5.3《二次函数的应用》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的求解，通过体测实心球、投篮等现实情境导入，联系一次函数确定条件的旧知，类比引出二次函数需三个条件，搭建从一次函数到二次函数的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，发展数学眼光（从运动轨迹抽象抛物线模型）和数学思维（对比三种方法适用条件，逻辑推理选择最优解法），通过协作解题、表格总结等方式，帮助学生掌握方法，提升分析能力，教师可借助结构化流程和实例优化教学。

第五章 二次函数 第3课 二次函数的应用 新版北师大数学九年级上册 第1课时 的表达式 学习目标 1.通过分析投篮、推铅球等现实问题,体会求二次函数表达式的必要性,感受数学与生活的紧密联系. 2.通过对不同已知条件下二次函数表达式求解的探究,掌握表达式的三种求法,并能根据条件灵活选择合适的方法. 3.通过对比三种表达式求法的特点,总结求二次函数表达式的一般步骤,提升分析问题和解决问题的能力,体会二次函数作为刻画现实世界变化规律的数学模型的价值. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 问题构建 上周体测,咱们班刚做完《国家学生体质健康标准》里的双手头上前掷实心球（2kg）.我记得当时大家最关心的就一句——“我到底过没过及格线？ 以初三为例,标准里大约男生9.60m是90分档、7.67m是75分（及格档）；女生7.20m是90分档、6.60m是75分（及格档） 思考：实心球脱手之后的运动轨迹是什么线？ 抛物线 为什么练实心球,不只是靠“力气大”,还是个数学问题! 问题构建 问题1:我们已经学习了二次函数的图象和性质,知道二次函数的图象是抛物线.请大家观察课本开头的推铅球问题,铅球的运动路线是抛物线,观察这个图片,说说你找到了哪些和图象性质有关的结论？ 顶点坐标(4,3),与y轴的交点坐标不是很确定，落地点坐标(10,0) 追问1:你发现的这些信息对于解决问题都有怎样的帮助？ 借助已知的点的坐标，我们可以计算出二次函数的表达式，有了表达式可以研究更多的问题，得到更多的精准数据. 情境启航 追问2:回顾我们之前学过的一次函数,确定一个一次函数y=kx+b需要几个条件？为什么？ 需要2个条件,因为一次函数表达式中有2个未知系数k和b,需要2个方程才能解出这两个未知数 追问3:类比一次函数,二次函数的一般形式是y=ax²+bx+c(a≠0)，里面有几个未知系数？那么确定一个二次函数一般需要几个条件呢？ 有3个未知系数a、b、c,所以一般需要3个条件才能确定一个二次函数表达式. 追问4:刚才问题情境中，能准确识别的点只有2个，你能解决表达式的问题吗？你打算怎样做？ 不确定，首先要有表达式 问题构建 问题2:类比一次函数表达式的求法,我们第一步要先设表达式,目前你掌握了几种二次函数表达式的形式？ 一般形式： 其中a≠0 追问1:本题中找到的点(4,3)和(10,0),其中点(4,3)就是顶点,你能自主完成解题过程吗？ 解其中a≠0 代入顶点坐标(4,3)即h=4,k=3得： 把点(10,0)代入得：36a+3=0 ∴a=- ∴ 即 问题构建 追问2:上节课我们学习了二次函数的顶点坐标公式,你能借助这个公式求解吗？ 顶点坐标公式(, ) 解：设 把顶点坐标(4,3)(10,0)代入可得： 解得： 追问3:对比以上两种解法之后，你有怎样的思考？ 问题构建 例1 如图5-6,某球员在罚球线处投篮,球从点A处出手,恰好经过篮圈中心B.已知球出手的位置A到地面的距离为2.25米,到篮圈中心B的水平距离为4米,篮圈中心B到地面的距离为3.05米.建立如图所示的平面直角坐标系后,这位球员所投球的运动路线是抛物线.求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度? 问题3:这个表达式和一般式相比有什么不同？为什么可以写成这种形式？ 这个表达式没有一次项bx,也就是b=0.从图象上看,这个抛物线的对称轴是y轴（x=0），所以一次项系数为0. 问题构建 追问1:题目中告诉我们抛物线经过哪两个点？这两个点的坐标分别是什么？你是根据那句话得到这个信息的？ 球出手的位置A到地面的距离为2.25米 A(-3,2.25) 到篮圈中心B的水平距离为4米,篮圈中心B到地面的距离为3.05米 B(1,3.05) 追问2:要确定表达式中的a和c,我们需要把这两个点的坐标代入表达式,得到关于a和c的方程组.你能写出这个方程组吗？ 追问3:这个方程组的解是多少？ 问题构建 追问4:这条抛物线的表达式是什么？球运动的最大高度是多少？为什么？ 表达式是y=-0.1x²+3.15 因为a=-0.1<0,抛物线开口向下,顶点在(0,3.15),所以当x=0时,y取得最大值3.15，即球运动的最大高度是3.15m. 追问5:在这个问题中,我们只需要2个条件就确定了二次函数的表达式,这和我们之前说的“一般需要3个条件”矛盾吗？为什么？ 不矛盾.因为这个二次函数的形式是特殊的，已经知道b=0,只剩下2个未知系数a和c,所以只需要2个条件. 协作破冰 已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为-2和1,且经过点（0,3），求这个二次函数的表达式.(课本P145页第2题) 问题4:你能从题目中找到几个点的坐标,它们分别是什么？ 三个(-2,0)(1,0)(0,3) 追问1:根据前面的学习经验，你打算怎样计算它的表达式？ 解：设(𝑎≠0) 把点(-2,0)(1,0)(0,3)代入可得： 解得： 协作破冰 追问2:小明注意到题目中的两个点(-2,0)(1,0)比较特殊，他联想到一元二次方程的解的特征，你能猜出来他是怎样想的吗？ 两个点的纵坐标都等于0，即 =0 由此可得这个一元二次方程有两个解 我们可以把二次函数表达式变形为： y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0) 追问3:用上面的方法求解本题,应该如何解决？ 设表达式为y=a(x+2)(x-1)，把点(0,3)代入得3=a(0+2)×(0-1),即3=-2a,解得a= 所以表达式是y= (x+2)(x-1),展开为 教师示范 追问4:小颖画出了函数的图象,并标记了对称轴,她借助顶点式也成功解决了问题,你知道她是怎么做的吗？ 观察图象易得:二次函数的对称轴为直线x= 所以设 代入点(0,3)(1,0)可得方程组 解得： 化简得： 教师示范 追问5:小亮说,不用画图象也可以直接计算出对称轴,你知道他是怎么做的吗？ 二次函数图象是轴对称图形,与x轴两个交点关于对称轴对称,所以对称轴的x的值是两个交点的中点,可以直接计算得出x= 追问6:用这种形式求表达式需要几个条件？分别是什么？ 需要3个条件，其中2个是与x轴的交点坐标，第3个是任意一个其他点的坐标. 问题5:我们现在学习了三种求二次函数表达式的方法：一般式、顶点式、交点式.请大家完成下面的表格,对比三种方法的特点. 巩固拓展 表达式形式 适用条件 未知系数个数 优点 一般式 y=ax²+bx+c 已知任意三个点的坐标 3个a,b,c 适用范围广,是最基本的形式 顶点式y=a(x-h)²+k 已知顶点坐标 (h,k)和另外一个点的坐标 1个a 计算简便,直接体现顶点坐标 交点式y=a(x-x₁)(x-x₂) 已知与x轴的两个交点 (x₁,0),(x₂,0) 和另外一个点的坐标 1个a 计算简便,直接体现与x轴的交点坐标 追问：在解决问题时,我们应该如何选择合适的表达式形式？ 根据已知条件选择最简便的形式.已知顶点用顶点式,已知与x轴交点用交点式,其他情况一般用一般式. 当堂检测 1.已知二次函数的顶点坐标是(2,-1),且经过点(0,3),则这个二次函数的表达式是（ ）A. y=x²-4x+3 B. y=x²-4x-1 C. y=x²+4x+3 D. y=x²+4x-1 A 设顶点式为y=a(x-2)²-1，把(0,3)代入得 3=4a-1，解得a=1 所以表达式是y=(x-2)²-1=x²-4x+3 当堂检测 2.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,0)、(3,0)和(0,6)，则这个二次函数的表达式是______ 设交点式为y=a(x+1)(x-3)， 把(0,6) 代入得6=-3a，解得a=-2 所以表达式是y=-2(x+1)(x-3)=-2x²+4x+6 当堂检测 3.已知二次函数的图象经过点(1,3)、(-1,7) 和(0,4),求这个二次函数的表达式. 解：设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0) 把三个点的坐标代入得： 3=a+b+c 7=a-b+c 4=c 把c=4代入前两个方程： 3=a+b+4→a+b=-1 7=a-b+4→a-b=3 解得a=1，b=-2 所以这个二次函数的表达式是y=x²-2x+4 反思总结 1.本节课我们学习了哪三种求二次函数表达式的方法？每种方法分别适用于什么情况？ 2.求二次函数表达式的一般步骤是什么？在设表达式时，最关键的一步是什么？ 3.通过本节课的学习，你认为在解决实际问题时，建立二次函数模型有什么作用？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第141页 第1,2题 二、素养类作业 对比分析小报告：求二次函数表达式的方法探究 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $