第二单元 线与角「期中复习知识清单〈真题汇编讲练〉」导图知识卡片+知识梳理+13个考点讲练+实战演练 共59题-2026-2027学年北师大版新教材数学四年级上册知识清单培优讲义

2026-2027学年北师大版数学四年级上册单元复习培优讲义「新教材」 第二单元 线与角「期中复习知识清单〈真题汇编讲练〉」 （知识梳理卡片+知识清单+13个重难点考点讲练+实战演练 共59题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】线段、直线、射线的认识及特征 5 【重难点考点二】两点间线段最短与两点间的距离 6 【重难点考点三】垂直的特征 8 【重难点考点四】画垂线 10 【重难点考点五】点到直线的距离 12 【重难点考点六】平行的特征及性质 14 【重难点考点七】画平行线 16 【重难点考点八】平角、周角的认识及特征 18 【重难点考点九】角的大小比较 20 【重难点考点十】角的度量 22 【重难点考点十一】用量角器画角 24 【重难点考点十二】用三角尺画角 26 【重难点考点十三】角度的计算 27 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 知识点一 线的认识 1. 线段 线段是直的，有两个端点，有一定的长度，不能向两端延伸。读作：线段AB（或BA）。 2. 射线 射线是直的，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。读作：射线AB（注意：端点字母必须写在前面）。 3. 直线 直线是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。读作：直线AB（或BA）。 4. 线段、射线、直线的比较 名称 图形特征 端点个数 延伸情况 长度 线段 直的 2个 不能延伸 有限长，可测量 射线 直的 1个 向一个方向无限延伸 无限长，不可测量 直线 直的 0个 向两个方向无限延伸 无限长，不可测量 5. 两点之间线段最短 在连接两点的所有连线中，线段的长度最短。线段AB的长度就是A、B两点之间的距离。 知识点二 相交与垂直 1. 相交 当两条直线有一个公共点时，这两条直线相交。有时候看到的只是一部分，需要延长后才能判断是否相交。 2. 垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 3. 画垂线的方法 可以借助三角板或折纸的方法来画垂线。用三角板画垂线时，要让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画线即可。 4. 垂线段最短 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 知识点三 平移与平行 1. 平移 在方格纸上平移图形时，移动前后，两条线之间的方格数一样多，方向保持一致。 2. 平行 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 3. 画平行线的方法 可以借助方格纸画平行线、用纸折平行线，或者用三角板平移画平行线。用三角板画平行线时，通常借助直尺固定三角板，然后平移三角板来画线。 4. 生活中的平行线 生活中有很多平行的例子，如黑板的上下边缘、斑马线、铁轨等。 知识点四 旋转与角 1. 角的形成 角是由一个顶点和两条边组成的。扇子慢慢打开的过程，就是角通过一条边绕着顶点旋转形成的。 2. 角的分类 根据角的大小，角可以分为五类： 锐角：大于0°且小于90°的角。 - 直角：等于90°的角。 - 钝角：大于90°且小于180°的角。 - 平角：角的两条边在一条直线上，等于180°。 周角：一条边绕着顶点旋转一周所形成的角，等于360°。 3. 各类角的关系 1个周角 = 2个平角 = 4个直角。 4. 生活中的角 钟表上时针和分针在不同时刻会形成不同的角；门框、画框等也包含了各种角。 知识点五 角的度量（一）—认识度数 1. 1度的定义 将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作1°。通常用“度”作为角的度量单位。 2. 周角、平角、直角与度的关系 1周角 = 360° - 1平角 = 180° - 1直角 = 90° 3. 估测角的大小 可以利用1°角作为参照，或者结合直角（90°）、平角（180°）去估一估、量一量角的大小。 知识点六 角的度量（二）—用量角器量角和画角 1. 认识量角器 量角器是把半圆平均分成180份，每份对应的角是1°。量角器上有中心点、零刻度线，以及内圈刻度和外圈刻度。 2. 量角的方法 重合：先将角的顶点和量角器的中心点重合，再把零刻度线与角的一条边重合。 读数：看角的另一条边所对的刻度。如果与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线重合，就读外圈刻度。 3. 画角的方法 用量角器可以画出任意度数的角。步骤与量角类似：先画一条射线，让量角器中心点和零刻度线与射线重合，在对应度数处点一个点，最后连接顶点和这个点。 4. 三角板上的角 一副三角板包含两个特殊的直角三角形： 一个三角板的角分别是：30°、60°、90°。 另一个三角板的角分别是：45°、45°、90°。 5. 用三角板拼角 利用三角板上的角，可以通过相加或相减拼出其他度数的角。例如：60°+45°=105°，45°-30°=15°。 知识点七 单元知识梳理（综合对比表） 1. 线段、射线、直线的异同 比较项目 线段 射线 直线 相同点 都是直的 都是直的 都是直的 端点个数 2个 1个 0个 能否延长 不能 向一端无限延长 向两端无限延长 能否测量 能 不能 不能 2. 各类角的特征汇总 角的名称 度数范围 特征描述 锐角 0° < 锐角 < 90° 比直角小 直角 90° 刚好是90度 钝角 90° < 钝角 < 180° 比直角大，比平角小 平角 180° 两边在一条直线上 周角 360° 旋转一整圈 知识点八 易错点提醒 线的读法：射线的读法有方向性，必须把端点字母写在前面（如射线AB），而线段和直线没有方向限制。 垂直的前提：只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的交叉不能称为垂直。 量角器的读数：量角时极易看错内外圈。一定要看清是与哪一圈的零刻度线重合，就读哪一圈的刻度。 角的分类界限：直角是90°，平角是180°。钝角必须严格大于90°且小于180°，不能等于90°或180°。 距离的概念：点到直线的距离必须是垂直线段的长度，斜线段的长度不是距离。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】线段、直线、射线的认识及特征 【典型例题】（25-26四年级上·山东济南·期中）按要求画图。 (1)画出射线AB。 (2)画出线段BC。 (3)画出直线AC。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）射线AB：端点是A，从A出发，经过B，向B那一端无限延长。 （2）线段BC：连接B和C两个点，两头都不能延长，两个端点B、C。 （3）直线AC：穿过A点和C点，两端都无限延长。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·广东东莞·期中）下图中，一共有（   ）条线段。 A．5 B．10 C．4 【答案】B 【思路引导】有规律地把单条的、二合一的、三合一的、四合一的线段数出来并相加，据此解答即可。 【规范解答】4＋3＋2＋1＝10（条） 【举一反三练习2】（25-26四年级上·重庆秀山·期末）“有始有终”本义是指做事有开头也有结尾，能坚持到底，不半途而废。在数学上可以用这个成语来形容（    ）。 A．角 B．直线 C．射线 D．线段 【答案】D 【思路引导】“有始有终”是指做事有开头也有结尾，能坚持到底，不半途而废，对应图形应该有两个端点，分别表示开头和结尾，两个端点之间的部分表示从开始坚持到最后，长度有限。 【规范解答】A．角的两条边是射线，射线可向一端无限延伸，不符合“有始有终”的描述； B．直线没有端点，可向两端无限延伸，不符合“有始有终”的描述；      C．射线只有1个端点，可向一端无限延伸，不符合“有始有终”的描述；      D．线段有2个端点，长度固定，有起点也有终点，符合“有始有终”的描述。 【重难点考点二】两点间线段最短与两点间的距离 【典型例题】（23-24四年级上·山东聊城·期中）在一次救生演习中，卫生员走第( )条路就能在最短的时间内赶到病人身边。 【答案】② 【思路引导】两点之间线段的长度就是两点间的距离。两点之间线段最短；依此即可解答。 【规范解答】根据分析： 在一次救生演习中，卫生员走第②条路就能在最短的时间内赶到病人身边。 【举一反三练习1】（24-25四年级上·山东潍坊·期中）从小云家到电影院有3条路，走哪一条最近？为什么？ 【答案】②；因为两点之间线段最短 【思路引导】从小云家到电影院有3条路，这3条路中，第1条与第3条要分别经过游泳馆和商场，走中间的②条路最近，因为两点之间线段最短。 【规范解答】从小云家到电影院有3条路，走②条最近，因为两点之间线段最短。 【举一反三练习2】（23-24四年级上·吉林长春·期中）为便于农副产品的运输，要从大桥村要修一条最近的路到新花村，再从新花村修一条最近的路到国道，你认为怎样设计最近？画一画。 【答案】见详解 【思路引导】两点之间，线段最短，用线段把大桥村和新花村连接起来，沿这条线段修路最近；直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从新花村作国道的垂线段，沿这条垂线段修路最近；据此画图即可解答。 【规范解答】 【考点剖析】本题主要考查学生对线段和垂线的特征及性质的掌握。 【重难点考点三】垂直的特征 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）如图。 (1)画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是：___________________________________ (2)画出从王庄到小河的最短路线。 依据是：__________________________________________________ 【答案】(1)；两点之间线段最短 (2)；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短 【思路引导】（1）要找两点之间的最短路径，依据两点之间线段最短，直接连接李庄和王庄两点的线段即可。 （2）要找直线外一点到直线的最短路径，依据从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，过王庄向小河所在直线作垂线段即可。 【规范解答】（1）图略，从李庄到王庄最近的路线依据是：两点之间线段最短。 （2）图略，从王庄到小河的最短路线依据是：从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中）如图，线段( )的长度就是点A到直线l的距离。 【答案】AD/DA 【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 【规范解答】从点A向直线l引出的四条线段中，线段AD与直线l的交点D处标有直角符号，说明AD⊥l，因此，线段AD的长度就是点A到直线l的距离。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东德州·期中） (1)明明家想修一条家到菜地的路，怎样修最近？请在图中画出来，你这样修的理由是：（    ）。 (2)要从河边修一条水渠到菜地，怎样修最短？请在图中画出来，你这样修的理由是：（    ）。 【答案】(1) 两点之间线段最短。 (2) 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【思路引导】根据两点之间，线段最短，因此用直尺将明明家和菜地连接起来，沿着线段修路即可； 根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画的所有线段中，垂线段最短。把小河看作一条直线，由菜地向小河画垂直线段，沿着菜地和垂足之间的线段修水渠即可。 【规范解答】（1）图略；理由是：两点之间线段最短。 （2）图略；理由是：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【重难点考点四】画垂线 【典型例题】（26-27四年级上·全国·期中）过D点分别画出直线AB、AC的垂线。 【答案】 【思路引导】过点D作直线AB的垂线：因为点D在直线AB上，所以根据过直线上一点作已知直线垂线的方法，借助三角尺，把三角尺的一条直角边与AB重合，沿着AB移动三角尺，使得三角尺的直角顶点与D点重合，沿着三角尺的另外一条直角边画直线，即可画出AB的垂线； 过点D作直线AC的垂线：因为点D在直线AC外，所以根据过直线外一点作已知直线垂线的方法，把三角尺的一条直角边与AC重合，沿着AC移动三角尺，使得三角尺的另外一条直角边经过D点，沿着三角尺的另外一条直角边画直线，即可画出AC的垂线； 垂线画完后都标注垂直符号。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东潍坊·期中） (1)请你画出从图书馆到超市最近的路。我这样画的理由：________________。 (2)请你画出从图书馆到公路最近的路，并在下面的横线上说明这样画的理由。我的理由是：__________________________________________________。 【答案】(1) 两点之间，线段最短。 (2) 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 【思路引导】（1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短。据此可知，要求从超市到图书馆最近的路，用线段将超市和图书馆连接起来即可。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从图书馆向公路作垂线，这条垂线即为所求。 【规范解答】（1）图略； 两点之间，线段最短。 （2）图略； 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·广东茂名·期中） 29． (1)画出从公园到超市最近的路。 (2)画出从超市到商业街最近的路。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）两点之间线段最短。过公园和超市画一条线段，这条线段就是从公园到超市最近的路。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，从超市向商业街右上方的一边作垂线，这条垂线即为所求。 【重难点考点五】点到直线的距离 【典型例题】（25-26四年级上·山东德州·期中）李芳家通往五一大街有4条路线（如图），长度分别约是：900米、1千米、1千米800米和2000米。根据图可以判断B路线的长度是（    ）。 A．900米 B．1千米 C．1千米800米 【答案】A 【思路引导】已知4条路线的长度，可先比较出4条路线的大小；由于B路线与五一大街互相垂直，根据点到直线上任意一点的连线中，垂直线段最短，可知B路线的长度应该是最短的。据此选择。 【规范解答】1千米＝1000米 1千米800米＝1800米 所以，900米＜1千米＜1千米800米＜2000米。 根据分析可知：B路线最短。 所以，B路线的长度是900米。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）（1）画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是：______________。 （2）画出从王庄到小河的最短路线。 依据是：______________。 【答案】；两点之间线段最短； ；直线外一点到直线的距离中垂线段最短 【思路引导】（1）要找两点之间的最短路径，依据两点之间线段最短，直接连接李庄和王庄两点的线段即可。 （2）要找直线外一点到直线的最短路径，依据直线外一点到直线的距离中垂线段最短，过王庄向小河所在直线作垂线段即可。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东德州·期中）周末到了，小亮想帮爷爷给菜园浇水，他有两种选择，可以到水井打水，也可以到河边打水，请你帮他分别画出两种打水的最近路线。 【答案】 【思路引导】两点之间线段最短，从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短。画垂线时，使得三角尺的一条直角边与已知直线重合，将三角尺沿着直线移动，使得三角尺顶点与指定的点重合，过指定点，沿三角尺的另一条直角边画垂线。据此画图。 【重难点考点六】平行的特征及性质 【典型例题】（26-27四年级上·全国·期中）学校墙上的安全疏散标识牌松动了（如图），怎样才能摆正？请写出具体的方法。 【答案】把标识牌的一条水平边调整到和墙面底边（水平线）互相平行，标识牌就摆正了。或者把标识牌的竖直边调整到和墙面底边互相垂直，标识牌就摆正了。 【思路引导】以墙面底边这条水平直线为参照，利用平行线和垂线的关系判断标识牌是否摆正。 【规范解答】答：标识牌摆正时，横边应与墙面底边保持相同方向，延长后不相交；竖边应与墙面底边成直角。调整标识牌，使其中一条横边与底边平行，或使一条竖边与底边垂直，即可摆正。 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·期中）如图所示这组平行线中，分别过点A、B、C、D向另一条直线画垂直线段。 （1）这几条垂直线段的长度都（    ）。 （2）在两条平行线之间，所有（    ）的长度都相等。 【答案】      （1）相等 （2）垂直线段 【思路引导】两条平行线之间的垂直线段表示这两条直线之间的距离。平行线间的距离处处相等，因此从A、B、C、D分别向另一条直线画出的垂直线段长度相同。 【规范解答】过A、B、C、D分别向上方的平行线画垂直线段，四条线段都垂直于这两条平行线，图略。 （1）这几条垂直线段表示同一组平行线之间的距离，所以长度都相等。 （2）在两条平行线之间，只要是垂直于这两条平行线的线段，长度都等于平行线之间的距离，所以所有垂直线段的长度都相等。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东菏泽·阶段检测）下图中，，量一量这6个角的度数。 ＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°。 （1）你发现和的大小有何关系？ （2）你发现和的大小有何关系？ （3）你发现和的大小有何关系？和的大小有何关系？ 【答案】60；120；60；120；120；60 （1）相等； （2）相等； （3）相等；相等 【思路引导】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此量出原题6个角的度数，再根据度数的大小解答原题中的3个小题。 【规范解答】 ＝60°，＝120°，＝60°，＝120°，＝120°，＝60°。 （1）发现和的大小相等。 （2）发现和的大小相等。 （3）发现和的大小相等；和的大小相等。 【重难点考点七】画平行线 【典型例题】（26-27四年级上·全国·期中）经过点O画已知直线的平行线。 【答案】 【思路引导】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和O点重合，过O点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线。 40． 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·期中） 41． (1)过点A画已知直线l的垂线，垂足记作点C。点A到已知直线的距离是（ ）厘米。 (2)过B点画AC的平行线BD，直线BD与直线l互相（ ），点A到直线BD的距离是（ ）毫米。 【答案】(1)；1 (2)垂直；6 【思路引导】垂直与距离：两条直线相交成直角则互相垂直；直线外一点到直线的垂线段长度，就是点到这条直线的距离。用直尺对齐这条垂线段，读出线段的长度，读出的数值就是该点到直线的距离。 平行线性质：如果一条线段垂直于一条直线，和这条线段平行的直线，也会和原直线垂直；两条平行线间垂线段的长度，就是点到平行线的距离。 【规范解答】（1）将三角尺一条直角边紧贴直线l，平移三角尺，让另一条直角边经过点A；沿着经过A点的直角边画线，和直线l相交于点C，AC就是直线l的垂线；点A到已知直线的距离是1厘米。图略 （2）把三角尺一条直角边贴合线段AC，直尺紧贴三角尺另一条直角边固定不动；沿直尺平移三角尺，使直角边经过点B，过B画出直线BD，BD平行于AC。AC垂直直线l，BD和AC互相平行，因此BD与直线l互相垂直；点A到直线BD的距离是6毫米。图略 【举一反三练习2】（25-26四年级上·广东茂名·期中）按要求操作。（下图） (1)在公路上设一个离商场最近的公交站，设在哪里最合适？画一画。 (2)经过商场修一条与街道平行的公路，请画出这条公路。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）要在公路上找一个离商场最近的点设公交站时，根据点到直线的距离中，垂线段最短这个原理。从商场这个点向公路作一条垂线段，先把三角尺的一条直角边与公路重合；沿着公路移动三角尺，使商场点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是公路的垂线。垂线段的垂足处就是离商场最近的公交站的位置； （2）在同一平面内，永不重合也永不相交的两条直线叫做平行线。以商场这个点为基础，利用直尺和三角板，先把三角尺的一条直角边与街道重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使商场在三角尺的直角边上，然后沿直角边经商场点画出另一条直线，这条直线就是要修的公路。据此作图即可。 【重难点考点八】平角、周角的认识及特征 【典型例题】（25-26四年级上·山东德州·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．平角是一条直线。 B．同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。 C．9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是直角。 D．过直线外一点可以画无数条已知直线的平行线。 【答案】B 【思路引导】平角是由一个顶点、两条刚好在同一直线上方向相反的射线组成的角，不是没有顶点的普通直线。 在同一平面内，两条直线只有平行（永远不相交）和相交两类位置关系，不存在其他情况。 9时30分的时候，时针已经从9往10的位置走了半格，不会刚好和分针（指向6）形成90度的直角，这个较小角是钝角。 过直线外一点，只能画出1条和已知直线平行的线，不能画无数条。 【规范解答】A．平角不是一条直线。原说法错误。 B．同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。原说法正确。 C．9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是钝角。原说法错误。 D．过直线外一点可以画1条已知直线的平行线。原说法错误。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·湖北黄冈·期中）如图，下面线段表示0°到360°。 (1)请在线段上标出直角、平角的相应位置。 (2)点A表示( )角，点B表示( )角，请分别写出你判断的依据。依据是：( )。 【答案】(1) (2) 钝 锐 大于90°小于180°的角是钝角；大于0°小于90°的角是锐角。 【思路引导】（1）1直角＝90°，1个周角相当于4个直角。由图可知，整条线段表示一周角，平均分成了4份，所以线段的第1个4等分点即B点右边的点即为直角的位置；1平角＝180°，2个平角相当于1个周角，线段的2等分点即A点右边的点为平角的位置。 （2）点A在直角和平角之间，这个点表示的角大于90°小于180°，由此可知是钝角；点B在0°与90°之间，这个点表示的角小于90°，由此可知这是一个锐角。 【规范解答】（1）略； （2）点A表示钝角，点B表示锐角，请分别写出你判断的依据。依据是：大于90°小于180°的角是钝角；大于0°小于90°的角是锐角。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·福建福州·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．用一个钝角减去一个锐角，得到的角一定是锐角。 B．周角是一条射线，平角是一条直线。 C．把一个30°的角用放大镜放大5倍，则看到的是一个150°的角。 D．大于90°小于180°的角称为钝角。 【答案】D 【思路引导】逐项判断原说法是否正确。 【规范解答】A． 用一个钝角减去一个锐角，得到的角一定是锐角。 举例子：钝角170°，锐角20°，170°－20°＝150°，150°还是钝角，不一定是锐角。 所以原题说法错误； B． 周角是一条射线，平角是一条直线。 周角、平角都是角，角要有1个顶点＋2条边，周角两条边重合在一起，平角两条边在一条直线上，并不是射线或者直线；所以原题说法错误。 C． 把一个30°的角用放大镜放大5倍，则看到的是一个150°的角。 放大镜只放大边的长短，不会放大角的度数，角依旧是30°，所以原题说法错误。 D． 大于90°小于180°的角为钝角，所以原题说法正确。 【重难点考点九】角的大小比较 【典型例题】（25-26四年级上·山东德州·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．角的大小与边的长短有关 B．直线比射线长 C．在2倍的放大镜下看30°的角还是30° D．过一点只能画一条直线 【答案】C 【思路引导】根据角的大小与两边张开的大小有关，与边的长短无关；直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度是无限的，不能测量长度；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能测量长度；过一点可以画无数条直线；即可判断。 【规范解答】A．角的大小与边的长短无关；原说法错误； B．直线和射线都不能测量长度，它们不能比较长短；原说法错误； C．放大镜只能放大角的边的粗细和长短，两边张开的大小不变，所以在2倍的放大镜下看30°的角还是30°；原说法正确； D．一点不能确定直线的方向，所以过一点可以画无数条直线；原说法错误。 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ）个。 ①周角是一条射线  ②平角的两条边在同一条直线上  ③钝角的一半一定是锐角  ④锐角＜钝角＜直角＜平角＜周角 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①角是由一个顶点引出的两条射线组成的，周角只是两条射线重合了，本质不是单独一条射线。 ②平角是180°，它的两条边往相反方向展开，刚好在同一条直线上。 ③钝角的范围是大于90°、小于180°，它的一半就大于45°、小于90°，符合锐角的定义，所以一定是锐角。 ④角的大小顺序：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 依次判断4个关于角的说法的正误，统计正确说法的数量即可。 【规范解答】①周角是一条射线。错误。 ②平角的两条边在同一条直线上。正确。 ③钝角的一半一定是锐角。正确。 ④锐角＜钝角＜直角＜平角＜周角。错误。 正确的说法共2个。 【举一反三练习2】（25-26三年级下·山西大同·阶段检测）下面钟面上时针和分针所形成的角各是什么角？填一填。 ( )角      ( )角   ( )角      ( )角    ( )角 再将上面各角按从大到小的顺序排列：( )。 【答案】 锐 周 钝 平 直 周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角 【思路引导】钟面一圈是360度，平均分成12个大格，每个大格对应角度是360÷12＝30度，根据钟面的分针和时针的夹角，依次计算出夹角的角度，再根据角的分类判断。锐角是指大于0度而小于90度的角；直角是指等于90度的角；钝角是指大于90度而小于180度的角；平角是指等于180度的角；周角是指等于360度的角。按角度的大小排序即可。 【规范解答】图一：2时，30×2＝60（度），锐角。 图二：12时，30×12＝360（度），周角。 图三：7时，30×5＝150（度），钝角。 图四：6时，30×6＝180（度），平角。 图五：9时，30×3＝90（度），直角。     周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角 【重难点考点十】角的度量 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）以A为顶点画一个30°的角，以B为顶点画一个60°的角，并组成一个三角形ABC。量出第三个角的度数，且过C点作一条线使它与AB平行，过C点作AB的垂线，垂足为D。 【答案】 【思路引导】画角的步骤是：使量角器的中心分别和A点、B点重合，0°刻度线和线段AB重合，然后在量角器30°、60°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并将两条射线延长，使它们相交于一点，从而与已知线段组成一个三角形ABC即可。 量角的步骤是：先把量角器的中心与第三个角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 过C作AB的平行线：用直尺＋三角板平移法：三角板一条直角边对齐AB，直尺紧贴三角板另一条边，固定直尺，平移三角板，使三角板边经过C点，沿这条边画线，就是AB的平行线。 过C作AB的垂线，垂足D：把三角板直角边对齐AB，移动三角板，让另一条直角边经过C点，沿着这条直角边画线段，和AB交于D，D就是垂足，标上直角符号。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中）画一画，量一量。 (1)画射线，量出的度数是______°。 (2)过点M画线段AB的垂线。 (3)以点B为角的顶点，以线段BA为角的一条边画一个125°的角。 【答案】(1) ；45 (2) (3) 【思路引导】（1）以A为端点，过点M画一条直的线即可得到射线AM；角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；用量角器度量出∠MAB的度数即可； （2）过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，据此画图； （3）使量角器的中心和B点重合，零刻度线和BA重合，在量角器上125度刻度线的地方点一个点，然后以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是125°的角，据此画图 【规范解答】（1）量出的度数是45°。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东济南·期中）磨损的量角器也能量出一些角的度数。如图，∠1是（    ）。 A．25° B．30° C．35° 【答案】A 【思路引导】破损量角器测量角时，不用非得对齐0刻度线，用角的两条边对准的量角器刻度相减就能得到角度；由图可知，∠1的一条边对准内圈50°的刻度，另一条边对准内圈75°的刻度，据此解答。 【规范解答】75°－50°＝25° 【重难点考点十一】用量角器画角 【典型例题】（25-26四年级上·山东青岛·期中）按要求画一画。 (1)以线段AB为边，以A点为顶点画一个120°的角，并标记角的度数。 (2)过P点作线段AB的平行线。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）画角的步骤是：使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和线段AB重合，然后在量角器120°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此解答即可。 （2）过线段AB外一点作线段AB的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知线段AB重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东青岛·期中）以A点为顶点画一个75度的角。过B点分别画出已知直线的垂线和平行线。 【答案】 【思路引导】画角：先从A点引出一条射线，把量角器的中心点和点A重合，零度刻度线和射线重合，在量角器上找到75°刻度的地方记一个点，从射线的端点出发，通过标记的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是所要画的角； 画垂线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可； 画平行线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可。【举一反三练习1】2（25-26四年级上·山东德州·期中）画一个135°的角，同学们想到了不同的方法，正确的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①两个三角板的内角分别为45°和90°，所以画出的角为45°＋90°＝135°； ②一个圆形对折3次，即将一个周角平均分成8份，每份的度数为360°÷8＝45°，所画角包含其中3份，所以画出的角为45°×3＝135°； ③根据量角器画角的方法，图中角的一边与0刻度线重合，另一边与45°重合，这个角的度数是45°； ④图中三角形是等腰直角三角形，它的一个底角是45°，这个45°的角和旁边的角组成一个平角，平角是180°，180°－45°＝135°，所以这个角的度数是135°。 【规范解答】根据分析： ①画出的角为45°＋90°＝135°； ②画出的角为45°×3＝135°； ③画出的角为45°； ④画出的角为135°； 因此正确的有3种。 【重难点考点十二】用三角尺画角 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）乐乐用了以下四种方法画150°角，这些方法中不能画出150°角的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】三角尺上角的度数有30°、45°、60°、90°，前面三个选项根据三角尺上角的度数计算出所画角的度数，第四个选项直接读出量角器上角的度数即可。 【规范解答】A．60°＋90°＝150°，所画的角是150°。           B．180°－45°＝135°，所画的角是135°。           C．180°－30°＝150°，所画的角是150°。           D．角的顶点与量角器的中心重合，一边与0°刻度线重合，另一边与150°刻度线重合，所画的角是150°。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中）如图，沿着一条直线摆了一副三角板，想一想，∠1的度数是（    ）。 A．30° B．40° C．45° D．55° 【答案】C 【思路引导】观察可知，中间的这个角，∠中间的这个角，所以可得∠和相等。 【规范解答】根据分析：∠。 【举一反三练习2】（23-24四年级上·江苏盐城·期末）如图，量角器测量的∠1＝( )°；一副三角板拼成的∠2＝( )°；用正方形纸剪出的∠3＝( )°。 【答案】 70 105 135 【思路引导】根据图示可知，量角器起始位置并不是在0刻度线，角的一条边与量角器上的30°重合，角的另一边所对的量角器上的刻度是100°，那么∠1的刻度为两条边对应的刻度之差；根据图示，图中量角器测量的∠1＝100°－30°＝70°；图中用一副三角尺拼成的∠2＝60°＋45°＝105°；明确平角为180°，图中用正方形纸剪出的∠3＝180°－45°＝135°。据此解答即可。 【规范解答】∠1＝100°－30°＝70° ∠2＝60°＋45°＝105° ∠3＝180°－45°＝135° 图中量角器测量的∠1＝70°；图中用一副三角尺拼成的∠2＝105°；图中用正方形纸剪出的∠3＝135°。 【重难点考点十三】角度的计算 【典型例题】（25-26四年级上·福建泉州·期中）击剑运动是一项历史悠久的传统体育项目，奇思在看一场奥运会击剑比赛的时候，观察到运动员击剑时形成了如下的图形。如果，请你求出、和的度数。 【答案】；； 【思路引导】平角度数是，和组成平角，和组成平角，和组成平角，用减法求出相关角的度数即可， 【规范解答】 答：、和的度数分别为，，。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·浙江杭州·期中）如图所示，用破损的量角器测量角的度数，∠1是（    ）。 A．85° B．30° C．115° D．25° 【答案】B 【思路引导】使用破损量角器测量角度，用角的两条边对应的量角器刻度的差值来得到角的度数，无需依赖完整的0刻度线；根据图示，用外圈的115°减去外圈的85°，求出∠1。 【规范解答】115°－85°＝30° 【举一反三练习2】（25-26四年级上·福建福州·期中）下图是一个长方形和一个正方形重叠在一起，如果∠1＋∠2＋∠3＝130°，那么∠3＝( )°。 【答案】50 【思路引导】观察图可知，∠1＋∠3是直角，即90°，∠3＋∠2也是直角，即90°，则∠1＋∠3＋∠3＋∠2＝90°＋90°＝180°。比∠1＋∠2＋∠3的结果多个∠3，据此用减法即可求出∠3的度数。 【规范解答】90°＋90°＝180° 180°－130°＝50° ∠3＝50° 模块四 优选真题 实战演练 1．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）不能用一副三角板拼出来的角是（ ）。 A．20° B．75° C．120° 【答案】A 【思路引导】一副三角板的角度分别为30°，60°，90°和45°，45°，90°，这些度数的角，可以直接得到；其余度数的角能否拼出，可通过这些角度的和、差判断即可。 【规范解答】A．无法通过上述角度的和差得到20°，不能拼出，符合题意； B．30°＋45°＝75°，所以75°角可由三角板中30°和45°角拼成，不符合题意； C．30°＋90°＝120°，所以120°角可由三角板中30°和90°角拼成，不符合题意。 2．（25-26四年级上·山东淄博·期中）把一个正方形对折分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．60°和30° B．45°和45° C．60°和60° 【答案】B 【思路引导】正方形四个角都是90°，对折后直角三角形的两个锐角是正方形一个角的一半。 【规范解答】90°÷2＝45° 所以其中一个直角三角形的两个锐角分别是45°和45°。 3．（25-26四年级上·山东青岛·期中）用一副三角板拼出了三个角（如下图），其中两个角的度数之和是120°的是（    ）。 A．∠1 B．∠2 C．∠3 【答案】B 【思路引导】一副三角尺由两个三角尺组成，一个三角尺的三个角分别是90°、60°、30°，另一个三角尺的三个角分别是90°、45°、45°。逐个分析选项中的角是由三角尺上的哪两个角组合起来，然后算出它们的度数即可。 【规范解答】A．∠1＝30°＋45°＝75° B．∠2＝30°＋90°＝120° C．∠3＝45°＋90°＝135° 4．（25-26四年级上·山东临沂·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．如果一个数含有三级，那么这个数可能是九位数 B．射线的长度是直线的一半 C．9时30分，钟面上时针和分针所组成的较小角是90° D．如果因数中间有0，那么积的中间一定也有0 【答案】A 【思路引导】数级分为个级、万级、亿级，每一级最多4位，含有三级的数，最少是亿位为1、其余低位补0的九位数，最多是十二位数。 射线只有1个端点、直线没有端点，二者都可以无限延伸，都没法测量长度，不能比较长短。 角有一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，直角等于90°，比直角大的是钝角（大于90°小于180°），比直角小的是锐角（小于90°）。钟面上一共有12个刻度，将钟面平均分成12大格，钟表上的每一个大格对应的角度是：30°，据此分析解答。 当一个因数中间有0，另一个因数不是整十数时，积的中间不一定有0。举例说明即可。 逐一判断各选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。 【规范解答】A．含有三级的数最少是九位数，最多是十二位数，因此可能是九位数，此项说法正确。 B．射线和直线都可以无限延伸，无法测量长度，不能比较长短，此项说法错误。 C．9时30分，分针指向6，时针指向9和10的中间，时针和分针之间有3个大格和1个大格的一半， ，即9时30分，钟面上时针和分针所组成的较小角是105°，此项说法错误； D．举反例：，因数105中间有0，积315中间没有0，此项说法错误。 5．（25-26四年级上·云南楚雄·期中）单元知识复习时，小华整理了“角的度量”这部分知识如下： ①1个周角＝2个平角＝4个直角  ②射线只有一个端点，周角就是一条射线  ③过一点可以画出无数条直线，过两点只能画出一条直线  ④把半圆平均分成180等份，每份所对的角的大小是。 以上整理的这些知识正确的有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【答案】B 【思路引导】①周角为360°，平角为180°，直角为90°，等式成立； ②射线虽有一个端点，但周角是角而非射线； ③过一点可画无数条直线，两点确定一条直线； ④半圆对应180°，平均分成180份后每份为1°。 【规范解答】①1个周角＝360°，2个平角＝180°×2＝360°，4个直角＝90°×4＝360°，等式成立，此选项正确； ②射线只有一个端点正确，但周角是角（360°），由两条重合的边构成，并非射线，此选项错误； ③过一点可画无数条直线，两点确定一条直线，此选项正确； ④半圆对应圆心角180°，平均分成180份后每份为1°，此选项正确。 综上，正确的有①、③、④，共3个。 故答案为：B 【考点剖析】解题关键在于依据角和直线的基本概念，对小华整理的每一条“角的度量”知识进行正误判断，统计正确的条数。 6．（25-26四年级上·山东青岛·期中）将一张圆形纸片连续对折三次后，∠1的度数是( )°。 【答案】45 【思路引导】将圆形看作以中心点为顶点的周角，周角为360°，圆形纸片每对折一次角度就减少一半，计算出360°三次除以2的度数，就是圆形纸片连续对折三次后∠1的度数。 【规范解答】第一次对折后的角度为：360°÷2＝180° 第二次对折后的角度为：180°÷2＝90° 第三次对折后的角度为：90°÷2＝45° 7．（26-27四年级上·全国·期中）在“E、F、G、H、L、T、N”这几个字母中，既含有互相平行的线段，又含有互相垂直的线段的有( )个。 【答案】3 【思路引导】判断一个字母是否符合题意，要同时检查两种关系：一是字母中有互相平行的线段，二是字母中有互相垂直的线段。两种关系都具备才符合；只具备其中一种不符合。 【规范解答】E：有三条横线，横线之间互相平行；竖线与横线相交成直角，所以E同时有平行线段和垂直线段，符合。 F：有两条横线，这两条横线互相平行；竖线与横线相交成直角，所以F也符合。 G：字母G主要由弯曲的线条组成，没有同时出现互相平行的线段和互相垂直的线段，不符合。 H：两条竖线互相平行；中间的横线与两条竖线相交成直角，所以H符合。 L：横线与竖线相交成直角，但各只有一条，没有一组互相平行的线段，不符合。 T：横线与竖线相交成直角，但各只有一条，没有一组互相平行的线段，不符合。 N：两条竖线互相平行，但斜线与竖线相交处不是直角，没有互相垂直的线段，不符合。 符合条件的字母是E、F、H，共3个。 8．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）如图，把一张长方形纸沿BE折叠，如果∠2＝28°，∠1＝( )°。 【答案】31 【思路引导】长方形的每个角都是直角，所以折叠前该处的整个角是90°。沿BE折叠后，折痕两侧互相重合的边对应，由折叠的性质可知对应的两个角相等。已知∠2的度数，先用90°减去∠2，求出除去∠2后剩余部分的度数；剩余部分由两个大小相等的∠1组成，因此再把剩余度数平均分成2份，就能求出∠1。 【规范解答】90°－28°＝62° ∠1＝62°÷2＝31° 9．（25-26四年级上·山东日照·期中）2时整，时针和分针形成的较小角的度数是( )，再经过20分钟，分针走过的角的度数是( )。 【答案】 60° 120° 【思路引导】钟面上有12个大格，每个大格是30°，2时整，时针和分针形成的较小角之间有2个大格。分针走过一格是5分钟，先计算出分针走了几大格，再求出对应的度数即可。 【规范解答】30°×2＝60° 20÷5＝4（个） 30°×4＝120° 2时整，时针和分针形成的较小角的度数是60°，再经过20分钟，分针走过的角的度数是120°。 10．（22-23四年级上·河北张家口·期末）如下图，∠1＝( )°，直线a与直线d互相( )，直线c与直线d互相( )。 【答案】 25 垂直 平行 【思路引导】观察图示可得：∠1、直角和65°角组成一个平角，平角＝180°，直角＝90°，∠1＝180°－90°－65°；平行和垂直的定义：同一平面内不相交的两条直线，互相平行；当两条直线相交成90度时，这两条直线就相互垂直。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 180°－90°－65° ＝90°－65° ＝25° 所以，∠1＝25°，直线a与直线d互相垂直，直线c与直线d互相平行。 【考点剖析】熟练掌握直角、平角、平行和垂直的特征是解题的关键。 11．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）在同一平面内有4个点，且4个点不在同一条直线上，过其中的两点作线段，一共可以作4条。( ) 【答案】× 【思路引导】根据两点组成一条线段判断即可。 【规范解答】在同一平面内有4个点，且4个点不在同一条直线上，过其中的两点作线段，可以得到的线段如下图，一共可以作6条，所以题干说法错误。 故答案为：× 12．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）将一张正方形纸对折两次，得到的折痕所在直线的位置关系一定互相平行。( ) 【答案】 × 【思路引导】正方形对折两次有两种不同的折法，折痕可能互相平行，也可能互相垂直，不是一定互相平行，据此判断即可。 【规范解答】将正方形纸对折两次存在两种情况： 1. 沿同一方向连续对折两次，折痕互相平行； 2. 两次对折方向互相垂直（如先上下对折再左右对折），折痕互相垂直。 因此得到的折痕所在直线的位置关系不一定互相平行。 故答案为：× 13．（25-26三年级上·陕西西安·阶段检测）在平角、钝角、直角、锐角中，钝角最大。( ) 【答案】× 【思路引导】大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角；大于90°且小于180°的角是钝角；平角是180°。 【规范解答】角的度数按从小到大排列：锐角＜直角＜钝角＜平角； 可知最大的是平角，不是钝角。 因此，在平角、钝角、直角、锐角中，钝角最大的说法错误。 故答案为：× 14．（25-26四年级上·广东汕头·期中）计算下面各角的度数。 已知∠1＝38°，求∠2、∠3和∠4的度数。 【答案】52°；128°；52° 【思路引导】∠1旁边有标注的直角符号，说明∠1、∠2和这个直角共同组成一个平角，平角是180°。已知∠1＝38°，因此∠2＝180°－90°－∠1；因为∠2和∠3也组成一个平角，所以∠3＝180°－∠2；最后∠3和∠4组成一个平角，所以∠4＝180°－∠3。据此解答即可。 【规范解答】∠2＝180°－90°－38°＝90°－38°＝52° ∠3＝180°－52°＝128°    ∠4＝180°－128°＝52° 15．（25-26四年级上·广东广州·期中）下图是小林将一张长方形纸折起来后的图形。已知∠1＝54°，求出∠2的度数。 【答案】∠2＝63° 【思路引导】 根据图示，长方形纸折叠后，∠2与∠3大小相等，因此两个∠2的度数和与∠1共同组成1个平角，平角等于180°，用180°－54°，求出两个∠2的度数和，再用两个∠2的度数和除以2，即可求出∠2的度数。 【规范解答】180°－54°＝126° 126°÷2＝63° ∠2＝63° 16．（26-27四年级上·四川内江·期中）如图，将一张长方形纸向上翻折，∠1＝55°，求∠3的度数。 【答案】20° 【思路引导】观察图形可知，长方形的角是直角，∠1和∠2共同组成1个直角，即∠1＋∠2＝90°，用90°－55°，求出∠2的度数；将一张长方形纸向上翻折，则∠1＝∠2＋∠3，再用∠1－∠2，即可求出∠3的度数。 【规范解答】90°－55°＝35° ∠2＝35° 55°－35°＝20° 答：∠3是20°。 17．（25-26四年级上·山东济南·期中）一张长方形纸片折叠后如图所示，已知，，，那么和的度数分别是多少？ 【答案】∠2＝70°，∠5＝30° 【思路引导】求∠2：利用折叠前后对应角相等的性质，可知∠1和它折叠前对应的角大小相等，∠3和它折叠前对应的角大小相等，因为长方形上边形成的角是平角，总和为180°，所以∠2＝180°－2∠1－2∠3。 求∠5：利用折叠前后对应角相等的性质，可知∠4、∠5分别和它折叠前对应的角大小相等，因为两个∠4和两个∠5组成平角，总和为180°，所以∠5＝180°÷2－∠4。 【规范解答】∠2＝180°－2×25°－2×30°＝180°－50°－60°＝70°； ∠5＝180°÷2－60°＝90°－60°＝30°。 18．（25-26四年级上·山东济南·期中）如图是一张长方形纸片折叠后的图形，其中∠1＝70°，∠2是多少度？ 【答案】145° 【思路引导】如图：，把和∠2重叠的原角标注为∠3；由折叠可知，∠2＝∠3，且∠1、∠2、∠3组成了一个周角，即∠1＋∠2＋∠3＝360°，据此解答。 【规范解答】（360°－70°）÷2 ＝290°÷2 ＝145° 答：∠2是145°。 19．（26-27四年级上·全国·期中）台球中的数学知识。 小明最喜欢台球运动，他发现台球选手打球时，当球撞向桌边（库边）的时候就会向另一个方向弹走，如图。 (1)请量角的度数；( )，( )，( )，( )； (2)结合上面的操作，联系所学的“角的度量”的知识，说说台球撞击库边前后的路线有什么规律？ 【答案】(1) 40° 40° 60° 60° (2)台球撞击库边时，撞击前路线与库边的夹角和撞击后路线与库边的夹角度数相等。（答案不唯一） 【思路引导】图中展示了台球撞击库边的两条路径，每一条撞击库边前的路线与库边形成一个角，弹回后的路线与库边也形成一个角。通过观察示意图可知，这两个角分别分布撞击点两侧。 角的度量： 量角的度数时，把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【规范解答】（1）通过测量得，，，。 （2）观察测量得到的角度关系，可以发现：台球撞击库边时，撞击前的路线与库边形成的夹角，和撞击后的路线与库边形成的夹角大小相等，这就是台球反弹的等角规律。（答案不唯一） 20．（25-26四年级上·山东青岛·期中）如图，明明的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，他想把羽毛球捡到草坪外面。 (1)画出明明从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 (2)画出明明捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。画图的依据是（    ）。 【答案】（1） （2） ；直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。 【思路引导】（1）依据是基础几何结论：两点之间的所有连线里，线段是最短的，所以直接连接A点和羽毛球的位置，得到的线段就是最短路线。 （2）要从草坪内的羽毛球位置走到草坪外，相当于从羽毛球这个点，走到作为草坪边界的长方形边上，符合直线外一点到已知直线的连线中，垂线段长度最短的知识点，所以向最近的草坪边画垂线段就是最短的离开路线。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 2026-2027学年北师大版数学四年级上册单元复习培优讲义「新教材」 第二单元 线与角「期中复习知识清单〈真题汇编讲练〉」 （知识梳理卡片+知识清单+13个重难点考点讲练+实战演练 共59题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】线段、直线、射线的认识及特征 5 【重难点考点二】两点间线段最短与两点间的距离 6 【重难点考点三】垂直的特征 6 【重难点考点四】画垂线 7 【重难点考点五】点到直线的距离 8 【重难点考点六】平行的特征及性质 9 【重难点考点七】画平行线 10 【重难点考点八】平角、周角的认识及特征 11 【重难点考点九】角的大小比较 11 【重难点考点十】角的度量 12 【重难点考点十一】用量角器画角 12 【重难点考点十二】用三角尺画角 13 【重难点考点十三】角度的计算 14 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 知识点一 线的认识 1. 线段 线段是直的，有两个端点，有一定的长度，不能向两端延伸。读作：线段AB（或BA）。 2. 射线 射线是直的，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。读作：射线AB（注意：端点字母必须写在前面）。 3. 直线 直线是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。读作：直线AB（或BA）。 4. 线段、射线、直线的比较 名称 图形特征 端点个数 延伸情况 长度 线段 直的 2个 不能延伸 有限长，可测量 射线 直的 1个 向一个方向无限延伸 无限长，不可测量 直线 直的 0个 向两个方向无限延伸 无限长，不可测量 5. 两点之间线段最短 在连接两点的所有连线中，线段的长度最短。线段AB的长度就是A、B两点之间的距离。 知识点二 相交与垂直 1. 相交 当两条直线有一个公共点时，这两条直线相交。有时候看到的只是一部分，需要延长后才能判断是否相交。 2. 垂直 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 3. 画垂线的方法 可以借助三角板或折纸的方法来画垂线。用三角板画垂线时，要让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画线即可。 4. 垂线段最短 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 知识点三 平移与平行 1. 平移 在方格纸上平移图形时，移动前后，两条线之间的方格数一样多，方向保持一致。 2. 平行 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 3. 画平行线的方法 可以借助方格纸画平行线、用纸折平行线，或者用三角板平移画平行线。用三角板画平行线时，通常借助直尺固定三角板，然后平移三角板来画线。 4. 生活中的平行线 生活中有很多平行的例子，如黑板的上下边缘、斑马线、铁轨等。 知识点四 旋转与角 1. 角的形成 角是由一个顶点和两条边组成的。扇子慢慢打开的过程，就是角通过一条边绕着顶点旋转形成的。 2. 角的分类 根据角的大小，角可以分为五类： 锐角：大于0°且小于90°的角。 - 直角：等于90°的角。 - 钝角：大于90°且小于180°的角。 - 平角：角的两条边在一条直线上，等于180°。 周角：一条边绕着顶点旋转一周所形成的角，等于360°。 3. 各类角的关系 1个周角 = 2个平角 = 4个直角。 4. 生活中的角 钟表上时针和分针在不同时刻会形成不同的角；门框、画框等也包含了各种角。 知识点五 角的度量（一）—认识度数 1. 1度的定义 将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作1°。通常用“度”作为角的度量单位。 2. 周角、平角、直角与度的关系 1周角 = 360° - 1平角 = 180° - 1直角 = 90° 3. 估测角的大小 可以利用1°角作为参照，或者结合直角（90°）、平角（180°）去估一估、量一量角的大小。 知识点六 角的度量（二）—用量角器量角和画角 1. 认识量角器 量角器是把半圆平均分成180份，每份对应的角是1°。量角器上有中心点、零刻度线，以及内圈刻度和外圈刻度。 2. 量角的方法 重合：先将角的顶点和量角器的中心点重合，再把零刻度线与角的一条边重合。 读数：看角的另一条边所对的刻度。如果与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线重合，就读外圈刻度。 3. 画角的方法 用量角器可以画出任意度数的角。步骤与量角类似：先画一条射线，让量角器中心点和零刻度线与射线重合，在对应度数处点一个点，最后连接顶点和这个点。 4. 三角板上的角 一副三角板包含两个特殊的直角三角形： 一个三角板的角分别是：30°、60°、90°。 另一个三角板的角分别是：45°、45°、90°。 5. 用三角板拼角 利用三角板上的角，可以通过相加或相减拼出其他度数的角。例如：60°+45°=105°，45°-30°=15°。 知识点七 单元知识梳理（综合对比表） 1. 线段、射线、直线的异同 比较项目 线段 射线 直线 相同点 都是直的 都是直的 都是直的 端点个数 2个 1个 0个 能否延长 不能 向一端无限延长 向两端无限延长 能否测量 能 不能 不能 2. 各类角的特征汇总 角的名称 度数范围 特征描述 锐角 0° < 锐角 < 90° 比直角小 直角 90° 刚好是90度 钝角 90° < 钝角 < 180° 比直角大，比平角小 平角 180° 两边在一条直线上 周角 360° 旋转一整圈 知识点八 易错点提醒 线的读法：射线的读法有方向性，必须把端点字母写在前面（如射线AB），而线段和直线没有方向限制。 垂直的前提：只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的交叉不能称为垂直。 量角器的读数：量角时极易看错内外圈。一定要看清是与哪一圈的零刻度线重合，就读哪一圈的刻度。 角的分类界限：直角是90°，平角是180°。钝角必须严格大于90°且小于180°，不能等于90°或180°。 距离的概念：点到直线的距离必须是垂直线段的长度，斜线段的长度不是距离。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】线段、直线、射线的认识及特征 【典型例题】（25-26四年级上·山东济南·期中）按要求画图。 (1)画出射线AB。 (2)画出线段BC。 (3)画出直线AC。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·广东东莞·期中）下图中，一共有（   ）条线段。 A．5 B．10 C．4 【举一反三练习2】（25-26四年级上·重庆秀山·期末）“有始有终”本义是指做事有开头也有结尾，能坚持到底，不半途而废。在数学上可以用这个成语来形容（    ）。 A．角 B．直线 C．射线 D．线段 【重难点考点二】两点间线段最短与两点间的距离 【典型例题】（23-24四年级上·山东聊城·期中）在一次救生演习中，卫生员走第( )条路就能在最短的时间内赶到病人身边。 【举一反三练习1】（24-25四年级上·山东潍坊·期中）从小云家到电影院有3条路，走哪一条最近？为什么？ 【举一反三练习2】（23-24四年级上·吉林长春·期中）为便于农副产品的运输，要从大桥村要修一条最近的路到新花村，再从新花村修一条最近的路到国道，你认为怎样设计最近？画一画。 【重难点考点三】垂直的特征 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）如图。 (1)画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是：___________________________________ (2)画出从王庄到小河的最短路线。 依据是：__________________________________________________ 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中）如图，线段( )的长度就是点A到直线l的距离。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东德州·期中） (1)明明家想修一条家到菜地的路，怎样修最近？请在图中画出来，你这样修的理由是：（    ）。 (2)要从河边修一条水渠到菜地，怎样修最短？请在图中画出来，你这样修的理由是：（    ）。 【重难点考点四】画垂线 【典型例题】（26-27四年级上·全国·期中）过D点分别画出直线AB、AC的垂线。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东潍坊·期中） (1)请你画出从图书馆到超市最近的路。我这样画的理由：________________。 (2)请你画出从图书馆到公路最近的路，并在下面的横线上说明这样画的理由。我的理由是：__________________________________________________。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·广东茂名·期中） 29． (1)画出从公园到超市最近的路。 (2)画出从超市到商业街最近的路。 【重难点考点五】点到直线的距离 【典型例题】（25-26四年级上·山东德州·期中）李芳家通往五一大街有4条路线（如图），长度分别约是：900米、1千米、1千米800米和2000米。根据图可以判断B路线的长度是（    ）。 A．900米 B．1千米 C．1千米800米 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）（1）画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是：______________。 （2）画出从王庄到小河的最短路线。 依据是：______________。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东德州·期中）周末到了，小亮想帮爷爷给菜园浇水，他有两种选择，可以到水井打水，也可以到河边打水，请你帮他分别画出两种打水的最近路线。 【重难点考点六】平行的特征及性质 【典型例题】（26-27四年级上·全国·期中）学校墙上的安全疏散标识牌松动了（如图），怎样才能摆正？请写出具体的方法。 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·期中）如图所示这组平行线中，分别过点A、B、C、D向另一条直线画垂直线段。 （1）这几条垂直线段的长度都（    ）。 （2）在两条平行线之间，所有（    ）的长度都相等。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东菏泽·阶段检测）下图中，，量一量这6个角的度数。 ＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°，＝（    ）°。 （1）你发现和的大小有何关系？ （2）你发现和的大小有何关系？ （3）你发现和的大小有何关系？和的大小有何关系？ 【重难点考点七】画平行线 【典型例题】（26-27四年级上·全国·期中）经过点O画已知直线的平行线。 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·期中） (1)过点A画已知直线l的垂线，垂足记作点C。点A到已知直线的距离是（ ）厘米。 (2)过B点画AC的平行线BD，直线BD与直线l互相（ ），点A到直线BD的距离是（ ）毫米。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·广东茂名·期中）按要求操作。（下图） (1)在公路上设一个离商场最近的公交站，设在哪里最合适？画一画。 (2)经过商场修一条与街道平行的公路，请画出这条公路。 【重难点考点八】平角、周角的认识及特征 【典型例题】（25-26四年级上·山东德州·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．平角是一条直线。 B．同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。 C．9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是直角。 D．过直线外一点可以画无数条已知直线的平行线。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·湖北黄冈·期中）如图，下面线段表示0°到360°。 (1)请在线段上标出直角、平角的相应位置。 (2)点A表示( )角，点B表示( )角，请分别写出你判断的依据。依据是：( )。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·福建福州·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．用一个钝角减去一个锐角，得到的角一定是锐角。 B．周角是一条射线，平角是一条直线。 C．把一个30°的角用放大镜放大5倍，则看到的是一个150°的角。 D．大于90°小于180°的角称为钝角。 【重难点考点九】角的大小比较 【典型例题】（25-26四年级上·山东德州·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．角的大小与边的长短有关 B．直线比射线长 C．在2倍的放大镜下看30°的角还是30° D．过一点只能画一条直线 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ）个。 ①周角是一条射线  ②平角的两条边在同一条直线上  ③钝角的一半一定是锐角  ④锐角＜钝角＜直角＜平角＜周角 A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练习2】（25-26三年级下·山西大同·阶段检测）下面钟面上时针和分针所形成的角各是什么角？填一填。 ( )角      ( )角   ( )角      ( )角    ( )角 再将上面各角按从大到小的顺序排列：( )。 【重难点考点十】角的度量 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）以A为顶点画一个30°的角，以B为顶点画一个60°的角，并组成一个三角形ABC。量出第三个角的度数，且过C点作一条线使它与AB平行，过C点作AB的垂线，垂足为D。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中）画一画，量一量。 (1)画射线，量出的度数是______°。 (2)过点M画线段AB的垂线。 (3)以点B为角的顶点，以线段BA为角的一条边画一个125°的角。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东济南·期中）磨损的量角器也能量出一些角的度数。如图，∠1是（    ）。 A．25° B．30° C．35° 【重难点考点十一】用量角器画角 【典型例题】（25-26四年级上·山东青岛·期中）按要求画一画。 (1)以线段AB为边，以A点为顶点画一个120°的角，并标记角的度数。 (2)过P点作线段AB的平行线。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东青岛·期中）以A点为顶点画一个75度的角。过B点分别画出已知直线的垂线和平行线。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·山东德州·期中）画一个135°的角，同学们想到了不同的方法，正确的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【重难点考点十二】用三角尺画角 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中）乐乐用了以下四种方法画150°角，这些方法中不能画出150°角的是（ ）。 A． B． C． D． 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中）如图，沿着一条直线摆了一副三角板，想一想，∠1的度数是（    ）。 A．30° B．40° C．45° D．55° 【举一反三练习2】（23-24四年级上·江苏盐城·期末）如图，量角器测量的∠1＝( )°；一副三角板拼成的∠2＝( )°；用正方形纸剪出的∠3＝( )°。 【重难点考点十三】角度的计算 【典型例题】（25-26四年级上·福建泉州·期中）击剑运动是一项历史悠久的传统体育项目，奇思在看一场奥运会击剑比赛的时候，观察到运动员击剑时形成了如下的图形。如果，请你求出、和的度数。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·浙江杭州·期中）如图所示，用破损的量角器测量角的度数，∠1是（    ）。 A．85° B．30° C．115° D．25° 【举一反三练习2】（25-26四年级上·福建福州·期中）下图是一个长方形和一个正方形重叠在一起，如果∠1＋∠2＋∠3＝130°，那么∠3＝( )°。 模块四 优选真题 实战演练 1．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）不能用一副三角板拼出来的角是（ ）。 A．20° B．75° C．120° 2．（25-26四年级上·山东淄博·期中）把一个正方形对折分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．60°和30° B．45°和45° C．60°和60° 3．（25-26四年级上·山东青岛·期中）用一副三角板拼出了三个角（如下图），其中两个角的度数之和是120°的是（    ）。 A．∠1 B．∠2 C．∠3 4．（25-26四年级上·山东临沂·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．如果一个数含有三级，那么这个数可能是九位数 B．射线的长度是直线的一半 C．9时30分，钟面上时针和分针所组成的较小角是90° D．如果因数中间有0，那么积的中间一定也有0 5．（25-26四年级上·云南楚雄·期中）单元知识复习时，小华整理了“角的度量”这部分知识如下： ①1个周角＝2个平角＝4个直角  ②射线只有一个端点，周角就是一条射线  ③过一点可以画出无数条直线，过两点只能画出一条直线  ④把半圆平均分成180等份，每份所对的角的大小是。 以上整理的这些知识正确的有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 6．（25-26四年级上·山东青岛·期中）将一张圆形纸片连续对折三次后，∠1的度数是( )°。 7．（26-27四年级上·全国·期中）在“E、F、G、H、L、T、N”这几个字母中，既含有互相平行的线段，又含有互相垂直的线段的有( )个。 8．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）如图，把一张长方形纸沿BE折叠，如果∠2＝28°，∠1＝( )°。 9．（25-26四年级上·山东日照·期中）2时整，时针和分针形成的较小角的度数是( )，再经过20分钟，分针走过的角的度数是( )。 10．（22-23四年级上·河北张家口·期末）如下图，∠1＝( )°，直线a与直线d互相( )，直线c与直线d互相( )。 11．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）在同一平面内有4个点，且4个点不在同一条直线上，过其中的两点作线段，一共可以作4条。( )（判断对错） 12．（25-26四年级上·山东潍坊·期中）将一张正方形纸对折两次，得到的折痕所在直线的位置关系一定互相平行。( )（判断对错） 13．（25-26三年级上·陕西西安·阶段检测）在平角、钝角、直角、锐角中，钝角最大。( )（判断对错） 14．（25-26四年级上·广东汕头·期中）计算下面各角的度数。 已知∠1＝38°，求∠2、∠3和∠4的度数。 15．（25-26四年级上·广东广州·期中）下图是小林将一张长方形纸折起来后的图形。已知∠1＝54°，求出∠2的度数。 16．（26-27四年级上·四川内江·期中）如图，将一张长方形纸向上翻折，∠1＝55°，求∠3的度数。 17．（25-26四年级上·山东济南·期中）一张长方形纸片折叠后如图所示，已知，，，那么和的度数分别是多少？ 18．（25-26四年级上·山东济南·期中）如图是一张长方形纸片折叠后的图形，其中∠1＝70°，∠2是多少度？ 19．（26-27四年级上·全国·期中）台球中的数学知识。 小明最喜欢台球运动，他发现台球选手打球时，当球撞向桌边（库边）的时候就会向另一个方向弹走，如图。 (1)请量角的度数；( )，( )，( )，( )； (2)结合上面的操作，联系所学的“角的度量”的知识，说说台球撞击库边前后的路线有什么规律？ 20．（25-26四年级上·山东青岛·期中）如图，明明的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，他想把羽毛球捡到草坪外面。 (1)画出明明从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 (2)画出明明捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。画图的依据是（    ）。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学四年级上册单元复习培优讲义「新教材」 第二单元线与角「期中复习知识清单（真题汇编讲练）」 (知识梳理卡片+知识清单+13个重难点考点讲练+实战演练共59题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】线段、直线、射线的认识及特征.， ........5 【重难点考点二】两点间线段最短与两点间的距离 【重难点考点三】垂直的特征....· ··..6 【重难点考点四】画垂线....... .7 【重难点考点五】点到直线的距离. 【重难点考点六】平行的特征及性质.· ·.9 【重难点考点七】画平行线. ..10 【重难点考点八】平角、周角的认识及特征 …..11 【重难点考点九】角的大小比较...· .....11 【重难点考点十】角的度量.... ....12 【重难点考点十一】用量角器画角...， ….12 【重难点考点十二】用三角尺画角. .13 【重难点考点十三】角度的计算.… …….14 第1页共18页 模块一 知识梳理导图指引 一、线的认识 四、旋转与角 1,认识线 1.旋转 线段有两个娘点。有长度： 物体绕着一个点或转，位置爱生变化。大小和形状不变。 射战有一个端点。向一个方向无限延神 线与角是几例 直线没有端点，向两个方向无限延伸 形的基础， 握知识，解决实 际问题！ 2.认识角 3角的分类 角有一个雨点和两条边 线段 时 直线 边 饱角 2.表示方法 线段AB(成A 射线B方 直线AB《或BA) 五、角的度量 二、相交与垂直 1.度量工具：最角器（中心点。零刻度钱） 一中心点 1相交 2.垂直 3.垂直的画法 第二单元 只有一个一平面内相之 两条直线在同 西条直蜂相交成直角时 ①过直线上一点面原线 这两条直线互相垂直 线与角 一零刻度线 2.量角的方法 ①中心点与角的顶点重合，零刻度线与角的一边重合。 ②看角的另一边所对的刻度。 团过直线外一友气垂线 期中复习知识清单 3.角的表示：用“∠”表示，如∠1.∠2. 4.角的换醇 4垂线的性质 0 1周角=360 1学角=180 1直角=90 直线外一点与直线上各点莲接的所有线段中。 垂线段最蝇。 线段最短 5。画角的方法：用量角器撕指定度数的角。 ①一条射战 4 三、平移与平行 六、三角板的应用 七、解决何题小妙招 1.平移 2.平行线的认识 1.三角板的角 物体成淘老在平面内沿 一个三角板： 直线方向移动，不改变 在同一平南内，不相冷 的两条直线互相平行。 ∠1-30，∠2=60 大小和形状的位置变化 角板 血找规律法：通过观察，发现规棒，快速解决 八、易错点拨 2.拼角与前角 拼角：个三角板可以拼出 2△ 画法：用直尺和三角板一组平行钱 3.量角时，中心点与顶点必须重合，读数要看对朝度 解题技巧 ①先马固。理清测意， ②找到头联如过点，选捧合造方法。 ③步骤清南。书写规范 ④检查答案，验证结果， 模块二 知识清单温故知新 知识点一线的认识 1.线段线段是直的，有两个端点，有一定的长度，不能向两端延伸。读作：线段AB(或BA)。 2.射线射线是直的，只有一个端点，可以向一个方向无限延伸。读作：射线B（注意：端点字母必 须写在前面)。 3.直线直线是直的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。读作：直线AB(或BA)。 4.线段、射线、直线的比较 名称图形特征端点个数 延伸情况 长度 线段直的 2个 不能延伸 有限长，可测量 射线直的 1个 向一个方向无限延伸无限长，不可测量 直线直的 0个 向两个方向无限延伸无限长，不可测量 5.两点之间线段最短在连接两点的所有连线中，线段的长度最短。线段AB的长度就是A、B两点之 第2页共18页 间的距离。 知识点二相交与垂直 1.相交当两条直线有一个公共点时，这两条直线相交。有时候看到的只是一部分，需要延长后才能 判断是否相交。 2.垂直当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们 的交点叫作垂足。 3.画垂线的方法可以借助三角板或折纸的方法来画垂线。用三角板画垂线时，要让三角板的一条直 角边与已知直线重合，沿着另一条直角边画线即可。 4.垂线段最短从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 知识点三平移与平行 1.平移在方格纸上平移图形时，移动前后，两条线之间的方格数一样多，方向保持一致。 2.平行在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 3.画平行线的方法可以借助方格纸画平行线、用纸折平行线，或者用三角板平移画平行线。用三角 板画平行线时，通常借助直尺固定三角板，然后平移三角板来画线。 4.生活中的平行线生活中有很多平行的例子，如黑板的上下边缘、斑马线、铁轨等。 知识点四旋转与角 1.角的形成角是由一个顶点和两条边组成的。扇子慢慢打开的过程，就是角通过一条边绕着顶点旋 转形成的。 2.角的分类根据角的大小，角可以分为五类： 锐角：大于0°且小于90°的角。-直角：等于90°的角。-钝角：大于90°且小于180°的角。 平角：角的两条边在一条直线上，等于180°。 周角：一条边绕着顶点旋转一周所形成的角，等于360°。 3.各类角的关系1个周角=2个平角=4个直角。 4.生活中的角钟表上时针和分针在不同时刻会形成不同的角；门框、画框等也包含了各种角。 知识点五角的度量（一）一认识度数 1.1度的定义将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫作1度，记作1°。通常用“度” 作为角的度量单位。 2.周角、平角、直角与度的关系 1周角=360°-1平角=180°-1直角=90° 第3页共18页 3.估测角的大小可以利用1°角作为参照，或者结合直角(90°)、平角(180°)去估一估、量一 量角的大小。 知识点六角的度量（二）一用量角器量角和画角 1.认识量角器量角器是把半圆平均分成180份，每份对应的角是1°。量角器上有中心点、零刻度线， 以及内圈刻度和外圈刻度。 2.量角的方法 重合：先将角的顶点和量角器的中心点重合，再把零刻度线与角的一条边重合。 读数：看角的另一条边所对的刻度。如果与内圈零刻度线重合，就读内圈刻度；如果与外圈零刻度线 重合，就读外圈刻度。 3.画角的方法用量角器可以画出任意度数的角。步骤与量角类似：先画一条射线，让量角器中心点 和零刻度线与射线重合，在对应度数处点一个点，最后连接顶点和这个点。 4.三角板上的角一副三角板包含两个特殊的直角三角形： 一个三角板的角分别是：30°、60°、90°。 另一个三角板的角分别是：45°、45°、90°。 5.用三角板拼角利用三角板上的角，可以通过相加或相减拼出其他度数的角。例如：60°+45°=105°， 45°-30°=15°0 知识点七单元知识梳理（综合对比表） 1.线段、射线、直线的异同 比较项目线段 射线 直线 相同点 都是直的 都是直的 都是直的 端点个数2个 1个 0个 能否延长不能 向一端无限延长 向两端无限延长 能否测量能 不能 不能 2.各类角的特征汇总 角的名称度数范围 特征描述 锐角 0°<锐角<90° 比直角小 直角 909 刚好是90度 钝角 90°<钝角<180 比直角大，比平角小 平角 180° 两边在一条直线上 第4页共18页 角的名称度数范围 特征描述 周角 360° 旋转一整圈 知识点八易错点提醒 线的读法：射线的读法有方向性，必须把端点字母写在前面（如射线AB)，而线段和直线没有方向限 制。 垂直的前提：只有当两条直线相交成直角时，才叫互相垂直。普通的交叉不能称为垂直。 量角器的读数：量角时极易看错内外圈。一定要看清是与哪一圈的零刻度线重合，就读哪一圈的刻度。 角的分类界限：直角是90°，平角是180°。钝角必须严格大于90°且小于180°，不能等于90°或 180°。 距离的概念：点到直线的距离必须是垂直线段的长度，斜线段的长度不是距离。 模块三 重难点讲练能力提升 【重难点考点一】线段、直线、射线的认识及特征 【典型例题】(25-26四年级上·山东济南·期中)按要求画图。 C B A (1)画出射线AB。 (2)画出线段BC。 (3)画出直线AC。 【举一反三练习1】(25-26四年级上·广东东莞·期中)下图中，一共有()条线段。 AB C D A.5 B.10 C.4 【举一反三练习2】(25-26四年级上·重庆秀山·期末)“有始有终”本义是指做事有开头也有结尾，能 坚持到底，不半途而废。在数学上可以用这个成语来形容( )。 A.角 B.直线 C.射线 D.线段 第5页共18页 【重难点考点二】两点间线段最短与两点间的距离 【典型例题】(23-24四年级上·山东聊城·期中)在一次救生演习中，卫生员走第( )条路就能在最 短的时间内赶到病人身边。 ① ② 卫生员 病人 ③ 【举一反三练习1】（24-25四年级上·山东潍坊·期中)从小云家到电影院有3条路，走哪一条最近？为 什么？ 游泳馆 ① ② 小云家 ③ 电影院 商场 【举一反三练习2】(23-24四年级上·吉林长春·期中)为便于农副产品的运输，要从大桥村要修一条最 近的路到新花村，再从新花村修一条最近的路到国道，你认为怎样设计最近？画一画。 新花村 ·大桥村 国 道 【重难点考点三】垂直的特征 【典型例题】(25-26四年级上·山东枣庄·期中)如图。 李庄· 推 (1)画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是： 第6页共18页 (2)画出从王庄到小河的最短路线。 依据是： 【举一反三练习1】(25-26四年级上·山东德州·期中)如图，线段( )的长度就是点A到直线1 的距离。 B CD 【举一反三练习2】(25-26四年级上·山东德州·期中) 小河 ● 菜地 ● 明明家 (1)明明家想修一条家到菜地的路，怎样修最近？请在图中画出来，你这样修的理由是：( (2)要从河边修一条水渠到菜地，怎样修最短？请在图中画出来，你这样修的理由是：( )。 【重难点考点四】画垂线 【典型例题】(26-27四年级上·全国·期中)过D点分别画出直线AB、AC的垂线。 -B D 【举一反三练习1】(25-26四年级上·山东潍坊·期中) 公 ●超市 路 ●图书馆 (1)请你画出从图书馆到超市最近的路。我这样画的理由： (②)请你画出从图书馆到公路最近的路，并在下面的横线上说明这样画的理由。我的理由是： 第7页共18页 【举一反三练习2】(25-26四年级上·广东茂名·期中) ·公园 商业街 ·超市 29. (1)画出从公园到超市最近的路。 (2)画出从超市到商业街最近的路。 【重难点考点五】点到直线的距离 【典型例题】(25-26四年级上·山东德州·期中)李芳家通往五一大街有4条路线（如图），长度分别约 是：900米、1千米、1千米800米和2000米。根据图可以判断B路线的长度是( ）。 五一大街 李芳家 A.900米 B.1千米 C.1千米800米 【举一反三练习1】(25-26四年级上·山东枣庄·期中)(1)画出从李庄到王庄最近的路线。 依据是： 小河心 ·王庄 ·李庄 (2)画出从王庄到小河的最短路线。 依据是： 【举一反三练习2】(25-26四年级上·山东德州·期中)周末到了，小亮想帮爷爷给菜园浇水，他有两种 选择，可以到水井打水，也可以到河边打水，请你帮他分别画出两种打水的最近路线。 第8页共18页 【重难点考点六】平行的特征及性质 【典型例题】(26-27四年级上·全国·期中)学校墙上的安全疏散标识牌松动了（如图），怎样才能摆正？ 请写出具体的方法。 ← 安全出口 EXIT 77777777777777 【举一反三练习1】(26-27四年级上·全国·期中)如图所示这组平行线中，分别过点A、B、C、D向另 一条直线画垂直线段。 A B C D (1)这几条垂直线段的长度都( )。 (2)在两条平行线之间，所有( )的长度都相等。 【举一反三练习2】(25-26四年级上·山东菏泽·阶段检测)下图中，a/b,量一量这6个角的度数。 3 1 )°，∠2=( )°，∠3=( )°，∠4=( )°，∠5=( ）°， 第9页共18页 ∠6=( (1)你发现∠1和∠3的大小有何关系？ (2)你发现∠4和∠5的大小有何关系？ (3)你发现∠1和∠6的大小有何关系？∠2和∠4的大小有何关系？ 【重难点考点七】画平行线 【典型例题】(26-27四年级上·全国·期中)经过点0画已知直线的平行线。 .0 0 【举一反三练习1】(26-27四年级上·全国·期中) A (1)过点A画己知直线1的垂线，垂足记作点C。点A到已知直线的距离是()厘米。 (2)过B点画AC的平行线BD,直线BD与直线1互相()，点A到直线BD的距离是()毫米。 【举一反三练习2】（25-26四年级上·广东茂名·期中)按要求操作。（下图） 商场 街道 小区 公路 (1)在公路上设一个离商场最近的公交站，设在哪里最合适？画一画。 (2)经过商场修一条与街道平行的公路，请画出这条公路。 第10页共18页 【重难点考点八】平角、周角的认识及特征 【典型例题】(25-26四年级上·山东德州·期中)下面说法正确的是（ A.平角是一条直线。 B.同一平面内，两条直线的位置关系不是平行就是相交。 C.9时30分，钟面上时针与分针形成的较小角是直角。 D.过直线外一点可以画无数条己知直线的平行线。 【举一反三练习1】(25-26四年级上·湖北黄冈·期中)如图，下面线段表示0°到360°。 周角 0B十1 360 (1)请在线段上标出直角、平角的相应位置。 (2)点A表示( )角，点B表示( )角，请分别写出你判断的依据。依据是：()。 【举一反三练习2】(25-26四年级上·福建福州·期中)下面说法正确的是( )。 A.用一个钝角减去一个锐角，得到的角一定是锐角。 B.周角是一条射线，平角是一条直线。 C.把一个30°的角用放大镜放大5倍，则看到的是一个150°的角。 D.大于90°小于180°的角称为钝角。 【重难点考点九】角的大小比较 【典型例题】(25-26四年级上·山东德州·期中)下列说法正确的是（ ）。 A.角的大小与边的长短有关 B.直线比射线长 C.在2倍的放大镜下看30°的角还是30°D.过一点只能画一条直线 【举一反三练习1】（26-27四年级上·全国·课后作业)下列说法正确的有( )个。 ①周角是一条射线 ②平角的两条边在同一条直线上③钝角的一半一定是锐角 ④锐角<钝角< 直角<平角<周角 A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三练习2】(25-26三年级下·山西大同·阶段检测)下面钟面上时针和分针所形成的角各是什么 角？填一填。 TTTm 10 23 3 8 第11页共18页 （)角 )角 （)角 ()角 ()角 再将上面各角按从大到小的顺序排列：()。 【重难点考点十】角的度量 【典型例题】(25-26四年级上·山东枣庄·期中)以A为顶点画一个30°的角，以B为顶点画一个60 的角，并组成一个三角形ABC。量出第三个角的度数，且过C点作一条线使它与AB平行，过C点作AB的垂 线，垂足为D。 B 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东德州·期中)画一画，量一量。 M A B (1)画射线AM,量出∠MAB的度数是 (2)过点M画线段AB的垂线。 (3)以点B为角的顶点，以线段BA为角的一条边画一个125°的角。 【举一反三练习2】(25-26四年级上·山东济南·期中)磨损的量角器也能量出一些角的度数。如图，∠ 1是( )。 之783置0是D夏之0 7010140130120110100807060 6 A.25° B.30° C.35 【重难点考点十一】用量角器画角 【典型例题】(25-26四年级上·山东青岛·期中)按要求画一画。 第12页共18页 。p A B (1)以线段AB为边，以A点为顶点画一个120°的角，并标记角的度数。 (2)过P点作线段AB的平行线。 【举一反三练习1】（25-26四年级上·山东青岛·期中)以A点为项点画一个75度的角。过B点分别画 出己知直线的垂线和平行线。 ● A B 【举一反三练习2】(25-26四年级上·山东德州·期中)画一个135°的角，同学们想到了不同的方法， 正确的有( )种。 ① 对折 裂 ③ 4 3次 开 135 A.1 B.2 C.3 D.4 【重难点考点十二】用三角尺画角 【典型例题】（25-26四年级上·山东枣庄·期中)乐乐用了以下四种方法画150°角，这些方法中不能画 出150°角的是()。 A. 【举一反三练习1】(25-26四年级上·山东德州·期中)如图，沿着一条直线摆了一副三角板，想一想， ∠1的度数是( ）。 第13页共18页 A.30% B.40° C.45 D.55 【举一反三练习2】(23-24四年级上·江苏盐城·期末)如图，量角器测量的∠1=( )°；一副三 角板拼成的∠2=( )°：用正方形纸剪出的∠3=( )°。 100 30 【重难点考点十三】角度的计算 【典型例题】(25-26四年级上·福建泉州·期中)击剑运动是一项历史悠久的传统体育项目，奇思在看一 场奥运会击剑比赛的时候，观察到运动员击剑时形成了如下的图形。如果∠1=40°，请你求出∠2、3和 ∠4的度数。 【举一反三练习1】(25-26四年级上·浙江杭州·期中)如图所示，用破损的量角器测量角的度数，∠1 是( )。 13012010 8 串 3 s OEI OZI A.85° B.30° C.115° D.25° 第14页共18页 【举一反三练习2】（25-26四年级上·福建福州·期中)下图是一个长方形和一个正方形重叠在一起，如 果∠1+∠2+∠3=130°，那么∠3=()°。 模块四 优选真题实战演练 1. (25-26四年级上·山东潍坊·期中)不能用一副三角板拼出来的角是()。 A.20° B.75 C.120° 2.(25-26四年级上·山东淄博·期中)把一个正方形对折分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的 两个锐角分别是( )。 A.60°和30° B.45°和45 C.60°和609 3.(25-26四年级上·山东青岛·期中)用一副三角板拼出了三个角（如下图），其中两个角的度数之和 是120°的是( A.∠1 B.∠2 C.∠3 4.(25-26四年级上·山东临沂·期中)下列说法正确的是( )。 A.如果一个数含有三级，那么这个数可能是九位数 B.射线的长度是直线的一半 C.9时30分，钟面上时针和分针所组成的较小角是90° D.如果因数中间有0，那么积的中间一定也有0 5.(25-26四年级上·云南楚雄·期中)单元知识复习时，小华整理了“角的度量”这部分知识如下： ①1个周角=2个平角=4个直角②射线只有一个端点，周角就是一条射线 ③过一点可以画出无数 条直线，过两点只能画出一条直线 ④把半圆平均分成180等份，每份所对的角的大小是1°。 以上整理的这些知识正确的有( )个。 A.4 B.3 C.2 第15页共18页 6.（25-26四年级上·山东青岛·期中)将一张圆形纸片连续对折三次后，∠1的度数是()°。 → 7.(26-27四年级上·全国·期中)在“E、F、G、H、L、T、N”这几个字母中，既含有互相平行的线段， 又含有互相垂直的线段的有( )个。 8.(25-26四年级上山东潍坊期中)如图，把一张长方形纸沿BE折叠，如果∠2=28°，∠1=( ）°。 D B C 9.(25-26四年级上·山东日照·期中)2时整，时针和分针形成的较小角的度数是( ),再经 过20分钟，分针走过的角的度数是( ) 10.(22-23四年级上·河北张家口·期末)如下图，∠1=（)°，直线a与直线d互相( 直线c与直线d互相( )。 a 65° 11.(25-26四年级上·山东潍坊·期中)在同一平面内有4个点，且4个点不在同一条直线上，过其中的 两点作线段，一共可以作4条。（）（判断对错） 12.(25-26四年级上·山东潍坊·期中)将一张正方形纸对折两次，得到的折痕所在直线的位置关系一定 互相平行。（）（判断对错） 13.(25-26三年级上·陕西西安·阶段检测)在平角、钝角、直角、锐角中，钝角最大。()（判断 对错) 14.(25-26四年级上·广东汕头·期中)计算下面各角的度数。 第16页共18页 已知∠1=38°，求∠2、∠3和∠4的度数。 15.(25-26四年级上·广东广州·期中)下图是小林将一张长方形纸折起来后的图形。己知∠1=54°， 求出∠2的度数。 可以拿长方形纸来折一折 2 16.(26-27四年级上·四川内江·期中)如图，将一张长方形纸向上翻折，∠1=55°，求∠3的度数。 3 2 17.(25-26四年级上·山东济南·期中)一张长方形纸片折叠后如图所示，己知∠1=25°，∠3=30°， ∠4=60°，那么∠2和∠5的度数分别是多少？ 18.(25-26四年级上·山东济南·期中)如图是一张长方形纸片折叠后的图形，其中∠1=70°，∠2是 多少度？ 第17页共18页 19.(26-27四年级上·全国·期中)台球中的数学知识。 小明最喜欢台球运动，他发现台球选手打球时，当球撞向桌边（库边）的时候就会向另一个方向弹走，如 图。 撞击前的路线 撞击后的路线 撞击前的路线 库边 A 2 4 撞击后的路线 说明：库边即是台球桌的边 库边 (1)请量角的度数：∠1=( ),∠2=( ),∠3=( ),∠4=( )； (②)结合上面的操作，联系所学的“角的度量”的知识，说说台球撞击库边前后的路线有什么规律？ 20.(25-26四年级上·山东青岛·期中)如图，明明的羽毛球不小心落到长方形草坪上了，他想把羽毛球 捡到草坪外面。 羽毛球。 A (1)画出明明从A点出发去捡羽毛球的最短路线。 (2)画出明明捡到羽毛球后，离开草坪的最短路线。画图的依据是( )。 第18页共18页