3.1 代数式分层卷 2026～2027 学年北师大版数学七年级上册

第3章 整式及其加减 3.1 代数式分层卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 第 3 章 整式及其加减 3.1 代数式（代数式识别与列代数式、代数式求值、整体代换、程序框图求值、周长与面积应用、数式与数形规律入门）（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 数字与字母相乘时，乘号通常省略，并且数字要写在字母的前面， 应写成 ，A 不符合； 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数， 应写成 ，B 不符合； 中数字写在字母前面，且用的是假分数，符合书写规范，C 符合； 除法一般写成分数的形式， 应写成 ，D 不符合．选 C． 【解题提示】看代数式写得规不规范，抓三点：数字在不在前、带分数化没化成假分数、除法写没写成分数线． 2．“， 两数的平方差”用代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 “平方差”指先把两个数分别平方，再求它们的差，即 ； 表示的是“两数差的平方”，与“平方差”不同； 只把 平方，没有把 平方，不符合； 表示“两数和的平方”，不符合．选 B． 【解题提示】抓最后一步运算：最后一步是减法的叫“差”，最后一步是乘方的叫“平方”；“平方差”与“差的平方”是两回事． 3．下列各式中，是代数式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式； 代数式中不含等号、不等号； A、D 中含有等号，是等式；B 中含有不等号，是不等式；只有 C 符合代数式的定义．选 C． 【解题提示】判断是不是代数式，只看有没有等号、不等号：带等号或不等号的一律不是代数式． 4．某商品的原价为 元，先提价 ，再打八折出售，则这件商品的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】 A 【解析】 提价 后的价格为 ，即 元； 在提价后的价格上打八折，售价为 ； ，所以售价为 元．选 A． 【解题提示】连续变化要一段一段算：先算出提价后的价格，再把它当作新的原价去打八折，不能把两次的百分数直接相加减． 5．一项工程，甲队单独做需要 天完成，乙队单独做需要 天完成．若两队合作，则合作一天完成的工作量是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 把整项工程的工作量看作 1，甲队每天完成 ，乙队每天完成 ； 两队合作一天完成的工作量是两人一天工作量之和，即 ．选 A． 【解题提示】工程问题把总工作量看作 1，效率就是“1 除以天数”；“合作”对应相加，“单独”对应各自的效率． 6．已知 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 把所求式子中含字母的部分提取 ：； 把 看作一个整体，代入 ：．选 A． 【解题提示】整体代换的关键是把所求式子凑成已知式子的若干倍，凑的时候注意括号前的负号． 7．如图，一块长方形试验田的长为 米，宽为 米，田中有一条与长边平行的小路和一条与宽边平行的小路，两条小路的宽均为 米，其余部分为种植区，则种植区的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 种植区的面积等于试验田的总面积减去两条小路的面积； 与宽边平行的小路面积为 ，与长边平行的小路面积为 ； 两条小路在交叉处重叠了一个边长为 的小正方形，它的面积 被减了两次，要补回来一次； 所以种植区的面积为 ．选 B． 【解题提示】“两块重叠”的图形用容斥的办法算：总面积减去每一块的面积，重叠部分被多减了一次，最后要加回来． 8．若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 绝对值和平方都是非负数，即 ，； 两个非负数的和为 0，则这两个数都等于 0，所以 ，； 解得 ，，于是 ； 表示 2026 个 相乘，2026 是偶数，结果为 1．选 A． 【解题提示】几个非负数的和为 0，每一部分都必须为 0；再判断乘方的符号：偶次方得正，奇次方得负． 9．观察下列等式：，，，…，按此规律， 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 第 1 个等式的左边有 1 个奇数，结果是 ； 第 2 个等式的左边有 2 个奇数，结果是 ； 第 3 个等式的左边有 3 个奇数，结果是 ； 照此规律，从 1 开始连续 个奇数的和等于 ，而 正好是从 1 开始的 个奇数，所以结果是 ．选 A． 【解题提示】找规律先看“项数”：第几个等式左边就有几个数；再看结果与项数的关系，用前三个等式验证． 10．按如图所示的程序计算：输入 后，若 为偶数，则输出 ；若 为奇数，则输出 ，再把输出的结果作为输入继续计算．若开始输入 ，则第 2026 次输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 第 1 次：输入 3，3 是奇数，输出 ； 第 2 次：输入 6，6 是偶数，输出 ； 第 3 次：输入 3，输出 6；第 4 次：输入 6，输出 3； 可见输出结果按 6，3，6，3，… 循环，第奇数次输出 6，第偶数次输出 3； 2026 是偶数，所以第 2026 次输出的结果是 3．选 A． 【解题提示】程序循环题先算前几次，找出输出结果的循环周期，再用次数除以周期看余数． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．用代数式表示“比 的 2 倍多 3 的数”：______． 【答案】 【解析】 的 2 倍表示为 ； 比 多 3，就在 的后面加上 3，得 ． 【解题提示】“多”“少”对应加、减，“倍”对应乘；列式时先写倍数，再写加减，顺序不能颠倒． 12．一个三位数，百位上的数字是 ，十位上的数字是 ，个位上的数字是 （ 不为 0），则这个三位数是 ______． 【答案】 【解析】 百位上的数字 表示 个 100，即 ； 十位上的数字 表示 个 10，即 ；个位上的数字 表示 个 1，即 ； 把三部分相加，这个三位数是 ． 【解题提示】用字母表示多位数要“按位配权”：百位乘 100，十位乘 10，个位乘 1，不能直接把三个数字并排写． 13．一个长方形的长为 米，宽为 米．若长增加 2 米，宽减少 1 米，则新长方形的周长是 ______ 米，面积是 ______ 平方米（用含 ， 的代数式表示）． 【答案】 ； 【解析】 长增加 2 米后为 米，宽减少 1 米后为 米； 新长方形的周长为 ，即 米； 新长方形的面积为 平方米． 【解题提示】变化后的长和宽都要加上括号再代入周长、面积公式，否则容易把“增加 2 米”写成 与别的项混淆． 14．观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第 个数是 ______（ 为正整数）． 【答案】 【解析】 先看分子：第 1 个数是 1，第 2 个数是 2，…，第 个数的分子是 ； 再看分母：，，，，所以第 个数的分母是 ； 最后看符号：第奇数个为负，第偶数个为正，可以用 表示； 所以第 个数是 ． 【解题提示】分数型规律要分开看分子、分母、符号三件事，分别写出与 的关系再合起来． 15．按如图所示的程序计算，若输出的结果是 20，则输入的 的值是 ______． 【答案】 或 【解析】 设输入的数为 ，按程序先平方、再减去 5，得到 ； 由题意得 ，所以 ； 平方等于 25 的数有两个：5 和 ，所以输入的 的值是 5 或 ． 【解题提示】逆推时把程序倒过来算；遇到“平方”这一步要留意正负两个解，不能只写正数． 16．若 ，，且 ，则 的值是 ______． 【答案】 或 【解析】 由 得 或 ；由 得 或 ； 若 ，则无论 还是 ，都不满足 ，舍去； 若 ，当 时 成立，；当 时 成立，； 所以 的值是 或 ． 【解题提示】含绝对值先拆出所有可能的取值，再用附加条件逐组检验，把所有符合的组合都算完，不要漏解． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）一个长方形的长为 厘米，宽为 厘米． (1) 用含 ， 的代数式表示这个长方形的周长和面积； (2) 当 ， 时，求这个长方形的周长和面积； (3) 若把这个长方形的长增加 3 厘米，宽不变，用含 ， 的代数式表示新长方形的面积． 【答案】 (1) 周长 厘米，面积 平方厘米；(2) 周长 26 厘米，面积 40 平方厘米；(3) 平方厘米 【解析】 (1) 长方形的周长 ，所以周长为 厘米； 长方形的面积 长 宽，所以面积为 平方厘米． (2) 当 ， 时，周长 （厘米）； 面积 （平方厘米）． (3) 长增加 3 厘米后为 厘米，宽仍为 厘米，新长方形的面积为 平方厘米． 【解题提示】用字母表示公式时，字母之间相乘要省略乘号；代入求值要把数值代进括号里，先算括号内的和． 18．（6 分）某文具店购进一批笔记本，每本的进价为 元，售价为 元（）． (1) 用含 ， 的代数式表示每本笔记本的利润； (2) 当 ， 时，求每本笔记本的利润和利润率（利润率 ）； (3) 若这个月共售出 200 本，用含 ， 的代数式表示这个月的总利润． 【答案】 (1) 元；(2) 利润 6 元，利润率 ；(3) 元 【解析】 (1) 利润 售价 进价，所以每本的利润为 元． (2) 当 ， 时，利润 （元）； 利润率 ． (3) 每本利润为 元，售出 200 本，总利润为 元． 【解题提示】利润率的分母是进价，不是售价；求“总利润”时把每本利润整体乘本数，括号要留住． 19．（6 分）当 ， 时，求下列代数式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 当 ， 时，； (2) ； (3) ． 【解题提示】代入负数时一定要加括号， 与 的结果不同；分数的分子、分母要分别算完再约分． 20．（6 分）已知 ，，，求下列代数式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) ，把 整体代入，得 ； (2) ，把 整体代入，得 ； (3) ，把 整体代入，得 ． 【解题提示】先把所求式子变形，凑出已知式子的整数倍，再整体代入；凑系数时看清已知式子与所求式子的倍数关系． 21．（6 分）如图，是一个数值转换机． (1) 用含 的代数式表示输出的结果； (2) 当输入 时，求输出的结果； (3) 当输入的 分别为 和 时，输出的结果是否相同？请说明理由． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 相同，都是 ，理由见解析 【解析】 (1) 按程序的顺序，先算 的平方，再减去 2，所以输出的结果是 ； (2) 当 时，； (3) 当 时，；当 时，； 两个结果相同．因为 与 互为相反数，它们的平方都等于 4，所以代入后输出的结果相同． 【解题提示】读程序图要按箭头的顺序一步步来；遇到“平方”这一步，相反数代入的结果相同，这是常考点． 22．（8 分）某学校有一个环形跑道（如图），它由两条直的跑道和两个半圆形的弯道组成，每条直道长 米，每个半圆的半径为 米． (1) 用含 ， 的代数式表示跑道内圈的周长； (2) 用含 ， 的代数式表示跑道内圈所围成的面积； (3) 当 ， 时，求跑道内圈的周长和内圈所围成的面积（结果保留 ）． 【答案】 (1) 米；(2) 平方米；(3) 周长 米，面积 平方米 【解析】 (1) 内圈由两条直道和两个半圆组成，两条直道共长 米； 两个半圆恰好拼成一个整圆，周长为 米，所以内圈周长为 米； (2) 内圈所围成的图形可以分成一个长方形和两个半圆，长方形的长为 、宽为 ，面积为 ； 两个半圆拼成一个半径为 的圆，面积为 ，所以总面积为 平方米； (3) 当 ， 时，周长 （米）； 面积 （平方米）． 【解题提示】组合图形先“拼”再算：两个半圆拼成一个整圆，长方形部分单独算，最后把两部分的面积相加、周长相加． 23．（6 分）如图，用长度相同的小棒按规律摆正方形：第 1 个图形用 4 根小棒，第 2 个图形用 7 根小棒，第 3 个图形用 10 根小棒． (1) 第 4 个图形需要多少根小棒？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形需要的小棒根数； (3) 是否存在恰好用 2027 根小棒摆成的图形？请说明理由． 【答案】 (1) 13 根；(2) 根；(3) 不存在，理由见解析 【解析】 (1) 第 2 个图形比第 1 个多 3 根，第 3 个图形比第 2 个多 3 根，每次增加 3 根，所以第 4 个图形需要 （根）； (2) 第 1 个图形用 4 根，即 ；第 2 个用 7 根，即 ；第 3 个用 10 根，即 ； 所以第 个图形需要 根小棒； (3) 不存在．理由：若存在这样的图形，设它是第 个图形，则 ，即 ； 而 2026 除以 3 余 2， 不是正整数，所以不存在恰好用 2027 根小棒摆成的图形． 【解题提示】规律题先算相邻两个图形的差，差是定值就是“一次型”规律，写成“每次增加的量 第一项”再验证；判断存在性要看方程的解是不是正整数． 24．（6 分）已知当 时，代数式 的值为 2026． (1) 求 的值； (2) 求当 时，代数式 的值； (3) 求当 时，代数式 的值． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 把 代入 ，得 ，所以 ； (2) 当 时，； 把 代入，得 ； (3) 当 时，，把 代入，得 ． 【解题提示】含参数的代数式不必求出每个字母的值，把 当作整体；代入 时注意 变号，式子整体也跟着变号． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式及其加减 3.1 代数式分层卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 第 3 章 整式及其加减 3.1 代数式（代数式识别与列代数式、代数式求值、整体代换、程序框图求值、周长与面积应用、数式与数形规律入门）（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A． B． C． D． 2．“， 两数的平方差”用代数式表示为（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，是代数式的是（　　） A． B． C． D． 4．某商品的原价为 元，先提价 ，再打八折出售，则这件商品的售价为（　　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 5．一项工程，甲队单独做需要 天完成，乙队单独做需要 天完成．若两队合作，则合作一天完成的工作量是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，一块长方形试验田的长为 米，宽为 米，田中有一条与长边平行的小路和一条与宽边平行的小路，两条小路的宽均为 米，其余部分为种植区，则种植区的面积为（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 9．观察下列等式：，，，…，按此规律， 的结果是（　　） A． B． C． D． 10．按如图所示的程序计算：输入 后，若 为偶数，则输出 ；若 为奇数，则输出 ，再把输出的结果作为输入继续计算．若开始输入 ，则第 2026 次输出的结果是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．用代数式表示“比 的 2 倍多 3 的数”：______． 12．一个三位数，百位上的数字是 ，十位上的数字是 ，个位上的数字是 （ 不为 0），则这个三位数是 ______． 13．一个长方形的长为 米，宽为 米．若长增加 2 米，宽减少 1 米，则新长方形的周长是 ______ 米，面积是 ______ 平方米（用含 ， 的代数式表示）． 14．观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第 个数是 ______（ 为正整数）． 15．按如图所示的程序计算，若输出的结果是 20，则输入的 的值是 ______． 16．若 ，，且 ，则 的值是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）一个长方形的长为 厘米，宽为 厘米． (1) 用含 ， 的代数式表示这个长方形的周长和面积； (2) 当 ， 时，求这个长方形的周长和面积； (3) 若把这个长方形的长增加 3 厘米，宽不变，用含 ， 的代数式表示新长方形的面积． 18．（6 分）某文具店购进一批笔记本，每本的进价为 元，售价为 元（）． (1) 用含 ， 的代数式表示每本笔记本的利润； (2) 当 ， 时，求每本笔记本的利润和利润率（利润率 ）； (3) 若这个月共售出 200 本，用含 ， 的代数式表示这个月的总利润． 19．（6 分）当 ， 时，求下列代数式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 20．（6 分）已知 ，，，求下列代数式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 21．（6 分）如图，是一个数值转换机． (1) 用含 的代数式表示输出的结果； (2) 当输入 时，求输出的结果； (3) 当输入的 分别为 和 时，输出的结果是否相同？请说明理由． 22．（8 分）某学校有一个环形跑道（如图），它由两条直的跑道和两个半圆形的弯道组成，每条直道长 米，每个半圆的半径为 米． (1) 用含 ， 的代数式表示跑道内圈的周长； (2) 用含 ， 的代数式表示跑道内圈所围成的面积； (3) 当 ， 时，求跑道内圈的周长和内圈所围成的面积（结果保留 ）． 23．（6 分）如图，用长度相同的小棒按规律摆正方形：第 1 个图形用 4 根小棒，第 2 个图形用 7 根小棒，第 3 个图形用 10 根小棒． (1) 第 4 个图形需要多少根小棒？ (2) 用含 的代数式表示第 个图形需要的小棒根数； (3) 是否存在恰好用 2027 根小棒摆成的图形？请说明理由． 24．（6 分）已知当 时，代数式 的值为 2026． (1) 求 的值； (2) 求当 时，代数式 的值； (3) 求当 时，代数式 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $