如图，过点作 的垂线，垂足为点
， 设，则 .
， ，
，
, ， ,
.故 .故答案为220.
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思路分析
过点作的垂线，得到两个直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理求出
的长，再用三角形的面积公式即可求解.
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8.【2024江苏南通期末】如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测
量教学楼高度的活动，此时无人机在离地面30米高的点处，操控者站在点 处，
无人机测得点的俯角为 ，测得教学楼楼顶点处的俯角为 .已知操控者和
教学楼的距离为60米，则教学楼 的高度是____________米.
（第8题图）
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（第8题图）
【解析】如图，过点作于，过点作 于
.由题意得，， ，
.在中， ，
，
，，， 四边形
为矩形，, .在中， ，
， ，
， 教学楼 的高度
为米.故答案为 .
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（第9题图）
9.如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，， 都在小正
方形的顶点上，与相交于点，则 的值为___.
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【解析】如图，连接交于 四边形 是正方形，
，，，， .
根据题意得，， ，
，.在 中,
， .
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10. 【2025浙江金华期末】如图，，，是三艘军舰，舰在 舰正东方
向6海里处，舰在舰北偏西 方向4海里处.某日，，， 三艘军舰同
时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船 相距
______海里.
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【解析】根据题意可知,点是 ，
垂直平分线的交点，如图,连接 ,
， 海里，
海里.过点作,交于点 ， 四边
形是矩形，， 海里.由题意可
知, ， 海里，
海里， 海里.
， ，
（海里），
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（海里），
（海里），故 舰
与渔船相距 海里.
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关键点拨
根据题意画图可得点是， 垂直平分线的交点，再利用锐角三角函数和勾股
定理即可解决问题.
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三、解答题（共45分）
11.【2025江苏扬州期末】计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
【解】原式
.
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关键点拨
掌握特殊角的锐角三角函数值是解题关键.
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12.【2024辽宁大连期末】如图（1）是一种折叠椅，忽略其支架等器件的宽度，
支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图（2）所示.若座板
平行于地面，前支架与后支架分别与交于点， ，量得
，， ， .
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【解】如图，过点，分别作于，于 ，
， ，
.
（1）求椅子座板距离地面 的高度；
【解】 在中，， ，
， 椅子座板距离地面的高度约为 .
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（2）求两支架着地点， 之间的距离.
（结果精确到,参考数据：， ，
，，， ）
【解】 在中，， ，
，，， 四边形 是
矩形，， 在 中，
，， ，
， 两支架着地点, 之间
的距离约为 .
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13.【2025江西赣州质检】如图是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要
求完成以下作图.（不写作法,保留作图痕迹）
图（1）
图（2）
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（1）在图（1）中作点，连接，，使得 .
【解】如图（1），点 即为所求.
图（1）
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（2）在图（2）中作点，连接，，使得 .
【解】如图（2），点 即为所求.
图（2）
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14.【2025辽宁沈阳期末】四边形中， ，， ，连
接， ，，点是折线上的一个动点，点在 边
上，且，连接，点关于直线的对称点是点，连接， .
备用图（1）
备用图（2）
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（1）如图，当时，求 的值；
图（1）
【解】如图（1），延长交于，过点作 于
. 点关于直线的对称点是点 ，
，，
，， ，
.
，，，， ，
【特例探究一】
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【特例探究二】
（2）当 时，求 的长；
图（2）
【解】 点关于直线的对称点是点， ，
，如图（2），过点作 于
， 四边形 是矩形，
， ，
.又 ，， ，
.
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【特例探究三】
（3）当点到的距离为1时，求 的值.
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【解】如图（3），当点在上时，过点作于 ，则
，，，. 点 关于直线
的对称点是点，， .如
图（4），当点在上时，过点作于，过点作于， 四边
形是矩形，，.同（2）易知 ，
，，，， ，
，，.综上所述, 的
值为或 .
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图（3）
图（4）
关键点拨
分两种情况讨论，由锐角三角函数求出的长或由相似三角形的性质求出 ，
的长，即可求解.
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