5.3二次函数的应用第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 第1课时 学 习 目 标 1.在实际问题背景中体会确定二次函数表达式所需要的条件，会用待定系数法确定二次函数的表达式；(重点) 2.能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的性质解决最值问题；(重点) 3.会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式.（难点） 二次函数y＝a(x-h)2+k的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 . 1.y＝a(x-h)2+k (a ≠0)的图象与性质 2.y=ax2+bx+c (a ≠0)的图象与性质 二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴是 ，顶点坐标是 . 直线x=h 知识回顾 （h，k） 直线x= () 情境引入 2.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要几个独立的条件？ 2个 3.如果要确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式，通常又需要几个条件？本节课开始我们就来探究这个问题。 1.求一次函数解析式的方法是什么？ 待定系数法. 问题：一名学生推铅球时，铅球运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系如图所示，其中(4，3)是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗? 新知探究 探究一：确定二次函数表达式 分析：因为y是x的二次函数，且已知顶点坐标，因此可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，又因为图象过点（10，0），所以将其代入表达式即可求出待定系数a. 新知探究 解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数表达式为y＝a(x－4)2+3. 把点(10，0)的坐标代入y＝a(x－4)2+3，解得a＝－， ∴铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝－(x－4)2+3. 新知探究 顶点法求二次函数表达式： 知识归纳 这种已知抛物线的顶点坐标(或对称轴方程或最值)，求表达式的方法叫作顶点式法. 其步骤是： ①设函数表达式为 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) ； ②代入顶点坐标，得到关于a的方程或方程组； ③将另一点的坐标代入②中的式子求出a值； ④确定函数表达式. 新知探究 1.一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（ ） A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4 C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4 C 例 某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B.已知球出手的位置 A 到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m.建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y＝ax2＋c(－3≤x≤1).求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度. 新知探究 分析：确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可求出. 新知探究 解：由题意可知，抛物线经过点A(－3，2.25)，B(1，3.05).将这两个 点的坐标分别代入表达式y＝ ax2＋c，得 2.25＝9a＋c， 3.05＝a＋c. 解这个方程组得，得 a＝－0.1， c＝3.15. 所以，这条抛物线的表达式为y＝ ax2＋c. 当x＝0时，y取得最大值，y最大＝3.15. 因此，球运动的最大高度是3.15 m. 新知探究 (1)二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2，13)，求这个二次函数的表达式. 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. ∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1， ∴此图象经过点(0,1)，且经过点（2，5）和（-2，13）， ∴由题意，得 解得： ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2-2x+1. 如何设函数表达式呢？ 分析：此题顶点坐标未知，因此可以设一般式y＝ax2+bx+c，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即c＝1，因此只有两个未知系数a和b，又已知两点的坐标，代入即可求出表达式. 新知探究 知识归纳 一般式法求二次函数表达式的方法： 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 新知探究 2.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点，则该抛物线的对称轴是直线( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 B 新知探究 确定二次函数的表达式y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要两个或三个条件.但不同形式的二次函数需要的条件也不同. (2)确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流. 新知探究 知识归纳 不同形式的二次函数表达式的确定条件： (1)形如y＝ax2的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标. (2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标. (3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式. 新知探究 3.已知二次函数y=ax2+bx，当x=1时，y=2;当x=-1时，y=4，则a，b的值分别是( ) A.3,-1 B.3，1 C.-3,1 D.-3，-1 A 新知探究 知识归纳 求二次函数表达式采用的一般方法是 . 待定系数法 求二次函数表达式的方法： (1)设出合适的二次函数表达式形式； (2)把已知条件代入二次函数表达式中，得到关于待定字母系数的方程(组)； (3)解方程(组)，求出待定字母系数的值； (4)把待定字母系数的值代入二次函数的表达式，得出二次函数表达式. 新知探究 探究二：交点法求二次函数关系式（拓展） 如图所示，二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2). 其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得 a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 新知探究 交点法求二次函数表达式的方法： 知识归纳 这种已知抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 新知探究 4.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　)A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2 D 典例分析 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 例1 解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， ∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9. 解得. ∴所求的二次函数的表达式是. 典例分析 抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式. 例2 解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），依题意得: a + b + c = 0 9a+3b+c = 0 4a + 2b + c=-1 ∴所求的函数关系式为y = x2-4x+3. 解得 典例分析 解法二: ∵点（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y = x2-4x+3. 解法三： ∵点（1，0）和（3，0）关于直线x =2对称,所以(2，-1）是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数关系式为：y = a(x-2)2-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=a(3-2)2-1, 解得a=1, ∴ y = (x-2)2-1, 即所求函数关系式为y = x2-4x+3. 巩固练习 1.二次函数的图象如图所示,则它的表达式是(　 　) A.y＝2x2-4x B.y＝-x(x-2) C.y＝-(x-1)2+2 D.y＝-2x2+4x D 2.已知二次函数y=ax2+bx，当x=1时，y=2;当x=-1时，y=4，则a，b的值分别是( ) A.3,-1 B.3，1 C.-3,1 D.-3，-1 A 巩固练习 3.如图所示，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x²+2x+，则水流喷出的最大高度是( ) A. 3 m B. 2.75 m C. 2 m D. 1.75 m B 4.过(－1，0)、(3，0)、(1，2)三点的抛物线的顶点坐标是(　A　) A.(1，2) B.（1，） C.(－1，5) D.（2，） A 巩固练习 6.已知一个二次函数，当x=-3时，函数的最大值为2，且它的图象经过点(1，-14)，则这个二次函数的表达式为 (化为一般形式). y=-x2-6x-7 5.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x轴的一个公共点A的横坐标为－3，则这个函数的表达式为 . y＝2x2＋4x－6 7.如图所示的抛物线的表达式为 . y＝-x2＋x＋2 8.如图所示，某校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，已知篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ． 9.如图所示，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为________m. 巩固练习 y= 4 巩固练习 10.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c, 由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解这个方程组，得，. ∴所求的二次函数的表达式是. 11.如图所示，某运动员站在点O处推铅球时，铅球在点A处出手，点A在点O的正上方，以地面OB为x轴，运动员站立的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知铅球经过的路线满足抛物线y=−x2+x+.(单位：米) (1)铅球出手时的高度OA是多少米？ 巩固练习 解:(1)在y=−x2+x+中，令x=0，则y=， ∴A(0,)， ∴OA=， 答：铅球出手时的高度OA是米． (2)在铅球运动过程中，最高点到地面OB的距离是多少？此时铅球距离运动员的水平距离为多少？ 巩固练习 (2)y=−x2+x+=−(x-3)2+2， 答：在铅球运动过程中，最高点到地面OB的距离是2米，此时铅球距离运动员的水平距离为3米． 课堂小结 二次函数的应用-第1课时 一般式确定二次函数表达式 交点式确定二次函数表达式 一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 顶点式确定二次函数表达式 顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） 作业布置 1.必做题：习题5.3第1，2题。 2.探究性作业：习题5.3第3题。 感谢聆听! $