第2章 圆（复习讲义）数学新教材湘教版九年级下册

第2章 圆 复习要点 1.圆的基本概念与性质：掌握圆、弦、直径、弧、半圆、圆心角、圆周角、扇形、弓形等核定义；理解圆的轴对称性、中心对称性两大基本性质；熟练运用垂径定理及其推论，解决弦、弧、圆心距、半径的相关计算与证明。 2.圆心角与圆周角定理：掌握圆心角、弧、弦三者之间的对等关系定理；熟练运用圆周角定及其推论，明确同弧或等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、圆内接四边形的对角互补等核心结论，能进行角度计算、几何证明。 3.点、直线与圆的位置关系：掌握点与圆、直线与圆的三种位置关系的判定方法（数量关系与几何关系双重判定）；理解切线的定义与性质，熟练掌握切线的判定定理和性质定理，能完成切线的证明与相关计算；了解三角形的外接圆、内切圆，掌握外心、内心的定义与性质。 4.圆与正多边形及圆的相关计算：理解正多边形与圆的内在关系，掌握正多边形的中心、半径、边心距等概念；熟练掌握弧长公式、扇形面积公式，能进行弧长、扇形面积、简单阴影图形面积的计算；掌握圆锥的侧面积和全面积计算公式，解决圆锥相关实际计算问题。 5.圆的综合应用：整合圆的性质、几何图形（三角形、四边形）性质，掌握圆与几何图形的综合证明、计算思路；能结合方程思想、转化思想解决圆的动态问题、最值问题，适配中考综合题型考查要求。 复习重难点 重点：圆的核心性质应用与核心计算、切线的判定与性质运用。具体包含垂径定理、圆周角定理的综合运用，直线与圆的位置关系判定，弧长、扇形面积、圆锥表面积的相关计算，是本单元必考核心内容。 难点：圆的几何综合推理证明与动态几何问题分析。主要包括切线与三角形、四边形结合的综合证明计算，圆中角度、线段长度的动态推导，阴影图形不规则面积的转化求解，对几何逻辑思维和知识整合运用能力要求较高。 知识点 圆的有关概念与性质 1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为 ，定长称为 。 2. 相关概念： （连接圆上任意两点的线段）、 （经过圆心的弦，是圆中最长的弦）、 （圆上任意两点间的部分，分为优弧、半圆、劣弧）、等圆（能够重合的两个圆）、等弧（在同圆或等圆中，能够互相重合的弧）、 （顶点在圆心的角）、 （顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角）。 ① 同圆或等圆中，半径相等，直径长度是半径的2倍； ② 等弧必须满足"同圆或等圆"和"长度相等、度数相等"两个条件，仅长度相等的弧不一定是等弧。 要点速测 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 知识点 圆的重要定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 。 推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3：圆内接四边形的对角互补。 ① 垂径定理通常结合勾股定理计算弦长、半径或弦心距，核心关系： 半径2= 弦心距2+ (弦长一半)2； ② 遇到直径优先构造直径所对的圆周角，得到直角后结合直角三角形性质解题。 要点速测 1．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 2．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 知识点 与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在 <=> d > r；点在 <=> d = r；点在 <=> d < r。 2. 直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： <=> d > r，无公共点； <=> d = r，有1个公共点； <=> d < r，有2个公共点。 3. 切线的性质与判定： 性质：圆的切线 于过切点的半径； 判定：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长 ，且该点与圆心的连线 两条切线的夹角。 5. 三角形的外接圆与内切圆： 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做 ，外心到三个顶点的距离相等； 内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做 ，内心到三边的距离相等。 要点速测 1．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 2．如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 知识点 圆的相关计算 1. 弧长公式：若扇形的圆心角为n°，半径为r，则弧长 。 2. 扇形面积公式：（l为弧长）。 3. 圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长C=2πr（r为底面半径）；圆锥侧面积，全面积。 圆锥侧面展开图的圆心角，其中r为底面半径，l为母线长，该公式可由弧长相等推导得到。 要点速测 1．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 题型1 圆心角、圆周角关系应用 ▌例1 如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同弧所对圆周角相等； 2.直径所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径； 3.结合三角形内角和、等腰三角形性质计算角度。 ▌迁移练1如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． ▌迁移练2如图，为的直径，C，D，E为圆上的点，，求的度数． 题型2 垂径定理及其应用 ▌例1 如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 解题要点 1. 过圆心作弦的垂线构造直角三角形； 2. 利用勾股定理建立等量关系：半径² = 弦长一半² + 圆心到弦的距离²； 3. 结合直径、弧中点等条件确定垂线位置，注意分类讨论弦在圆心同侧/异侧的情况。 ▌迁移练1如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 题型3 点与圆的位置关系判定 ▌例1 点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 解题要点 1. 计算点到圆心的距离d，与半径r比较大小； 2. d > r点在圆外，d = r点在圆上，d < r点在圆内； 3.几何证明中利用位置关系推导角或线段关系。 ▌迁移练1若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． ▌迁移练2如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 题型4 直线与圆位置关系的判定 ▌例1 圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 解题要点 1. 计算圆心到直线的距离d，与半径r比较大小； 2. d > r相离，d = r相切，d < r相交； 3. 结合坐标系、动点问题分析距离变化。 ▌迁移练1如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． ▌迁移练2如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 题型5 切线的证明 ▌例1 如图，是的直径，C是中点，下列选项中不能判断 是的切线的是（    ） A． B． C． D． 解题要点 1. 已知直线过圆上一点：连接圆心与该点，证明连线垂直于直线（连半径，证垂直） 2. 未知直线与圆是否有公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径（作垂直，证半径）； 3. 常结合直角三角形、平行线、等腰三角形性质证明垂直关系。 ▌迁移练1如图，是的弦，是过B点的直线，，当________ 时，是切线． ▌迁移练2如图，在中，O为上一点，过B，C两点，且与交于点D，，．求证：是的切线． 题型6 切线性质的应用 ▌例1 如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 解题要点 4. 切线垂直于过切点的半径，见到切线必连圆心与切点得直角； 5. 结合直角三角形勾股定理、相似三角形计算线段长度或角度。 ▌迁移练1是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． ▌迁移练2如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数． 题型7 弧长计算 ▌例1 如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.熟记公式l = ，n为圆心角度数，R为圆的半径； 2.结合圆周角定理转化圆心角度数再代入计算。 ▌迁移练1中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． ▌迁移练2已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 题型8 扇形面积计算 ▌例1 某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 解题要点 1. 两个公式灵活选用：S = 、S = lR； 2. 根据已知条件选择对应公式计算。 ▌迁移练1如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． ▌迁移练2如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 题型9 阴影部分面积计算 ▌例1 如图，在矩形中，．以的中点O为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 解题要点 1.常用方法：割补法、和差法、等积转化法； 2.将不规则阴影转化为规则扇形、三角形、梯形等图形的面积和差计算。 ▌迁移练1如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． ▌迁移练2如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 题型10 三角形内切圆与外接圆综合 ▌例1 若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 解题要点 1. 分清外心、内心：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（外接圆半径 R）；内心是三角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径 r）。 2. 综合题常结合面积：三角形面积，用来求内切圆半径。 3. 解题思路：看到外接圆优先找圆周角、直径；看到内切圆优先作切点垂线，利用角平分线、等线段转化。 ▌迁移练1如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． ▌迁移练2如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 题型11 正多边形与圆综合 ▌例1 如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题要点 1. 正多边形内接于圆，中心角、半径、边心距、边长可构造直角三角形求解（半径为斜边，边心距与边长一半为直角边）。 2. 解题核心：把正多边形问题转化为解直角三角形，常结合勾股定理、三角函数计算边长、边心距、面积。 3. 看清条件，区分外接圆半径（顶点到中心）和边心距（中心到边）。 ▌迁移练1如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． ▌迁移练2延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 难点一 圆与三角函数/相似三角形的综合问题 规律探究 1. 直角转化规律：直径所对的圆周角是直角，切线与过切点的半径垂直，这两个性质是圆中构造直角三角形的核心依据，所有三角函数问题都需要依托圆中的直角转化求解 2. 相似三角形的常见模型：圆中常出现"A型""X型""射影定理"三类相似模型，通常由圆周角相等、弦切角等于所对圆周角推导角相等，进而证明三角形相似 3. 比例转化规律：利用相似三角形对应边成比例，可将圆中未知线段的长度转化为已知线段的比例关系，实现长度求解 方法透析 1. 直角构造法：遇到求三角函数值的问题，首先寻找圆中已有的直角，若没有则构造直角：利用直径作圆周角，或过点作垂线构造直角三角形，将所求角放到直角三角形中计算 2. 等角转化法：若所求角不在直角三角形中，利用圆周角定理将角转化为同弧所对的其他相等角，再计算三角函数值 3. 相似搭桥法：当线段无法直接求解时，利用角的关系证明三角形相似，通过比例式建立已知线段和未知线段的联系，解方程得到结果 难点精练 1．如图，为的直径，点C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接，． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 2．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 3．如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为点，交于点，连接，交弦于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 难点二 圆与函数的综合问题 规律探究 1. 圆的几何约束（半径相等、垂直、直角）转化为坐标关系，函数图像提供点的坐标，两类条件互相转化。 2. 动点在函数图像上，同时满足圆的半径、相切、相交等条件，往往存在多解，注意分类讨论。 3. 最值问题常依托圆的定点定长特征，结合一次、二次函数的增减性求解。 方法透析 1. 建系设点，把几何条件翻译成代数式；利用距离公式表达半径，相切转化为圆心到直线距离等于半径。 2. 联立方程求交点，结合勾股定理、相似、圆周角定理处理角度与线段。 3. 画图分析，确定动点范围，检验结果是否符合图像位置，避免漏解、增根。 难点精练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 3．我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E． (1)求⊙C的标准方程； (2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由； (3)连接CE，求sin∠AEC的值． 基础达标 1．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 3．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 7．已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 8．如图，左边是九年级班荣获的足球赛奖杯，右边是它的截面图，已知，，分别与相切于点，，，则的半径为______． 9．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 10．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 11．已知：如图，为的直径，为的弦，，垂足为．求证：． 12．已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 13．如图，点A，B，C，D均在圆上，，平分，，四边形的周长为，求图中阴影部分的面积． 14．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 15．已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 能力进阶 1．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 2．如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点； （1）； （2）； （3）； （4）连结、，四边形面积为； 上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 4．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 5．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c． (1)，，，求的长； (2)为的外接圆，已知的半径为R，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求的外接圆面积． 6．如图，已知的边上有一点，以点为圆心的圆经过的顶点，与边相切于点，与边交于点，过点作的平行线与的延长线交于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，直接写出的长． 7．如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． (1)若圆心在线段上，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； (3)若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 8．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆 复习要点 1.圆的基本概念与性质：掌握圆、弦、直径、弧、半圆、圆心角、圆周角、扇形、弓形等核定义；理解圆的轴对称性、中心对称性两大基本性质；熟练运用垂径定理及其推论，解决弦、弧、圆心距、半径的相关计算与证明。 2.圆心角与圆周角定理：掌握圆心角、弧、弦三者之间的对等关系定理；熟练运用圆周角定及其推论，明确同弧或等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角、圆内接四边形的对角互补等核心结论，能进行角度计算、几何证明。 3.点、直线与圆的位置关系：掌握点与圆、直线与圆的三种位置关系的判定方法（数量关系与几何关系双重判定）；理解切线的定义与性质，熟练掌握切线的判定定理和性质定理，能完成切线的证明与相关计算；了解三角形的外接圆、内切圆，掌握外心、内心的定义与性质。 4.圆与正多边形及圆的相关计算：理解正多边形与圆的内在关系，掌握正多边形的中心、半径、边心距等概念；熟练掌握弧长公式、扇形面积公式，能进行弧长、扇形面积、简单阴影图形面积的计算；掌握圆锥的侧面积和全面积计算公式，解决圆锥相关实际计算问题。 5.圆的综合应用：整合圆的性质、几何图形（三角形、四边形）性质，掌握圆与几何图形的综合证明、计算思路；能结合方程思想、转化思想解决圆的动态问题、最值问题，适配中考综合题型考查要求。 复习重难点 重点：圆的核心性质应用与核心计算、切线的判定与性质运用。具体包含垂径定理、圆周角定理的综合运用，直线与圆的位置关系判定，弧长、扇形面积、圆锥表面积的相关计算，是本单元必考核心内容。 难点：圆的几何综合推理证明与动态几何问题分析。主要包括切线与三角形、四边形结合的综合证明计算，圆中角度、线段长度的动态推导，阴影图形不规则面积的转化求解，对几何逻辑思维和知识整合运用能力要求较高。 知识点 圆的有关概念与性质 1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。 2. 相关概念：弦（连接圆上任意两点的线段）、直径（经过圆心的弦，是圆中最长的弦）、弧（圆上任意两点间的部分，分为优弧、半圆、劣弧）、等圆（能够重合的两个圆）、等弧（在同圆或等圆中，能够互相重合的弧）、圆心角（顶点在圆心的角）、圆周角（顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角）。 要点归纳 ① 同圆或等圆中，半径相等，直径长度是半径的2倍； ② 等弧必须满足"同圆或等圆"和"长度相等、度数相等"两个条件，仅长度相等的弧不一定是等弧。 要点速测 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 3．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 知识点 圆的重要定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3：圆内接四边形的对角互补。 要点归纳 ① 垂径定理通常结合勾股定理计算弦长、半径或弦心距，核心关系： 半径2= 弦心距2+ (弦长一半)2； ② 遇到直径优先构造直径所对的圆周角，得到直角后结合直角三角形性质解题。 要点速测 1．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， 知识点 与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆外 <=> d > r；点在圆上 <=> d = r；点在圆内 <=> d < r。 2. 直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 相离 <=> d > r，无公共点；相切 <=> d = r，有1个公共点；相交 <=> d < r，有2个公共点。 3. 切线的性质与判定： 性质：圆的切线垂直于过切点的半径； 判定：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 5. 三角形的外接圆与内切圆： 外接圆：经过三角形三个顶点的圆，圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做外心，外心到三个顶点的距离相等； 内切圆：与三角形三边都相切的圆，圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做内心，内心到三边的距离相等。 要点速测 1．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 2．如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 3．如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 4．如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】A 【分析】根据是的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理，再根据，设半径为，得到解方程即可 ． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∴四边形是矩形． 设半径为，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为1． 知识点 圆的相关计算 1. 弧长公式：若扇形的圆心角为n°，半径为r，则弧长。 2. 扇形面积公式：（l为弧长）。 3. 圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长C=2πr（r为底面半径）；圆锥侧面积，全面积。 要点归纳 圆锥侧面展开图的圆心角，其中r为底面半径，l为母线长，该公式可由弧长相等推导得到。 要点速测 1．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 2．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 3．如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求出此扇形的面积． (2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径． 【答案】(1)扇形的面积等于 (2)圆锥的底面半径为 【分析】本题考查了扇形的面积及求弧长： （1）利用扇形的面积公式即可求解； （2）先求得，再根据与圆锥的底面周长等于，进而可求解； 熟练掌握扇形的面积公式及弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为， 扇形的面积为：． （2）扇形的圆心角为，半径为， ， 圆锥的底面周长为， 圆锥的底面半径为：． 题型1 圆心角、圆周角关系应用 ▌例1 如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 解题要点 1.同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同弧所对圆周角相等； 2.直径所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径； 3.结合三角形内角和、等腰三角形性质计算角度。 ▌迁移练1如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练2如图，为的直径，C，D，E为圆上的点，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，等弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型2 垂径定理及其应用 ▌例1 如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 解题要点 1. 过圆心作弦的垂线构造直角三角形； 2. 利用勾股定理建立等量关系：半径² = 弦长一半² + 圆心到弦的距离²； 3. 结合直径、弧中点等条件确定垂线位置，注意分类讨论弦在圆心同侧/异侧的情况。 ▌迁移练1如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． ▌迁移练2如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度，拱形所在圆的半径，求桥拱的高． 【答案】 【分析】根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：如图，设拱桥所在圆的圆心为，中点为C，连接，且交于点D， 根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴， 解得，，负值舍去， ∴． 题型3 点与圆的位置关系判定 ▌例1 点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知当该点在圆内时，半径大于点到圆心的距离是解题的关键．根据点与圆的位置关系即可作答． 【详解】解：点在内，的半径为， ， 只有不符合题意， 故选：B． 解题要点 1. 计算点到圆心的距离d，与半径r比较大小； 2. d > r点在圆外，d = r点在圆上，d < r点在圆内； 3.几何证明中利用位置关系推导角或线段关系。 ▌迁移练1若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． ▌迁移练2如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 题型4 直线与圆位置关系的判定 ▌例1 圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 解题要点 1. 计算圆心到直线的距离d，与半径r比较大小； 2. d > r相离，d = r相切，d < r相交； 3. 结合坐标系、动点问题分析距离变化。 ▌迁移练1如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． ▌迁移练2如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 【答案】与相离，与相切 【分析】过圆心D分别作的垂线，垂足分别为，则的长分别为圆心D到的距离，然后根据三角形中位线定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 【详解】解：如图，过圆心D分别作的垂线，垂足分别为， 则的长分别为圆心D到的距离， 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴E，F分别为的中点 ∴ ∵, ∴ ∴与相离，与相切． 题型5 切线的证明 ▌例1 如图，是的直径，C是中点，下列选项中不能判断 是的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直径所对的圆周角等于推导出，由C是中点得垂直平分，得，由等腰三角形的性质得，然后再利用各选项的条件逐一判定是否等于即可得解． 【详解】解：∵是的直径， ∴，即， ∵C是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵，是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵要使为切线，需， ∴， ∴，但选项中没有给出， ∴不能判断 是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于，切线的判定定理，等边对等角，垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 解题要点 1. 已知直线过圆上一点：连接圆心与该点，证明连线垂直于直线（连半径，证垂直） 2. 未知直线与圆是否有公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径（作垂直，证半径）； 3. 常结合直角三角形、平行线、等腰三角形性质证明垂直关系。 ▌迁移练1如图，是的弦，是过B点的直线，，当________ 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． ▌迁移练2如图，在中，O为上一点，过B，C两点，且与交于点D，，．求证：是的切线． 【答案】证明：如图，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】连接，由等腰三角形的性质及三角形内角和求得，从而求得的度数为，即可证明结论成立． 【详解】证明：略． 题型6 切线性质的应用 ▌例1 如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由切线的性质可得，求出，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 解题要点 4. 切线垂直于过切点的半径，见到切线必连圆心与切点得直角； 5. 结合直角三角形勾股定理、相似三角形计算线段长度或角度。 ▌迁移练1是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌迁移练2如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数． 【答案】 【分析】连接，由平行线的性质及切线的性质可求得的度数，从而求得的度数，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型7 弧长计算 ▌例1 如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 解题要点 1.熟记公式l = ，n为圆心角度数，R为圆的半径； 2.结合圆周角定理转化圆心角度数再代入计算。 ▌迁移练1中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． ▌迁移练2已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 【答案】证明：如图，连接， 设的半径，则， ∵的长度， 的长度， ∴两弧的长度相等． 即：的长等于的长． 【分析】根据圆周角定理可得出，设，则，再根据弧长公式可得出结论． 【详解】略 题型8 扇形面积计算 ▌例1 某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点，由圆周角定理推出是等边三角形，再根据垂径定理和三线合一的性质，易证，得到，进而得出工件的面积，即可得解． 【详解】解：如图，作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点到点的距离等于， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 工件的面积． 解题要点 1. 两个公式灵活选用：S = 、S = lR； 2. 根据已知条件选择对应公式计算。 ▌迁移练1如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由题意得，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质求出，最后根据扇形面积公式计算． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ， 扇形的面积为． ▌迁移练2如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． 【详解】（1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． 题型9 阴影部分面积计算 ▌例1 如图，在矩形中，．以的中点O为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设半圆交于点，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而通过得到，推出，即可求解． 【详解】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 解题要点 1.常用方法：割补法、和差法、等积转化法； 2.将不规则阴影转化为规则扇形、三角形、梯形等图形的面积和差计算。 ▌迁移练1如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】过点D作于点E，求出，再根据阴影部分的面积等于菱形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∴， ∴． ▌迁移练2如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 题型10 三角形内切圆与外接圆综合 ▌例1 若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 解题要点 1. 分清外心、内心：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（外接圆半径 R）；内心是三角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径 r）。 2. 综合题常结合面积：三角形面积，用来求内切圆半径。 3. 解题思路：看到外接圆优先找圆周角、直径；看到内切圆优先作切点垂线，利用角平分线、等线段转化。 ▌迁移练1如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． ▌迁移练2如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【答案】的度数是 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵O是的外心， ∴． 题型11 正多边形与圆综合 ▌例1 如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 解题要点 1. 正多边形内接于圆，中心角、半径、边心距、边长可构造直角三角形求解（半径为斜边，边心距与边长一半为直角边）。 2. 解题核心：把正多边形问题转化为解直角三角形，常结合勾股定理、三角函数计算边长、边心距、面积。 3. 看清条件，区分外接圆半径（顶点到中心）和边心距（中心到边）。 ▌迁移练1如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． ▌迁移练2延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【详解】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 难点一 圆与三角函数/相似三角形的综合问题 规律探究 1. 直角转化规律：直径所对的圆周角是直角，切线与过切点的半径垂直，这两个性质是圆中构造直角三角形的核心依据，所有三角函数问题都需要依托圆中的直角转化求解 2. 相似三角形的常见模型：圆中常出现"A型""X型""射影定理"三类相似模型，通常由圆周角相等、弦切角等于所对圆周角推导角相等，进而证明三角形相似 3. 比例转化规律：利用相似三角形对应边成比例，可将圆中未知线段的长度转化为已知线段的比例关系，实现长度求解 方法透析 1. 直角构造法：遇到求三角函数值的问题，首先寻找圆中已有的直角，若没有则构造直角：利用直径作圆周角，或过点作垂线构造直角三角形，将所求角放到直角三角形中计算 2. 等角转化法：若所求角不在直角三角形中，利用圆周角定理将角转化为同弧所对的其他相等角，再计算三角函数值 3. 相似搭桥法：当线段无法直接求解时，利用角的关系证明三角形相似，通过比例式建立已知线段和未知线段的联系，解方程得到结果 难点精练 1．如图，为的直径，点C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接，． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接 ， 是的切线，且切点为， ， 又， ， ， 在中，， ， ， 即是的角平分线； (2) (3) 【分析】（1）利用切线的性质得出，结合得出，再通过平行线和等腰三角形的性质证明角平分线； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出 ，结合（1）的结论证明 ，利用相似比求出； （3） 将阴影部分面积转化为扇形面积与三角形面积的差或和进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：为 的直径， ， 由（1）知， 在 和 中， ， ， ， ， ，， ， （3）解：由（2）知 ， 在 中， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， ， 是 的中线， ， 阴影部分的面积为． 2．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 3．如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为点，交于点，连接，交弦于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 直线与相切于点， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）利用切线性质得到，结合推出，由两直线平行内错角相等以及等边对等角即可证出平分； （2）过点作，先由两直线平行同位角相等得到，利用余弦定义表示出、的长度，再利用证明，得到；最后由两角对应相等得出，列出对应边成比例的关系式，约去半径即可求出长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，垂足为点，设的半径为， ， ， ， ， 在中，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 难点二 圆与函数的综合问题 规律探究 1. 圆的几何约束（半径相等、垂直、直角）转化为坐标关系，函数图像提供点的坐标，两类条件互相转化。 2. 动点在函数图像上，同时满足圆的半径、相切、相交等条件，往往存在多解，注意分类讨论。 3. 最值问题常依托圆的定点定长特征，结合一次、二次函数的增减性求解。 方法透析 1. 建系设点，把几何条件翻译成代数式；利用距离公式表达半径，相切转化为圆心到直线距离等于半径。 2. 联立方程求交点，结合勾股定理、相似、圆周角定理处理角度与线段。 3. 画图分析，确定动点范围，检验结果是否符合图像位置，避免漏解、增根。 难点精练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) (3) 相交． 证明：连接，则， 抛物线交轴于两点坐标分别为，． 对称轴， ，，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 抛物线的对称轴与相交． 【分析】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识； （1）已知抛物线交轴于，交轴于、两点坐标分别为，，把以上三点的坐标分别代入抛物线，求出，，的值即可求出此二次函数的解析式； （2）过点作轴与点，设，再证明即可求解； （3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的解析式及、的坐标，分别求出线段、、的长度，再求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可． 【详解】（1）抛物线交轴于，交轴于两点坐标分别为， ， 解得 抛物线的解析式为：； （2）过点作轴与点． 点在抛物线上， 设点坐标为． ，， ，， ， ， ， ． 解得：或（舍去）． ． 点的坐标为． （3）略 2．如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 【答案】(1) (2) (3)点Q在以中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为 【分析】（1）根据点点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答； （2）根据点Q为的中点，且，可得点D在上，进而得出点D的坐标，即可求解； （3）根据题意得，则点Q在以为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出轴，，则点Q在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、， ∴该函数的解析式为， ∴． （2）解：连接， ∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且， ∴点D在上， ∴， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （3）解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∵、，， ∴当点P与点B重合时，，即， 当点P与点A重合时，，即， ∴轴，， ∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动， 点Q的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系． 3．我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E． (1)求⊙C的标准方程； (2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由； (3)连接CE，求sin∠AEC的值． 【答案】(1)（x﹣5）2＋（y﹣4）2＝25 (2)相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接CD、CB，过点C作CF⊥AB于点F，设⊙C的半径为r，根据切线的性质可得：CD⊥y轴，CD=CB=r，再运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （2）先利用待定系数法求得抛物线解析式并化为顶点式，得出E（5，-），再运用勾股定理逆定理即可证得结论； （3）运用三角函数定义即可求得答案． 【详解】（1）如图1，连接CD、CB，过点C作CF⊥AB于点F， 设⊙C的半径为r， ∵⊙C与y轴相切于点D（0，4）， ∴CD⊥y轴，CD＝CB＝r， ∵∠CDO＝∠CFO＝∠DOF＝90°， ∴四边形CDOF是矩形， ∴OF＝CD＝r，CF＝OD＝4， ∴BF＝OB﹣OF＝8﹣r， ∵∠BFC＝90°， ∴BF2＋CF2＝BC2，即（8﹣r）2＋42＝r2， 解得：r＝5， ∴C（5，4）， ∴（x﹣5）2＋（y﹣4）2＝52， ∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2＋（y﹣4）2＝25； （2）直线AE与⊙C相切，理由如下： 由（1）知：C（5，4），CF⊥AB， ∴AF＝BF，F（5，0）， ∵B（8，0）， ∴A（2，0）， 设经过点A、B、D的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8）， 则a×（0﹣2）×（0﹣8）＝4， 解得：a， ∴y（x﹣2）（x﹣8）（x﹣5）2， ∴E（5，）， 如图2，连接CE，CA， ∵A（2，0），C（5，4），E（5，）， ∴AC＝5，CE＝4﹣（）， AE， ∵AE2＋AC2＝（）2＋52，CE2＝（）2， ∴AE2＋AC2＝CE2， ∴∠CAE＝90°，即CA⊥AE， ∵CA为⊙C的半径， ∴AE与⊙C相切于点A； （3）如图2，由（2）知：∠CAE＝90°，AC＝5，CE， ∴sin∠AEC． 【点睛】本题考查了待定系数法，圆的性质，垂径定理，切线的性质和判定，勾股定理及逆定理，三角函数定义等知识，第（2）小题要注意运用勾股定理逆定理． 基础达标 1．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵ 底面直径为， ∴ 底面半径为： ， ∴ 底面积 为：， ∵ 圆柱体积 ， ∴ ． 2．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理求出相关线段的长度． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径，且， 可得． 由于， 所以． 在中，，， 根据勾股定理． 所以． 3．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 4．如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解． 【详解】解：连接 ，如图， ， ，， ， 由图可知， 又， . ， ． 5．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 6．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 7．已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 8．如图，左边是九年级班荣获的足球赛奖杯，右边是它的截面图，已知，，分别与相切于点，，，则的半径为______． 【答案】 【分析】如图，连接、，根据切线的性质及切线长定理得，，再根据正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与相切于点，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴的半径为． 9．如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 10．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 11．已知：如图，为的直径，为的弦，，垂足为．求证：． 【答案】证明：为的直径，且， ， ． 【分析】利用垂径定理推出两段弧相等，再依据同圆中等弧对等弦，证得线段相等． 【详解】略 12．已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 【答案】证明：如图，连接，作于点F，于点E，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A、D都在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴圆心O到弦的距离相等． 【分析】连接，作于点F，于点E，由推导出，则，由垂径定理得，则，而，可根据“”证明，得，即可证明圆心O到弦的距离相等． 【详解】略． 13．如图，点A，B，C，D均在圆上，，平分，，四边形的周长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】设的中点为O，连接，证明得，证明，都是等边三角形可得，作于点H，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接， 因为， 所以，， 因为平分， 所以， 所以，， 所以为圆的直径，点O为圆心， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 同理可证，，都是等边三角形， 所以， 因为四边形的周长为， 所以， 所以半径为， 作于点H，则， 所以 所以， 所以， 因为， 所以． 14．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 15．已知：如图，P为外一点，与相切于点A．连接，，为的直径、连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为、，求的长． 【答案】(1)与相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明，然后根据“边角边”证明，可得，进而得出答案； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后说明，可得，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点O作于点D， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 能力进阶 1．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 2．如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点； （1）； （2）； （3）； （4）连结、，四边形面积为； 上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，进行判断； （2）连接，证明，便可判断正误； （3）连接、，延长到点，使，连接，证明，得是等腰直角三角形，便可判断正误； （4）由全等三角形得，进而由等腰直角三角形的面积公式，便可判断正误． 【详解】解：（1）平分， ， ，故（1）结论正确； （2）连接， ， ， ， ， ，故（2）结论正确； （3）连接、，延长到点，使，连接， 四边形是的内接四边形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故（3）结论正确； （4）， ， ，故（4）结论错误； 综上所述，正确的有3个． 3．如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 4．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于长方形面积减去和的面积，根据已知比例关系，将转化为长方形长和宽的分数倍，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c． (1)，，，求的长； (2)为的外接圆，已知的半径为R，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求的外接圆面积． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点A作的直径，连接 、， ∵为的外接圆，已知的半径为R， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即． (3)的外接圆面积为 【分析】（1）过点 作于点，则，在和中，利用锐角三角函数和勾股定理即可求解； （2）过点A作的直径，连接 、，由为的外接圆，已知的半径为R，可得，，，，则在和中，即可证明结论； （3）由，，可得，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点 作于点，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的外接圆面积为． 6．如图，已知的边上有一点，以点为圆心的圆经过的顶点，与边相切于点，与边交于点，过点作的平行线与的延长线交于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，直接写出的长． 【答案】(1)．理由如下： 如图，连接． 与边相切于点， ． ． 为的直径， ． ． ， ． ． ， ． ． (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质和直径所对圆周角为直角可证明，且，由与平行可得，即可求解； （2）证明，得到，接着求出与，得到，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去） 7．如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． (1)若圆心在线段上，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； (3)若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图1，连接，则， 在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，则，即， ∵是的半径， ∴是的切线； (3)或 【分析】（1）利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用角的等量代换证出即可； （3）分类讨论与各边相切时的情况，利用勾股定理和相似三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵是的外接圆，且圆心在线段上， ∴是的直径，点在上， ∴； （2）略 （3）解：如图2，当与相切时，与只有一个交点，即为切点， 连接并延长与相交于点， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，， 由垂径定理得，， ∴； 如图3，当与BC相切时，设切点为，延长交于点， 过点作于点，于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴，则， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同前可得，， ∴， ∵与有两个交点和，与有两个交点和， ∴与和所在的直线都不相切， 综上所述，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了几何综合，其中涉及到了平行四边形的性质，切线的判定，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质，合理分析题目作出辅助线是解题的关键． 8．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 【答案】(1)45° (2)①（4，0）或（8，4）；② 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的度数； （2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于、两点，由AH＝4=OH＝BH，得到坐标为（4，0）．连接，由，，得到坐标为（8，4）； ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问题． 【详解】（1）∵，点B为抛物线顶点， ∴点B的坐标为（4，－4）． 作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4， ∴∠AOB＝45°． （2）①，解得，， ∴ A点坐标为（8，0）． 作OB的垂直平分线交⊙A于、两点， ∵⊙A半径为4，AH＝4， ∴点H在⊙A上，此时OH＝BH， ∴点H与点重合， ∴坐标为（4，0）． 连接， ∵，， ∴，则坐标为（8，4）， 综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）． ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8）， 连接MD， ∵点N为OM中点， ∴ ． 如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值， 当点M在点E处时，MD有最小值， ∵点A、D横坐标相同， ∴此时MD⊥x轴， ∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $