29.1.2 过三点的圆 第2课时课件2026-2027学年人教版 数学九年级上册

第2课时 第二十九章 圆 了解反证法的含义，熟记反证法证明命题的四个基本步骤，能够识别简单命题的反设内容. 能准确写出命题的反面假设，从推导结果中找出与公理、定理相矛盾之处，规范完成简单反证证明书写. 经历“共线三点不能作圆”的探究过程，体会正难则反的思想，提升逆向逻辑推理的能力. 感受证明方法的多样性，打破单一正向思维定式，养成多角度思考问题、严谨说理的习惯. 如果A、B、C三点都在同一个圆上，它们到圆心O的距离有什么关系？ A、B、C 三点到圆心 O 的距离相等，即 OA = OB = OC. 到一条线段两个端点距离相等的点，有什么性质？ 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 在同一平面内，过直线外一点，有几条直线与已知直线垂直？有几条直线与已知直线平行？ 在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；有且只有一条直线与已知直线平行. 活动：探究反证法的概念与步骤 l1 l2 A B C l (1)过A、B两点作线段AB的垂直平分线l₁ (2)过B、C两点作线段BC的垂直平分线l2 作图分析：找圆心 l₁与l2没有交点，过直线上的三点A、B、C画不出圆. 1 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆. 那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ 活动：探究反证法的概念与步骤 l1 l2 P A B C l 你能用推理方法说明“过同一条直线上的三点不能作圆”吗？ 已知：A、B、C是直线l上的三个点. 求证：经过A、B、C三点不能作圆. 假设经过A、B、C三点可以作圆，设圆心为P. ∵ A、B、C三点在⊙P上， ∴ PA = PB，PB = PC(圆心到圆上各点的距离相等) ∴点P在线段AB的垂直平分线l₁上且点P在线段BC的垂直平分线l2上(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上) 活动：探究反证法的概念与步骤 l1 l2 P A B C l 即l₁ 与l2交于点P ∵ l₁⊥ l ，l₂⊥ l ∴过P点有两条直线l₁ 与l2都与直线l垂直. 这与几何事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. ∴经过同一直线上的三个点不能作圆. 你能用推理方法说明“过同一条直线上的三点不能作圆”吗？ 2 活动：探究反证法的概念与步骤 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明有什么不同？ 然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 不直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设. 从假设出发，经过推导，得出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果. l1 l2 P A B C l 假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆 活动：探究反证法的概念与步骤 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法. 反证法 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法. 例如，对于平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比较困难，可以采用反证法.试试证明一下吧. 活动：探究反证法的概念与步骤 A B C D E F O A' B' 1 2 已知：如图，AB//CD ，∠1、∠2是同位角. 求证：∠1=∠2 假设∠1 ≠ ∠2 ， 过O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2. ∴A′B′//CD(同位角相等，两直线平行) ∴过点O就有两条直线AB，A′B′平行于直线CD， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾 ∴ ∠1≠∠2的假设不成立，原命题结论正确， 即：∠1=∠2. 活动：探究反证法的概念与步骤 1. 假设：假设命题的结论不成立 2. 推理：从假设出发，结合已知条件进行推理 3. 矛盾：推出矛盾 4. 结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论成立 反证法四步：假设 → 推理 → 矛盾 → 结论. 3 活动：探究反证法的概念与步骤 结论以否定形式出现. 如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 什么情况下适合用反证法？ 直接证明困难时. 从已知条件难以直接推出结论，直接证明往往无从下手，反证法通过假设更容易推出矛盾. 3 活动：探究反证法的概念与步骤 什么情况下适合用反证法？ 结论的反面情况较少. 结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一反驳，较为繁琐. 证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°． 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 假设所求证的结论不成立，在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，都小于60°；即∠A < 60°，∠B<60°，∠C <60°， 则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与“三角形三个内角的和等于180°” 相矛盾. 所以假设不成立，因此求证的结论成立. 如图，AB，CD是⊙O内两条非直径的弦. 求证：AB与CD不能互相平分. 如图，设AB，CD相交于点P，连接OA，OB，OP. 假设AB与CD能互相平分，即点P平分AB和CD. ∵在△OAB中，OA=OB，∴△OAB是等腰三角形. ∵AP=BP，∴OP⊥AB，同理OP⊥CD， ∴过点P有两条直线AB、CD都与OP垂直， 这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，∴假设不正确，∴AB与CD不能互相平分. P A C O B D 1. 用反证法说明 ：400 人中至少有两个人的生日相同. 证明：假设400 人中任意两个人的生日都不相同. ∵每个人对应一个独一无二的生日日期，400 人互不相同， ∴需要存在 400 个互不重复的生日日期. ∵一年最多只有 366 天(闰年)，全年仅有 366 个不同日期，不可能出现 400 种不一样的生日，二者互相矛盾. ∴该假设不成立. ∴400 人中至少有两个人的生日相同. 2. 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 证明：假设一个三角形中存在两个角是直角， 不妨设在△ABC中，∠A=90°，∠B=90°. ∵∠C>0°， ∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+0°，即∠A+∠B+∠C>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”矛盾. ∴假设不成立. ∴一个三角形中不能有两个角是直角. 任务 教材中说：“当直接推导比较困难时，可以采用反证法.”下面这三个有挑战性的生活推理，需要你把“假设—推理—找矛盾—得出结论”的思路用得更灵活.请任选一个，写出完整的推理过程. 谜题一：竞赛名次之谜 四位同学 A、B、C、D 参加数学竞赛，赛后每人说了两句话. 已知：每人都只说对了一句、说错了一句. A 说：“我不是第一名.”“C 是第二名.” B 说：“A 是第一名.”“D 是第三名.” C 说：“我不是第二名.”“B 是第四名.” D 说：“C 是第一名.”“我不是第四名.” 小侦探--用反证法破解谜题 任务 请用反证法推理：四位同学的名次分别是什么？ 提示：可以先假设“A 是第一名”为真，推出名次后检验是否满足“每人一对一错”的条件，若出现矛盾，则假设不成立. 谜题二：说谎的人 一个岛上住着两类居民：诚实人永远说真话，说谎人永远说假话. 有一天你遇见居民 A，他对你说：“我是说谎者.” 请你用反证法证明：岛上“不存在”说出这句话的居民. 提示：先“假设居民 A 是岛上真实存在的人”，分 A 为诚实人、说谎人两种情况，看一看分别会推出什么样自相矛盾的结果. 小侦探--用反证法破解谜题 任务 谜题三：长跑打卡任务 小亮计划在连续 12 天之内，每天至少跑步 1 公里，12 天跑步总里程恰好 18 公里.(每天跑步里程为整数公里) 请用反证法证明：“在这连续 12 天当中，一定存在连续的 3 天，小亮跑步的总里程不少于 5 公里”. 提示：反过来假设：所有任意连续三天里程都<5 公里(也就是最多 4 公里) 小侦探--用反证法破解谜题 $