18.5 分式方程及其解法（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 18.5 分式方程及其解法（第1课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.理解分式方程的概念，能识别分式方程。 2.掌握解分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程。 3.理解解分式方程必须验根的原因，掌握验根方法。 重点 分式方程的解法（去分母转化为整式方程）；验根。 难点 理解增根产生的原因（去分母可能扩大未知数范围）；准确找最简公分母去分母；验根方法。 教学 方法 探究归纳法、讲练结合法、小组合作法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境引入：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等。设江水的流速为 v km/h，则顺流速度为 (20+v) km/h，逆流速度为 (20−v) km/h。 2.列方程：100/(20+v) = 60/(20−v)。这个方程与以前学过的一元一次方程有什么不同？分母中含有未知数。 3.学习目标：①理解分式方程的概念；②掌握去分母解分式方程的步骤；③理解增根产生的原因并学会验根。 任务驱学 任务1：观察方程 100/(20+v) = 60/(20−v)，与一元一次方程比较，归纳分式方程的概念。 任务2：尝试解这个方程，思考怎样去掉分母、化为整式方程。 任务3：解完后把根代回原方程检验，思考为什么分式方程必须检验。 二次备课 探究新知 二、合作探究 【概念引入】分母中含有未知数的方程叫做分式方程。如 100/(20+v)=60/(20−v)、2/(x−1)=3/x 等。 【解法思路】解分式方程的基本思路是“转化”：去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程。 【一般步骤】①去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则是原分式方程的根；若等于0，则是增根，原方程无解。 【增根产生的原因】去分母时，方程两边同乘了一个含有未知数的式子（最简公分母）。如果所得的根使这个公分母为0，就相当于在原方程两边乘了0，这一步是不允许的，这样的根不适合原方程，叫做增根。 【本质剖析】分式方程隐含“分母不为0”的条件，化为整式方程后这个限制被取消了，所以整式方程的根可能超出原方程的允许范围，必须回代检验。 【易错点提醒】①去分母时，没有分母的项漏乘最简公分母；②分子是多项式时去分母后漏加括号；③解完不验根；④验根只看整式方程的解，忘记代回最简公分母。 【方法总结】分解分母定最简公分母 → 两边同乘去分母（每一项都乘）→ 解整式方程 → 代入最简公分母验根 → 写出结论（根或无解）。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 解方程：(1) 2/(x−1) = 4/(x²−1)；(2) 1/(x−2) + 3 = (1−x)/(2−x)。 解：(1) 原方程可化为 2/(x−1) = 4/((x−1)(x+1))。最简公分母为 (x−1)(x+1)。两边同乘 (x−1)(x+1)，得 2(x+1)=4，解得 x=1。检验：当 x=1 时，(x−1)(x+1)=0，所以 x=1 是增根，原方程无解。 (2) 因为 2−x = −(x−2)，原方程化为 1/(x−2) + 3 = (x−1)/(x−2)。最简公分母为 x−2。两边同乘 x−2，得 1+3(x−2)=x−1，解得 x=2。检验：当 x=2 时，x−2=0，所以 x=2 是增根，原方程无解。 例2 解方程：x/(x−1) − 1 = 3/((x−1)(x+2))。 解：最简公分母为 (x−1)(x+2)。两边同乘 (x−1)(x+2)，得 x(x+2) − (x−1)(x+2) = 3。展开：x²+2x − (x²+x−2) = 3，即 x+2=3，解得 x=1。检验：当 x=1 时，(x−1)(x+2)=0，所以 x=1 是增根，原方程无解。 方法归纳：先分解各分母定最简公分母 → 两边同乘去分母 → 解整式方程 → 代入最简公分母验根 → 写结论。 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演例1、例2；教师点评去分母、解整式方程和验根，强调增根概念和必须验根。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.分母中含有____的方程叫做分式方程。 2.解分式方程的基本思路是把它化为____方程；解完必须____。 3.解方程：2/x = 3/(x+1)。 4.解方程：1/(x−2) = 3/(x²−4)。 【参考答案】1.未知数 2.整式；验根 3.两边同乘 x(x+1)，得 2(x+1)=3x，解得 x=2。检验：当 x=2 时 x(x+1)=6≠0，所以 x=2 是原方程的根。 4.两边同乘 (x−2)(x+2)，得 x+2=3，解得 x=1。检验：当 x=1 时 (x−2)(x+2)=−3≠0，所以 x=1 是原方程的根。 反馈订正：第3、4题规范书写去分母过程和检验步骤，注意增根的判断。 【分层练习】 1.解方程：(1) 2/x = 3/(x+1)；(2) 1/(x−2) = 3/x。 【答案】(1) 两边同乘 x(x+1)，得 2(x+1)=3x，x=2。检验：x=2 时 x(x+1)=6≠0，原方程的根为 x=2。(2) 两边同乘 x(x−2)，得 x=3(x−2)，x=3。检验：x=3 时 x(x−2)=3≠0，原方程的根为 x=3。 2.解方程：(1) (x−1)/(x+1) = 1/2；(2) 2/(x−1) = 4/(x²−1)。 【答案】(1) 两边同乘 2(x+1)，得 2(x−1)=x+1，x=3。检验：x=3 时 x+1=4≠0，原方程的根为 x=3。(2) 两边同乘 (x−1)(x+1)，得 2(x+1)=4，x=1。检验：x=1 时 (x−1)(x+1)=0，x=1 是增根，原方程无解。 3.解方程：(1) 1/(x−2) + 3 = (x−1)/(x−2)；(2) 2x/(x−1) + 1/(1−x) = 3。 【答案】(1) 两边同乘 x−2，得 1+3(x−2)=x−1，2x=4，x=2。检验：x=2 时 x−2=0，x=2 是增根，原方程无解。(2) 原方程化为 2x/(x−1) − 1/(x−1) = 3，两边同乘 x−1，得 2x−1=3(x−1)，x=2。检验：x=2 时 x−1=1≠0，原方程的根为 x=2。 4.若关于 x 的方程 x/(x−3) − 2 = m/(x−3) 有增根，求 m 的值。 【答案】两边同乘 x−3，得 x−2(x−3)=m，即 −x+6=m。因为方程有增根，增根必使最简公分母 x−3=0，即 x=3。代入得 −3+6=m，所以 m=3。 5.解方程：1/((x−1)(x−2)) + 1/((x−2)(x−3)) = 2/(x−1)。 【答案】先把左边拆项：1/((x−1)(x−2)) = 1/(x−2) − 1/(x−1)；1/((x−2)(x−3)) = 1/(x−3) − 1/(x−2)。左边相加得 1/(x−3) − 1/(x−1) = 2/((x−3)(x−1))。原方程化为 2/((x−3)(x−1)) = 2/(x−1)。两边同乘 (x−3)(x−1)，得 2=2(x−3)，x=4。检验：x=4 时 (x−3)(x−1)=3≠0，原方程的根为 x=4。 二次备课 课 堂 小 结 1.分式方程：分母中含有未知数的方程。 2.解法：去分母（两边同乘最简公分母）→ 解整式方程 → 验根。 3.验根：把根代入最简公分母，不为0是原方程的根，为0是增根（原方程无解）。 4.增根原因：去分母时两边同乘了含未知数的式子，取消了“分母不为0”的限制。 5.注意：解分式方程必须验根。 课后 作业 1.必做：课本习题18.5。 2.选做：若分式方程 x/(x−3) = 2 + m/(x−3) 有增根，求 m 的值。 板 书 设 计 18.5 分式方程解法 一、概念：分母含未知数 二、解法：去分母→整式方程→验根 三、验根：代入最简公分母 四、增根：公分母为0，原方程无解 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $