河南信阳市2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学试题

★2026年10月22日 2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 2．集合，，若，则实数可能的值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题是真命题的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．等比数列中，，，则的公比为（ ） A． B． C． D． 5．，则的最小值为（ ） A．12 B．15 C．16 D．18 6．已知，，，，则，，的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，命题：对任意，存在，，使得且，命题：的值域为，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A．数列单调递增是数列单调递增的充分不必要条件 B．数列和数列有可能都是单调递减数列 C．数列和数列有可能都是等差数列 D．数列和数列不可能都是等比数列 11．已知，下列说法正确的是（ ） A．对任意，则在上存在单调递减区间 B．存在，使的值域包含的整数的个数有限 C．若关于的方程有三个实数根，且最大的一个根为，则 D．存在，使关于的方程有三个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列满足，若，则__________． 13．已知函数是偶函数，时，，，则时，__________． 14．函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分） 函数，． （1）若，求证：对任意正数，，，； （2）讨论函数的极值． 17．（15分） 函数，． （1）时，讨论函数的零点的个数； （2）若时，，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数，． 18．（17分） 已知数列的通项公式为，的前项和为． （1）判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （2）若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； （3）求满足的最小整数． 19．（17分） 已知，函数，． （1）若，求的解集； （2）求证：对于任意实数，与的图像在第一象限均有公共点； （3）若，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线． ①的图像与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围； ②、与轴的交点分别为，，若为等腰直角三角形，以，为邻边作正方形，求在该正方形内部（含边界）可以容纳的最大半圆的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测 数学参考答案 一、选择题 1-8.BDBA CDBD 二、选择题 9.ABD 10.BCD 11.AD 三、填空题 12石13*3 14. 5.0) 四、解答题 15.解：(1)m=2时，B={x0<x<4},CuA={xlx≤-2或x≥1}，…2分 CB={xlx≤0或x≥4}… 4分 (CA)∩(CB)={xlx≤-2或x≥4}；… 6分 (2)若A∩B=☑，则有以下两种情况： ①B=☑时，即2-m≥m2,得-2≤m≤1； 8分 2C时或解oc 10分 即A∩B=☑时m≤1. 12分 故A∩B≠☑时，m的取值范围为(1，+∞) 13分 16解：(1)m-1时)=lnr+2f)= 1 2分 欲证fa@扩⑥)f@令+分+子4. 3分 只需证明1+“+1+2+13 a2b30c4c>4, …4分 由基本不等式得1++1+26+13 12b 。+2市3b+。+4≥2米 1+2 +2.xc=2+ -X- 2√ 3 2+3>1.4+1.3+1.7>4,不等式得证…7分（未验证等号成立条件不扣分） (2fa)=1m=1- & 9分 ①若m≤0，则(x)≥0恒成立，fx)无极值； 11分 ②若m0sp时r国0se+x时r<0r =0, 故此时e)的授大为)子m子，无授小值 15分 高三数学答案第1页（共4页） 17.解：(1)a=1时fx)=2-x-2f()=2·ln2-1,…1分 x<log2 In2 时f(x)<0,f(x)单调递减， )>0J)单调递增，故至多2个零点一 由f(-3)>0f0)<0,f3)>0得fx)在(-3,0)，(0,3)内各有一个零点， 故函数fx)有2个零点；… 5分 (未使用零点存在性定理给出严格证明扣一分)》 (2)x≥2时，f代x)≥0，由f2)≥0得a≤1，… 7分 a≤1f(x)=2·ln2-a≥4ln2-a≥4ln2-1>0, 8分 f代x)在[2，+∞)上单调递增fx)≥f2)≥0， 故实数a的取值范围为(-o∞，1]；… 10分 (3)由(2)知，x≥2时，2-x-2≥0，即2≥x+2, 11分 设g)=-1-r,x≥2，g)=11-->0,g)在[2，+)上单调递增， g(x)≥g(2)=1-ln2>0,即x-1-lnx>0,x>1+lnx,.12分 故2≥x+2>3+lnx, ∴.n≥2时，2">3+lnn .2+23+24+…+2">3(n-1）+ln2+ln3+ln4+…+lnn. 13分 即2(1-2) >3(n-1)+ln2+ln3+ln4+…+nn, 1-2 即n≥2时，2m+>3n+1+ln2+ln3+ln4+…+lnn 14分 经验证得n=1时，2+=3×1+1+ln1 可得对任意正整数n,2*1≥3n+1+ln2+ln3+ln4+…+lnn. 15分 (其他方法证明只要正确也可给分，含数学归纳法) 18.解：(1)不存在，理由如下：… 1分 a,不是整数，{an}的偶数项分母均为偶数，且求和后无法完全消去，…2分 {an}的奇数项要么为整数，要么分母是奇数，故而整体求和后不可能是整数， ∴.不存在n使S,为整数…5分（其他合理方法酌情给分） (2)由题意知M=a1+a3+a5+…+a2m-1= 54m+】 m m(a1+a2m-1） 3 3 m(2m+3)》 ............. 7分 2 2 3 b.=log:a2=log 8分 N=b1+b2+b3+…+bm= m(m+1) 9分 2 高三数学答案第2页（共4页）》 M-N-m(2m+3》mm+1)_m(m+3》>0,即MN 3 …11分 6 (3)数列{an}的前2n项中偶数项的和为 人 引…12分 数列ia,}的前2n项中奇数项的和为n(2n+3） 3 要么为整数，要么小数部分为？或 ,偶数项的和恒小于。，，3的前n项和的整数部分完全由奇数项决定 在判断S首次超过365时只需考虑奇数项的和，…14分 当S-1>365时.22+3>365，可解的n≥23 16分 即前45项的和首次大于365（通过求出S-1及S2再比对也正确） 即满足Sn>365的最小整数n为45. 17分 19.解：(1)由题意，x≠0，f(1)=1+a+3=4,所以a=0,…1分 所以f)=+3,故+3+>4+ 3, …2分 所以x2-4x+3>0且x≠0， 所以x∈(-∞，0)U(0,1)U(3,+∞)；…4分（未将x=0去掉扣一分） (2)x>0时，4x+2>0 ∴.欲证明对于任意实数a,f代x)与g(x)的图像在第一象限均有公共点 只需证明关于x的方程x2+ax+3=4x+,在(0，+∞)有解 2 即证关于x的方程a=-x- +4在(0，+如)有解 31 5分 31 设h(x)=-x- 4.20 显然h(x)的图像连续，x→+o0时h(x)→-∞ x0时，h()=-x+4+1-3x →+∞，故h(x)的值域为R,…6分 31 所以对于任意实数a,关于x的方程a=-x-二+，+4在(0，+0)有解，命题得证 xX …7分 (其他正确方法证明按步骤给分) (3)①由题意，f(x)=2x+a,f(0)=a,故l1为y=ax+3, 高三数学答案第3页（共4页）》 1,斜率为-，故2为y=-一x+3, 8分 由题意ax+3=4x+2在(0，+∞)内无解， 故a=13 +4在(0，+∞)内无解 9分 不坊设=e(0,+),()=-34 所以'(t)=32-3=3(t+1)(t-1), 所以h(t)在(0,1]单调递减，在[1，+∞)单调递增， 故h(t)min=h(1)=2,x→+o∞，h(t)→+o, 故h(t)∈[2，+∞)， 即a∈(-∞，0)U(0,2); 同理-。e(-.0u(0,2)ae（×,）U(0+。 综上，a∈（0，)U(0,2). …11分 ②由①知，若△P4B为等腰直角三角形，必有-1=1或-1=-1,4=t1, |PA=|PB=3√2， 12分 若要求该正方形内部可以容纳的最大半圆，则半圆的直径的端点必在正方形的边上. ()若半圆的直径的端点在正方形相对的两边上，易得半径的最大值为3,2 13分 ()若半圆的直径的端点在正方形相邻的两边上，不妨设端点分别为M,N,其中 点M在PA上，点N在PB上，设MN与PA所成角为O,半圆的半径为r, 可得r+rcos0≤3√2，且r+rsin0≤32,0e 即r≤ 3√2 3√2 且r≤ 14分 1+cos0 1+sin0 设f(0)=mi 3√232 15分 (1+cos0'1+sin0) .) 可得0)在0，)上单调递增，在[牙上单调通减0)=任）=62-6， 6v2-632 .r的最大值为6√2-6，此时半圆的面积为(54-36√2)π. 综上所述，该正方形内部可以容纳的最大半圆的面积为(54-36√2)π.…17分 高三数学答案第4页（共4页）》