拓展专题04 直线与圆重难题型全归纳（期中复习讲义·培优版，10大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题04 直线与圆重难题型全归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 直线与线段有交点问题 题型二 直线中的平行与垂直 题型三 对称问题 题型四 距离问题 题型五 轨迹方程 题型六 弦长问题 题型七 切线问题 题型八 两圆的公共弦、公切线问题 题型九 与圆有关的最值和范围问题 题型十 新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 能准确判断倾斜角范围与斜率存在性，掌握过两点斜率公式及斜率随倾斜角的变化规律 基础必考，常与直线与圆位置关系综合出现 两条直线的平行与垂直判定 能利用斜率关系或一般式系数关系准确判定，注意斜率不存在时的特殊情况 常与距离公式结合，出现在选填题中 点到直线的距离与两平行线间的距离 能熟练运用距离公式，注意直线方程须化为一般式后再代入 高频基础考点，求距离、求参数范围中全程使用 圆的标准方程与一般方程 能根据条件求圆的方程，掌握配方法化一般式为标准式，注意一般方程表示圆的条件 必考基础，多与直线与圆位置关系综合考查 直线与圆的位置关系判断 能通过圆心到直线距离与半径比较判断位置关系，或用判别式法，注意两种方法的选择 高考热点，选填题常考弦长、切线问题，难度中等 圆与圆的位置关系 能通过圆心距与半径和差比较判断位置关系，注意内含与外离的区分 常与圆的方程综合，出现在选填题中 直线与圆中的弦长与切线问题 能利用垂径定理求弦长，掌握过定点求切线方程的两种情形（斜率存在与否） 高频考点，弦长最值、切线条数判断是常见设问 与圆有关的最值问题 能将斜率型、距离型目标转化为几何意义，利用圆心到直线距离或两点距离求解 常出现在选填压轴位置，数形结合是核心方法 知识点01 直线的斜率与倾斜角的关系 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而增大 ·易错点：误认为倾斜角越大斜率越大，忽略 前后斜率符号与单调性的变化。 知识点02 两条直线平行与垂直 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． ·易错点：用斜率判断平行时漏掉“截距不等”或漏掉斜率不存在的情形，导致重合误判为平行。 知识点03 距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． ·易错点：求两平行线间距离时，未把两直线方程化为相同系数就直接相减常数项。 知识点04 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点05 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点06 圆与圆的公共弦与公切线 设: : 联立作差得到：即为两圆公共弦方程 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点07 对称问题 一、点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 二、直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 三、点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 知识点08 直线与圆的最值（范围）问题 一、与圆有关的最值与范围问题的常用技巧 1、数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. 2、建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. 3、利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. 4、多与圆心联系，转化为圆心问题. 5、参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 二、与对称有关的三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五、弦长长度的最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 题型一 直线与线段有交点问题 解｜题｜技｜巧 设直线过定点，利用斜率或参数表示直线，转化为定点与线段两端点连线斜率之间的范围；或联立方程，要求交点参数落在线段对应的参数区间内。 【典例1】（25-26高二上·江西南昌·月考）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或.    故选：D 【变式2】（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为， 令，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，    将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 题型二 直线中的平行与垂直 答｜题｜模｜板 一般式用系数关系判定（平行看系数成比例、垂直看 ）；含参数时列方程后回代检验是否重合。 【典例1】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（   ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 【答案】D 【分析】根据两直线垂直时的斜率关系求解即可，注意讨论斜率是否存在. 【详解】当，即时，则直线的斜率不存在，此时直线的斜率， 所以直线与直线垂直，满足条件， 当时，直线的斜率存在，且斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以， 解得； 综上，的值为5或2， 故答案为：D. 【变式1】（25-26高二上·辽宁·月考）平面直角坐标系中，直线与直线平行，则（   ） A．或3 B．3 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据两条直线平行的充要条件直接可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知为实数，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若，则，故， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型三 对称问题 答｜题｜模｜板 点关于点对称用中点坐标公式；点关于直线对称列“中点在直线上”与“连线与直线垂直”两个方程；圆关于直线对称只对称圆心。 易｜错｜点｜拨 求点关于直线对称点时只列垂直条件，漏掉中点条件，导致解不唯一或解错。 【典例1】（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 【典例2】（25-26高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C 【变式1】（25-26高二上·江苏南京·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 题型四 距离问题 解｜题｜技｜巧 点到直线距离先化一般式再代公式；两平行线间距离先统一 系数再代公式；可结合图形用等面积法转化。 【典例1】（25-26高二上·山西临汾·月考）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两平线间的距离公式，即可求解. 【详解】直线，即，其斜率为，纵截距为， 又，其斜率为，纵截距为，所以两直线平行， 则间的距离为， 故选：A. 【变式1】（25-26高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 【变式2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）顺次连接，，，四点所得的四边形面积为（   ） A．18 B．26 C．35 D．27 【答案】D 【分析】利用斜率与直线的位置，确定四边形形状，进而求解. 【详解】由题可得， 所以， 又因为 所以四边形有且仅有一组对边平行，即为梯形. 直线方程：，直线方程：， 两条平行直线之间距离为：， 又， 所以梯形面积为：. 故选：D 题型五 轨迹方程 解｜题｜技｜巧 设动点坐标，把几何条件（距离相等、垂直、比值定值等）翻译为等式化简；注意剔除不满足条件的点。 易｜错｜点｜拨 化简过程中平方或约分引入增解，未回代检验，导致轨迹多出点或整条曲线。 【典例1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 【变式1】（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得； （2）待定系数法求解圆的方程； （3）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心坐标为，进而可得半径，即可得圆的方程； （2）设，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. （2）设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 题型六 弦长问题 解｜题｜技｜巧 优先用垂径定理，由圆心到直线距离与半径求半弦长；联立方程时用韦达定理与弦长公式。 易｜错｜点｜拨 用弦长公式时忘记先验证判别式大于零，直线与圆不相交仍套公式得出错误弦长。 【典例1】（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 【典例2】（2026·重庆江津·三模）若抛物线的准线为，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】求出抛物线的准线方程，再利用几何法求出弦长. 【详解】抛物线的准线，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以圆截直线所得弦长为. 【变式1】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】圆的弦长与中点弦、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先判断点与圆的位置关系，可知点在圆内，得到最长弦长和最短弦长，再根据等差数列的定义，分别求出公差，即可求出其范围. 【详解】由题意知，圆C的圆心为，半径为5，圆心C到点的距离为4，所以点在圆内． 圆中最长的弦为圆的直径，长度为10； 当与弦垂直时弦长最短，其长为， 所以弦长的取值范围为. 当，时，； 当，时，； 因此，公差d的取值范围为． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦 【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 题型七 切线问题 解｜题｜技｜巧 过圆上一点切线用“圆心与切点连线垂直于切线”；过圆外一点求切线需分斜率存在与不存在两种情况，用圆心到直线距离等于半径列式。 【典例1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】切线长、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 【典例2】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、已知切线求参数 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 【变式2】（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、二倍角的余弦公式 【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，结合二倍角公式可得的值． 【详解】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D 题型八 两圆的公共弦、公切线问题 解｜题｜技｜巧 公共弦所在直线由两圆方程相减得到，再用垂径定理求弦长；公切线条数先由圆心距与半径和差判断两圆位置关系。 易｜错｜点｜拨 两圆方程相减前未判断两圆是否相交，把相离或内含时得到的直线误当作公共弦。 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 【典例2】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 【变式1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 【变式2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 题型九 与圆有关的最值和范围问题 解｜题｜技｜巧 斜率型转化为过定点直线与圆有公共点的斜率范围；距离型转化为圆心到定点距离加减半径；截距型用平移直线与圆相切求临界值。 易｜错｜点｜拨 求圆上点到定点距离最值时，不判断定点在圆内还是圆外，机械套用“圆心距加减半径”导致最小值出错。 【典例1】（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 【变式1】（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 题型十 新定义问题 解｜题｜技｜巧 逐条拆解新定义的条件，先判断它对应的是距离、斜率还是位置关系，再转化为已学的直线与圆的知识处理。 【典例1】（25-26高二上·安徽·期中）已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 【答案】C 【分析】根据点在圆上得到的值，然后根据定义求“镜像距离”即可. 【详解】由题意得，， 有四种情形： ，，； ，，； ，，； ，，. 故选：C. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用新定义推理判断①；举例说明判断②③. 【详解】对于①，点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，①正确； 对于②，取，则，②错误； 对于③，取，则，③错误， 所以真命题的个数为1. 故选：B 【变式2】定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 【答案】C 【详解】圆的标准方程为：， 圆的圆心为，而圆关于直线对称， 故在直线上，故，解得. 故选：C. 2．已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 3．已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以， 故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 4. 已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 【答案】 【详解】圆C：的圆心，半径， 设点关于直线l：的对称点为， 由，解得，即点， ， 当且仅当为线段的中点时取等号， 所以折线ABP的最短长度是. 故答案为： 5．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2． 故选：B． 2. 设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 3．已知圆心为，直线与圆相切于点，则圆的半径长为_____． 【答案】 【详解】由题意，直线的斜率为2， 则，解得，即， 则圆的半径长为. 故答案为：. 4．若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 【答案】且， 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且 5. 已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）由题意，解得或， 时，两直线方程都是，重合，不合题意； 时，两直线方程为，，平行． 所以； （2）由， 可得， 所以圆，半径为， 因为与圆：的相交弦长为， 所以圆心到直线：的距离， 即， 解得：， 即直线方程为：. 6. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知，为等边三角形，因为点为线段的三等分点， 不妨取，由余弦定理得，， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 由动点可知，均为直线上的动点， 因为，所以，则， 要使，所以点在以为直径的圆上，则圆与圆有公共点； 又原点到直线的距离为， 当圆的圆心为直线上离原点最近的点，且两圆外切时， 圆的半径取得最小值， 所以，的中点为直线上的动点，，故对任意的取值，总存在，故圆与圆有公共点，故无最大值， 故的取值范围为. 故选：C. 2.已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 3．已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由，可得， 化简可得：， 配方可得， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， 令，则表示点与点连线的斜率， 设过点且与圆有公共点的直线方程为， 则圆心到直线的距离，即， 解得，所以， 即， 故答案为： 4. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【详解】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 5. 如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 【详解】（1）当直线过圆心时，，解得， ，． （2）直线与圆相切，，设直线的斜率为，则，故， 直线的方程为，整理得，且， 圆心到直线的距离， 记，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，解得， 当时，，此时弦长最短， 由弦长公式得． （3），设，则，， 设点到直线的距离为，则①， （i）如图，当点在直线的同侧时，②， 联立①②解得或， 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，故满足条件的点有2个， ，即，联立，无解； 联立或， 满足条件的点即为； 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个， ，即，联立或； 联立（不合题意，舍去）； 满足条件的点即为； （ii）如图，当点，在直线异侧时，③ 联立①③解得（舍）或（舍），满足条件的点不存在， 综上，满足条件的点共有4个，即为，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆重难题型全归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 直线与线段有交点问题 题型二 直线中的平行与垂直 题型三 对称问题 题型四 距离问题 题型五 轨迹方程 题型六 弦长问题 题型七 切线问题 题型八 两圆的公共弦、公切线问题 题型九 与圆有关的最值和范围问题 题型十 新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 能准确判断倾斜角范围与斜率存在性，掌握过两点斜率公式及斜率随倾斜角的变化规律 基础必考，常与直线与圆位置关系综合出现 两条直线的平行与垂直判定 能利用斜率关系或一般式系数关系准确判定，注意斜率不存在时的特殊情况 常与距离公式结合，出现在选填题中 点到直线的距离与两平行线间的距离 能熟练运用距离公式，注意直线方程须化为一般式后再代入 高频基础考点，求距离、求参数范围中全程使用 圆的标准方程与一般方程 能根据条件求圆的方程，掌握配方法化一般式为标准式，注意一般方程表示圆的条件 必考基础，多与直线与圆位置关系综合考查 直线与圆的位置关系判断 能通过圆心到直线距离与半径比较判断位置关系，或用判别式法，注意两种方法的选择 高考热点，选填题常考弦长、切线问题，难度中等 圆与圆的位置关系 能通过圆心距与半径和差比较判断位置关系，注意内含与外离的区分 常与圆的方程综合，出现在选填题中 直线与圆中的弦长与切线问题 能利用垂径定理求弦长，掌握过定点求切线方程的两种情形（斜率存在与否） 高频考点，弦长最值、切线条数判断是常见设问 与圆有关的最值问题 能将斜率型、距离型目标转化为几何意义，利用圆心到直线距离或两点距离求解 常出现在选填压轴位置，数形结合是核心方法 知识点01 直线的斜率与倾斜角的关系 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而增大 ·易错点：误认为倾斜角越大斜率越大，忽略 前后斜率符号与单调性的变化。 知识点02 两条直线平行与垂直 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． ·易错点：用斜率判断平行时漏掉“截距不等”或漏掉斜率不存在的情形，导致重合误判为平行。 知识点03 距离公式 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． ·易错点：求两平行线间距离时，未把两直线方程化为相同系数就直接相减常数项。 知识点04 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点05 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点06 圆与圆的公共弦与公切线 设: : 联立作差得到：即为两圆公共弦方程 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点07 对称问题 一、点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 二、直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 三、点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 四、直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 知识点08 直线与圆的最值（范围）问题 一、与圆有关的最值与范围问题的常用技巧 1、数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. 2、建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. 3、利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. 4、多与圆心联系，转化为圆心问题. 5、参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 二、与对称有关的三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五、弦长长度的最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 题型一 直线与线段有交点问题 解｜题｜技｜巧 设直线过定点，利用斜率或参数表示直线，转化为定点与线段两端点连线斜率之间的范围；或联立方程，要求交点参数落在线段对应的参数区间内。 【典例1】（25-26高二上·江西南昌·月考）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·浙江绍兴·月考）已知点AB斜率为k的直线l过点P则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山西忻州·月考）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线中的平行与垂直 答｜题｜模｜板 一般式用系数关系判定（平行看系数成比例、垂直看 ）；含参数时列方程后回代检验是否重合。 【典例1】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（   ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 【变式1】（25-26高二上·辽宁·月考）平面直角坐标系中，直线与直线平行，则（   ） A．或3 B．3 C． D．以上都不对 【变式2】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知为实数，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 对称问题 答｜题｜模｜板 点关于点对称用中点坐标公式；点关于直线对称列“中点在直线上”与“连线与直线垂直”两个方程；圆关于直线对称只对称圆心。 易｜错｜点｜拨 求点关于直线对称点时只列垂直条件，漏掉中点条件，导致解不唯一或解错。 【典例1】（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏南京·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 题型四 距离问题 解｜题｜技｜巧 点到直线距离先化一般式再代公式；两平行线间距离先统一 系数再代公式；可结合图形用等面积法转化。 【典例1】（25-26高二上·山西临汾·月考）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）顺次连接，，，四点所得的四边形面积为（   ） A．18 B．26 C．35 D．27 题型五 轨迹方程 解｜题｜技｜巧 设动点坐标，把几何条件（距离相等、垂直、比值定值等）翻译为等式化简；注意剔除不满足条件的点。 易｜错｜点｜拨 化简过程中平方或约分引入增解，未回代检验，导致轨迹多出点或整条曲线。 【典例1】（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【变式1】（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 题型六 弦长问题 解｜题｜技｜巧 优先用垂径定理，由圆心到直线距离与半径求半弦长；联立方程时用韦达定理与弦长公式。 易｜错｜点｜拨 用弦长公式时忘记先验证判别式大于零，直线与圆不相交仍套公式得出错误弦长。 【典例1】（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2026·重庆江津·三模）若抛物线的准线为，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 题型七 切线问题 解｜题｜技｜巧 过圆上一点切线用“圆心与切点连线垂直于切线”；过圆外一点求切线需分斜率存在与不存在两种情况，用圆心到直线距离等于半径列式。 【典例1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【典例2】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 题型八 两圆的公共弦、公切线问题 解｜题｜技｜巧 公共弦所在直线由两圆方程相减得到，再用垂径定理求弦长；公切线条数先由圆心距与半径和差判断两圆位置关系。 易｜错｜点｜拨 两圆方程相减前未判断两圆是否相交，把相离或内含时得到的直线误当作公共弦。 【典例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九 与圆有关的最值和范围问题 解｜题｜技｜巧 斜率型转化为过定点直线与圆有公共点的斜率范围；距离型转化为圆心到定点距离加减半径；截距型用平移直线与圆相切求临界值。 易｜错｜点｜拨 求圆上点到定点距离最值时，不判断定点在圆内还是圆外，机械套用“圆心距加减半径”导致最小值出错。 【典例1】（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式1】（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 题型十 新定义问题 解｜题｜技｜巧 逐条拆解新定义的条件，先判断它对应的是距离、斜率还是位置关系，再转化为已学的直线与圆的知识处理。 【典例1】（25-26高二上·安徽·期中）已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知圆关于直线对称，则实数的值为（    ） A．-5 B．-3 C．3 D．5 2．已知点到点的距离为，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 5．已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2. 设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 3．已知圆心为，直线与圆相切于点，则圆的半径长为_____． 4．若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 故答案为：且 5. 已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 6. 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 3．已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 4. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 5. 如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $