09利用导数求解各类函数的值域讲义-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学讲义围绕“利用导数求解函数值域”构建知识体系，通过解法提示梳理求导、极值点分析、三行表研究单调性、比较端点值的程序化步骤，形成清晰知识框架，突出极值与单调性的内在联系及计算要求这一重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，例题涵盖具体函数（如例1求闭区间值域）、含参数极值（如变式1求a的取值范围）等题型，基础训练到能力提升逐步进阶，培养数学思维的推理与运算能力，帮助不同层次学生掌握方法。教师可据此实施精准教学，学生自主复习有明确路径。

利用导数求解各类函数的值域 解法提示：利用导数研究函数值域的优点是解题程序化且应用范围广，缺点是对于解题者的计算要求较高。一般利用导数研究函数值域的方法为：先对函数求导求出极值点，列出三行表研究函数在各区间的单调性，然后分别列出极大值点与极小值点，与函数的端点值进行比较，较大者即为值域的上限，较小者即为值域的下限. 【例1】1.函数在上的值域为 . 【例2】2.函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例3】3.对于，则的值域为________________ 【变式1】4.已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【变式2】5.已知函数.若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【变式3】6.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______. 基础训练 1．已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 . 2．已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上存在唯一的极大值点，则实数的取值范围为____. 4．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________. 5．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为_____. 6．设的值域为_________. 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数没有极值 B．若，则函数有极值 C．若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是 D．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 8．函数在上的值域为________． 能力提升 9．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______. 10．已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______. 11．已知，，若存在实数，正实数满足，则的最大值为______． 12．函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数求解各类函数的值域 解法提示：利用导数研究函数值域的优点是解题程序化且应用范围广，缺点是对于解题者的计算要求较高。一般利用导数研究函数值域的方法为：先对函数求导求出极值点，列出三行表研究函数在各区间的单调性，然后分别列出极大值点与极小值点，与函数的端点值进行比较，较大者即为值域的上限，较小者即为值域的下限. 【例1】1.函数在上的值域为 . 【例2】2.函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例3】3.对于，则的值域为________________ 【变式1】4.已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【变式2】5.已知函数.若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【变式3】6.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______. 基础训练 1．已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 . 2．已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上存在唯一的极大值点，则实数的取值范围为____. 4．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________. 5．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为_____. 6．设的值域为_________. 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数没有极值 B．若，则函数有极值 C．若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是 D．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 8．函数在上的值域为________． 能力提升 9．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______. 10．已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______. 11．已知，，若存在实数，正实数满足，则的最大值为______． 12．函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 《利用导数求解各类函数的值域》参考答案 1. 【详解】∵在定义域上， ∴， 令，解得或； 当时，，为减函数； ∴； 又因为， 所以在定义域上值域为 2.A 【解析】求导判断函数在为单调增函数，计算求值即可得出结果. 【详解】， 当时，， ∴是上的增函数． ∴的最大值为， 的最小值为． ∴的值域为． 【点睛】本题考查导数求解三角函数最值中的应用，考查计算能力，属于中档题. 3. 【分析】利用导数研究单调性以及极值点，然后根据函数的极值点与单调性得到的值域 【详解】令， 因为，， 因为在单调增，得到，解得 当，，在单调增. 当，，在单调减. 又因为， 所以的值域为. 4. 【分析】解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 5 【分析】分离参数，将原问题等价变形为当时，“”恒成立，构造函数，，利用导数求出它的最大值即可得解. 【详解】当时，“”恒成立等价于当时，“”恒成立， 令，，则，. 当时，，所以在区间上单调递减. 当时，，所以在区间上单调递增. 而，， 所以在区间上的最大值为. 所以当时，对于任意，都有. 综上所述，满足题意的实数的取值范围是. 6. 【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解. 【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为. 基础训练 1． 【分析】设，求导得其最大值，从而得到，解出即可. 【详解】令，则，令，则， 因为，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为对于恒成立，则有，即，且，解得. 2．D 【分析】函数在上恰有两个极值点，在上有两个变号零点，分离常数得，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数的单调性，求图象在上与轴有两个交点的条件. 【详解】解法一：  由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点． 令，可得，令， 则直线与函数，的图象有两个不同的交点， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞， 所以可作出的图象如图所示，数形结合可知， 即实数a的取值范围是， 故选：D． 解法二  由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，所以，则，即实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 3． 【详解】已知函数，求导得， 令，即，解得或， 易知是函数的第一个极大值点，是第二个极大值点， 若要满足函数在上存在唯一的极大值点， 实数的取值范围为. 4. 【分析】画出分段函数的图象，构造新函数，利用函数的导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由可得， 要使恰有两个不同的实数根，则，即， 不妨设，则， 令，则， 所以，令，则， 所以当时，；当时，， 当时，取得最大值.    【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及利用导数求解函数的单调性和最值及应用，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题. 5． 【分析】根据导数结合已知得出根的情况，令，通过导数求出其在上的最值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】 ，， 则 ， 函数存在唯一的极值点，由， 可知函数在上有一个零点， ①在没有变号零点， 即在没有变号零点， 令，， 则， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减； 则，则，解得； ②在有两个变号零点，其中一个为2， ，由①可得该情况不成立. 故实数的取值范围为. 6． 【详解】，则， 在区间上递增，所以值域为. 7．ABD 【解析】先对进行求导，再对进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数的定义域为，且， 当时，恒成立，此时单调递减，没有极值， 又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， ∴有且只有一个零点， 当时，在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 当时，取得极小值，同时也是最小值， ∴， 当x趋近于0时，趋近于，趋近于， 当x趋近于时，趋近于， 当，即时，有且只有一个零点； 当，即时，有且仅有两个零点， 综上可知ABD正确，C错误． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 8． 【分析】利用导数求函数在给定区间上的最小、最大值. 【详解】因为，则． 令，则或． 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 因为，， 所以函数最小值为． 综上，函数在上的值域为. 能力提升 9． 【解析】先求的极小值点，的极小值点在区间上，由此可得的范围． 【详解】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点． ∵函数在区间上有最小值，即为极小值． ∴，解得． 【点睛】本题考查导数与最值的关系．连续函数在的最小值就是极小值，最大值就是极大值．但在是的最值不一定是极值． 10． 【分析】令，易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以，则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以.所以 11． 【解析】由，可得，由在上单调递增，可得，，构造函数，利用导数求其最大值即可 【详解】解：，且在上单调递增， ∴，． 设，则， 当时，；当时，． ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将化为的形式，然后结合及的单调性得到关于，的式子． 12． 【分析】将函数有两个极值点转化为有2个不同的正实根，列出关于参数的不等式组，求解即得. 【详解】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $