精品解析：辽宁沈阳市东北育才学校2026-2027学年高三上学期第二次模拟练习数学试卷

高三考试 数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 6. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则在上单调递减 B. 存在，使得的图象与轴相切 C. 存在，使得有极大值 D. 若，则 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象的解析式为 C. 命题“，”的否定为“，” D. 若，则 10. 已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 设，若，则 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 与第三象限的交点横坐标在区间内 D. 直线被截得弦长的最大值为 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 若时，取得最大值，则______． 13. 若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则_____，数列的前项和为，则_____． 四．解答题（共5小题，15题13分，16、17题15分，18，19题17分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，若，，的面积为． （1）求，； （2）设，边上的两条中线，相交于点，求． 16. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 17. 已知函数（）． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 18. 设函数，． （1）①当时，证明：； ②当时，求的最大值； （2）若数列满足，，，证明：（）． 19. 已知，若对任意的，则有定义：是在关联的． （1）判断和证明是否在关联？是否有 关联？ （2）若是在关联的，在时，，求解不等式：． （3）证明：是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三考试 数学试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的真假性可得命题为真时，进而根据与的关系即可判断充分不必要条件. 【详解】由，可得对，，又因为，所以， 若，则成立，即，成立； 反之，若，成立，则，不能推出. 所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：A. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式得， 所以， 解不等式得， 所以， 则． 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 5. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 6. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 7. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 8. 已知函数，，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则在上单调递减 B. 存在，使得的图象与轴相切 C. 存在，使得有极大值 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据判断导函数恒负，直接得到在单调递减判断A；相切等价于存在点满足函数值、导数值同时为 0，联立方程可解出对应的实数a判断B；讨论参数范围，导函数要么恒负单调递减，要么单增只有一个极小值点，永远不存在极大值判断C；构造，放缩后转化为完全平方，证明差恒大于0判断D． 【详解】，求导得， 当时，，结合，则， 故，故在上单调递减，A正确； 若的图象与轴相切，则存在切点， 则，整理得，故，即，故B正确； 当时，恒成立，单调递减，无极值； 当时，，是单调递增函数， 时，时， 故仅有一个零点，且零点左侧，右侧， 故该点是极小值点，只有极小值，不存在极大值，故C错误； 构造差函数，则 ， 令，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故在时取得最小值，，故恒大于0， 时，，故， 故， 即，D正确． 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象的解析式为 C. 命题“，”的否定为“，” D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量共线的性质判断A；根据三角函数图象平移规则判断B；全称命题的否定形式判断C；利用三角函数齐次式的求值方法判断D. 【详解】 选项A：当时，零向量与任意向量都平行，此时满足、， 但与不一定平行，故A错误， 选项B：将向左平移个单位，将替换为， 可得解析式为，故B正确， 选项C：全称命题的否定为特称命题，既要改全称量词为存在量词，也要否定结论， 原命题的否定应为“”，故C错误， 选项D：由诱导公式可得， 将分子分母同除以（），得，故D正确. 10. 已知某图书馆阅读者的日阅读时长（单位：小时）服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 设，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B直接用与期望的线性运算求解；C根据正态分布的对称性进行判断；D用对称性把对称区间上的概率写成． 【详解】由知，． 对于A，正态分布的方差就是，故，A正确． 对于B，，B错误． 对于C，表明与到对称轴的距离相等， 即，解得，C正确． 对于D，因与关于对称，故， 于是，D错误． 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 与第三象限的交点横坐标在区间内 D. 直线被截得弦长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：分析可知的反函数为，结合反函数的对称性即可判断；对于BC：可知函数与的交点在直线上，可得，令，利用导数分析零点，进而分析判断；对于D：找出过与曲线相切且与平行的点即可判断. 【详解】对于选项A：因为，即，可得， 可知的反函数为， 所以封闭曲线关于对称，故A正确； 对于选项BC：因为函数与的交点在直线上， 联立方程，可得， 令，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减；在上单调递增， 且，，， 则在有一个零点，另一个零点为， 可知与第三象限的交点横坐标在区间内，故C正确； 设，，所以，且故B错误. 与曲线对称轴垂直， 如图，只需考察曲线上到距离最大值即可， 找出过与曲线相切且与平行的点即可， 令，令，解得， 此时到的距离， 所以直线被截得弦长最大值为，故D正确. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 若时，取得最大值，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数性质、诱导公式及和角的正弦求解. 【详解】依题意，， 其中锐角由确定，当且仅当时，取得最大值， 因此，即，则， 所以. 13. 若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得：由两个函数（且）与图像的交点转化为方程的解，再由方程转化为两函数与图像的交点，再利用导数求出函数的单调性及最大值，从而可得到的取值范围即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得： 指数函数（且）与三次函数的图象 恰好有两个不同的交点， 等价于方程有两个不同的解， 对方程两边同时取对数得：， 即， ， ， 从而可转化为：与在图像上有两个不同的交点， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值，也是最大值，最大值为， 又因为当时，， 当时，， 所以， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了函数与方程以及利用导数求函数的最大值，考查了学生的计算能力，属于一般题. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设，已知，，则_____，数列的前项和为，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由导数算出牛顿迭代的具体形式，再把与相除，发现每次取平方，从而，按等比数列求通项与前项和． 【详解】由得， 故， 从而． 两式相除得， 于是， 即是首项为、公比为的等比数列， 所以，． 四．解答题（共5小题，15题13分，16、17题15分，18，19题17分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，若，，的面积为． （1）求，； （2）设，边上的两条中线，相交于点，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式得到的值，再结合余弦定理得到，联立方程组，根据求出； （2）先在中求出，分别在、中用余弦定理算出两条中线长，再由重心性质得到，最后在中用余弦定理求出． 【小问1详解】 由三角形面积公式，解得， 由余弦定理，则，故， 联立，则， 又，则，解得． 【小问2详解】 在中，， 是边上的中线，D为中点，故， 在中，由余弦定理 ，故， 是边上的中线，是中点，故，在中，由余弦定理： ， 故， 由重心的性质，， 在中，由余弦定理： ． 16. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】（1） （2）分布列如下表所示： 1 2 3 4 ， （3） 【解析】 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【小问1详解】 设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 【小问3详解】 依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 17. 已知函数（）． （1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2）若，在内单调递增， 若，在内单调递减，在内单调递增． （3）证明：当时，， 设，则（）， 设（），， 则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以，而在单调递减， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，建立等量关系，即可求出的值；（2）先求导并因式分解，结合定义域，对进行分类讨论即可判断导数的符号，从而得出函数的单调区间；（3）代入，构造新的函数，利用导数求新函数的最小值，证明最小值大于即可. 【小问1详解】 因为，又函数在处的切线与直线平行， 所以，即； 【小问2详解】 由题可得（）， 因为，则， 所以，若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增； 【小问3详解】 略 18. 设函数，． （1）①当时，证明：； ②当时，求的最大值； （2）若数列满足，，，证明：（）． 【答案】（1）①由题意得在恒成立， 故在上单调递增， 故，证毕； ②1 （2），，，其中， 故只需证明，（）， ，，， 由（1）可知，， 上式两边取倒数得，故， 于是， （）. 【解析】 【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出； ②先得到为偶函数，考虑时，求导，结合①可知，在上单调递减，从而求出函数最值； （2）先得到，故只需证明，由（1）可知，从而裂项相消法求和得到证明. 【小问1详解】 ①略； ②，恒有，故为偶函数， 当时，， 由①可知在上恒成立， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减，， 结合函数在上为偶函数可得，函数的最大值为. 【小问2详解】 略. 19. 已知，若对任意的，则有定义：是在关联的． （1）判断和证明是否在关联？是否有 关联？ （2）若是在关联的，在时，，求解不等式：． （3）证明：是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”． 【答案】（1）在关联；在不关联； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）任取，证明，证明在关联；取，证明在不关联； （2）先得到，再得到和的解析式，进而得到答案； （3）先证明是关联的，且是在关联的，在是关联的，再证明在是关联的是在关联的，，且是在关联的． 【小问1详解】 在关联；在不关联； 任取，则， ∴在关联； 取，则， ∵， ∴在不关联； 【小问2详解】 ∵是在关联的， ∴对于任意，都有， ∴对任意，都有， 由时，，得在的值域为 ， ∴在的值域为 ， ∴仅在或上有解， 时，，令，解得， 时，，令，解得， ∴的解为； 【小问3详解】 ①先证明：是关联的，且是在关联的，在是关联的， 由已知条件可得，， ∴， 又∵是在关联的， ∴任意任取，成立， 若， ∴， ∴，即， ∴， ∴是关联， ②再证明：在是关联的是在关联的，且是在关联的， ∵是关联， ∴任取，都有成立， 即满足，都有， 下面用反证法证明， 若，则， 与在是关联的矛盾， 若，而在是关联的，则，矛盾， ∴成立，即是在关联的， 再证明是在关联的， 任取，则存在，使得任取， ∵， ∴， ∴， ∴是在关联的； 综上所述，是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”， 故得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $