31.2.3相似三角形的性质（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.2.3 相似三角形的性质 31.2.3 相似三角形的性质 思考 如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱. (1)△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. (2)如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？ 相似；三边对应成比例；相似比为1:2. 3cm 31.2.3 相似三角形的性质 思考 三角形中，除了边与角外，还有哪些重要的线段？ 高 角平分线 中线 这些几何量在相似三角形中有什么关系呢？ 高、中线、 角平分线 31.2.3 相似三角形的性质 合作探究 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C' D' D ∴ 31.2.3 相似三角形的性质 相似三角形的性质 注意 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比. 31.2.3 相似三角形的性质 思考 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 31.2.3 相似三角形的性质 合作探究 由前面的结论，我们有 A B C A' B' C' D' D 31.2.3 相似三角形的性质 相似三角形的性质 注意 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形面积的比等于相似比的平方， 不要与其周长的比等于相似比混淆. 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 D E F A B C 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在矩形 中，点E,F分别在边BC,DC上，且 ．若 ， ， ，则CF的长为_______． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ， 在 中， ，∴ ∴ ，可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，解得 ． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在 中，点D在BC边上， ，点E在AD边上， ． 若 ， ， ，求CE 的长． 解： ， ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在 中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若 ， ，求CE的长. 解：取AE的中点G，连接GD ， ∵D是AC的中点，G是AE的中点 ， ∴GD是 的中位线 ，∴ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ , ∵ ，∴ ， ∴ . G 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在平行四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为E，连接CE，F为线段CE上一点，且 ．若 ，求DF的长． 解：四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得 ． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 A B C D E F ∴ 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC=3，求S△BCF. 解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD =BC， ∴△DEF∽△BCF，∴ . ∵点E是边 AD的中点， ∴DE=AE= AD= BC， ∴ ，∴ ，∴ . 又 S△DEC=3，∴S△DEF =1. ∵ ，∴ S△BCF=4. 31.2.3 相似三角形的性质 归纳总结 ①直接用面积公式； ②利用相似三角形的性质； ③利用等底或等高； ④割补法. 解决面积问题的常用方法 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，已知平行四边形 ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E， 使 DE：AD=1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，求 S△DEG：S△CFG. 解：设 DE=x，则 AD =3x. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC，BC =AD =3x. 又点 F 是 BC 的中点， ∴ CF = BC= . ∵ AD//BC，∴△DEG∽△CFG， ∴ . 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 解：①当 AE：ED = 2：3时，AE：AD = 2：5. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD//BC，AD = BC， ∴ AE：BC =2：5. ∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25. 在平行四边形 ABCD 中，E 是AD 上一点，且点 E 将 AD 分为2：3的两部分，连接 BE，AC 相交于 F，求 S△AEF：S△CBF . ②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25. 综上， S△AEF：S△CBF = 4：25或 9：25. 易错警示 AE：ED要分两种情况讨论. 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在 中， ．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作 交于点E，设动点D运动的时间为x秒，的长为y．(1)求 的面积S与x之间的函数关系式； (1)解：由题意得， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ， ∴ ； 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 (2)当x为何值时， 的面积S有最大值，最大值为多少？ (2)解： ， ∵ ，且 ， ∴当x=2时，S有最大值，最大值为6． 31.2.3 相似三角形的性质 本课总结 面积 相似三角形 的性质 对应线段 周长 面积的比等于相似比的平方 等于相似比 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 对应边之和 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 已知△ABC∽△ A'B'C' ，AD 和 A'D'是它们的对应中线，若 AD =10，A'D' =6，则△ABC 与△A'B'C' 的周长比是( ) A.3:5 B.9:25 C.5:3 D.25:9 解： ∵△ABC∽△ A'B'C' ，AD 和A'D' 是它们的对应中线， AD=10， A'D' =6， ∴△ABC 与△ A'B'C' 的相似比为 AD： A'D' =10：6=5：3， △ABC 与△ A'B'C' 的周长比为5：3. 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 已知 ，AD和A’D’分别是它们的对应中线，若 ， ，则 与 的对应角平分线的比是（     ） A．3:5 B．9:25 C．5:3 D．25:9 解：∵ ，AD和A’D’是对应中线， , , ∴两个三角形的相似比为 ， ∴对应角平分线的比为5:3． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则△EOD 的周长：△BOC的周长为( ) A.1:2 B.2:3 C.1:3 D.1:4 解：∵BE，CD 是△ABC 的两条中线， ∴ DE 是△ABC 的中位线， ∴DE//BC， ，∴△EOD∽△BOC， ∴△EOD 的周长：△BOC 的周长=1:2. 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在 中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点，且 ， ，若 ， ，则BD=（     ） A．6 B．9 C．10 D．12 解：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，已知在 中，点E在AB上， ，连接AC,DE相交于 点F，如果 的面积为，则 的面积为__________． 解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ∵ ，∴ ． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在 中， ，高 ，正方形EFGH的边GH在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，则AN的长为______． 解：∵四边形EFGH是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵AD是△ABC的高， ∴ ， ∴ ， ， ∴四边形EHDN是矩形， 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，在 中， ，高 ，正方形EFGH的边GH在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，则AN的长为______． ∴ ，∴ ，设 ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ， 解得 ， ∴ ． 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比)， ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C ∴ EH 的长为 3.2 cm. 31.2.3 相似三角形的性质 规范解答 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR=时，求DE的长.如果SR=呢？ 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD∴SR//BC ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C 31.2.3 相似三角形的性质 $