微专题 7 三角函数的图象与性质&素养培优9 三角函数中ω、φ的范围问题-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案学生用书

数学 (2)O是平面上一定点，A,B,C是平面上 跟踪训练 不共线的三个点，动点P满足OP=OA十 2.已知点O是△ABC所在平面上的一点， AB AC |AB|coS∠ABC |ACI cos∠BCA △ABC的三边为a,b,c,若aOA+bOB十 λ∈R,则P的轨迹一定通过△ABC的( cOC=0,则点O是△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 A.外心 B.内心 …规律方法》… 求解内心和重心一定在三角形内部，而外心 C.重心 D.垂心 和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推 论中的点都在三角形内部，涉及三角形的四 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练素养培优8 心问题时，要注意观察题目有无这一条件。 微专题7三角函数的图象与性质 ★[高考定位]三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度 为中档偏下 研析考点>层级突破 专点一三角函数的定义基本关系及诱导公式] (2)[多选]已知sina十cosa=5e∈(0，， 核心知识 则下列选项中正确的有 () 1.三角函数：设α是一个任意角，它的终边与 单位圆交于点P(x,y),则sina=y,cosa A.sin a-cos a=5 4 =x,tana=义.各象限角的三角函数值的 B.tan a=3 C.cos a=- 3 符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦， 5 2.同角关系：sin'a十cosa=1,sa=tana. D.sin acos a= 12 cos a 25 方法归纳》 3.诱导公式：在领十a,k∈Z的诱导公式中 应用三角函数的概念和诱导 公式应注意以下两点 “奇变偶不变，符号看象限”. (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定 典题例析 的时候要注意分情况解决，机械地使 用三角函数的定义就会出现错误. [例1] (1)已知cos (2)应用诱导公式与同角三角函数的关系 则sim(-xj小 开方运算时，一定要注意三角函数的 符号；利用同角三角函数的关系化简 A-BC2g2D-2 要遵循一定的原则，如切化弦、化异为 同、化高为低、化繁为简等. 32 [第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 跟踪训练 (2)(2026·上海卷)已知三角函数f(t)= 1.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴 Asin(wt+p)+B(A>0,B∈R,w>0,0≤ 非负半轴重合，cosa= ，P(m,2)为其 p<2π)，若某物体的运动速度v关于时 终边上一点，则m= 间t的函数为v=f(t),当v=0或v=4 A.-4 B.4 C.-1 D.1 时，其导数为0，且初始速度为0，速度第 一次达到4时，用时0.1秒，则f(t) 2.已知tana= 则 1 cos(-a)一sin(π-a) ( 方法归纳》 A.-1 B.1 C.-3 D.3 函数表达式y=Asin(wx十p)的确定方法 吉点二」 三角函数的图象 已知函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0) 核心知识 的图象求解析式时，常用待定系数法，由 函数y=Asin(wx+p)的图象 图中的最高点、最低点或特殊点求A;由 1.“五点法”作图 函数的周期确定w;确定p常根据“五点法” 设2=u十p,分别令2=0，受x,3,2x, 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作 求出相应x的值与相应y的值，描点、连 为突破口，可以从图象的升降找准第一个零 线可得其图象. 点的位置， 2.图象变换 向左(p0)或向右(g<0) 跟踪训练 y-sin x- y=sin(x十p) 平移|p个单位 1.把函数f(x)=3sin3x的图象向左平移 横坐标变为原来的己(o>0) 纵坐标不变 y=sin(wx+p) }个最小正周期后，所得图象对应的函 纵坐标变为原来的A(A0)倍 y=Asin(w+p). 横坐标不变 数为 典题例析 [例2](1)[多选]为了得到函数y=2cos2x Ay=3anx+)Ry=3an3x是》 的图象，只要把函数y=2sin x-图 C.y=3cos 3.x D.y=-3cos 3x 象上所有的点 2.已知函数f(x)=Asin(x十p) A.向左平移个单位长度 A>0,w>0,g<的部分 B.向右平移T个单位长度 3 图象如图所示，fo)=f石 C.向左平移2个单位长度 3 到则副 D.向右平移个单位长度 A.0 B.-1C.-2D.-3 33 数 春点 兰角函数的性质 (2)[多选]已知函数f(x)=Asin(wx十p) 核心知识 A>0,w-0.lel< 的部分图象如图 1.三角函数的单调区间 所示，则 y=sinx的单调递增区间是 [2x-8,2x十]k∈，单调递减区间 是[2kx+受，2kx+]k∈Z):y=c0sx 的单调递增区间是[2kπ一π，2kπ](k∈ Z),单调递减区间是[2kπ，2kπ十π](k∈ A.fx)=3sin3x-f） Z);y=tanx的单调递增区间是 B函数f)的图象关于点(0中心 (x-5,kr十受e∈Z。 对称 2.三角函数的奇偶性与对称轴方程 C函数f(x)在[，]上有最小值 y=Asin(wx+p),当p=kπ(k∈Z)时为 3√2 奇函数；当P=k元十罗（质EZ)时为偶函 2 D.函数f(x)在(0，π)内有3个零点 数：对称轴方程可由wr十p=kx十（∈ Z)求得. …方法归纳》… y=Acos(ax十p),当9=r+(k∈Z) 三角函数的单调性及周期性的求法 (1)三角函数的单调性的求法： 时为奇函数；当o=kπ(k∈Z)时为偶函 求形如y=Asin(awx十p)（或y= 数；对称轴方程可由ωx十p=kπ(k∈ Acos(x十p)(A、w、p为常数，A卡0， Z)求得， w>0)的单调性的一般思路是令x十9 y=Aan(ax十，当g-经(k∈Z)时为 =,则y=Asin之（或y=Acos),然后 奇函数 由复合函数的单调性求解 典题例析 (2)三角函数周期性的求法： [例3](1)(2026·全国I卷)已知f(x) 函数y=Asin(wx+p)(或y= =2sin(ax+0)(a∈Z,0≤0<2π)是偶函 Acos(wx+p)的最小正周期T= 数，f()在区间0，单调递增，则0- 行，庭转别注意)IAsin(w十9 的周期T=o: 34 [第一部分]专题二平面向量、三角函数与解三角形 跟踪训练 1.将函数f(x)=2sim2x+的图象向右 平移需个单位长度，得到函数gx)的图象， 则函数g(x)的一条对称轴方程是( A.f(0)=1 A.=受 Bx=骨 Bx)在区间（售行，1单调递减 C.- D.x=君 C.fx)在区间,6 π5元 的值域为[-1，W3] 2.[多选]已知f(x)=Asin(ax+p) D.fx)在区间，2x有3个极值点 A心0，。>0,0<)的部分图象如图所 ⊙温攀提污 学习至此，请完成配套训练专题精准强化7 示，则 ( 素养培优9 三角函数中w、9的范围问题 三角函数中ω，P的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值（值 域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 研析考点>层级突破 春点一三角函数的最值（值域）与“，9的诹值范圃 春点二单调性与，9的取值范围 典题例析 典题例析一 [例1】函数f）=snar十}，其中。>0， [例2]将函数f(x)=sinx的图象先向右平 若3x1,x2∈[0，π](x1≠x2),使得f(x1)+ 移5个单位长度，再把所得函数图象上的每 f(x2)=2,则ω的取值范围为 个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的] 规律方法》 (w>0)倍，得到函数g(x)的图象.若函数 求三角函数的最值（值域）问题，主要是整体 代换x士P,利用正、余弦函数的图象求解， g)在（一受，0上单调递增，则ω的取值范 要注意自变量的范围， 围是 () 跟踪训练 1.已知函数f(x)=COS Wx一2sin2 uxsin wx (w>0)在(0,2π)上有最小值，没有最大值， c D.(0,1] 则ω的取值范围是 () 规律方法》… A(] [) 若三角函数在区间[a,b]上单调递增，则区间 [a,b]是该函数单调递增区间的子集，利用集 c) D(] 合的包含关系即可求解. 35 数学 跟踪训练 规律方法》 2.在△ABC中，tanA=3tanB,A一B的最大 已知函数的零点、极值点求w,P的取值范 值为.若函数f(x)=sin(ax十p)(aw>0)在 围问题，一是利用三角函数的图象求解；二 区间 一66 ππ 上单调递增，则ω的最大 是利用解析式，直接求函数的零点、极值点 值为 即可，注意函数的极值点即为三角函数的 专点对称轴、零点与a,e的取值范围 最大值、最小值点. 典题例析 跟踪训练 [例3]将函数f(x)=sinx的图象先向右 3.将函数fu)=sim2x+ 3 的图象向左平移 平移5个单位长度，再把所得函数图象上 (p>0)个单位长度得到函数g(x)的图象， 的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原 若x= 来的(o>0)倍，得到函数g(x)的图象. 1为g()图象的一条对称轴，则 P的最小值为 已知函数g(x)在0，上有两个零点， A B段 则w的取值范围为 ( A[) B[) c母 晋 c[) ©温馨提 学习至此，请完成配套训练素养培优9 微专题8三角恒等变换与解三角形 ★[高考定位]三角恒等变换与解三角形是高考考查的热点，多以解三角形为背景，在应用正弦定 理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性较强，解三角形常以解答题的形式考查正、 余弦定理的应用，难度中等 研析考点层级突破 吉原一 三角恒等变换 (2)cos 2a cos2a-sin2a 2cos2a-1 核心知识 =1-2sin2a; 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (3)tan 2a= 2tan a 1-tan a (l)sin(a±β)=sin acos B±cos asin B; 典题例析 (2)cos(a士B)=cos acos B干sin asin B; [例1](1)(2026·全国卷)已知a为第二象 8ana士0m是 限角，3sin2 acosa=8 Bsin acos2a,则+sinc 2-cos a () 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1sin 2a=2sin acos a; A B是 c号 n是 36易知AD=DE=1,放此时k=号， 显然为的最小值为1，即+a【,号] 答案：[，] 素养培优8 奔驰定理与四心问题 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]由奔驰定理得 SABc·OA+S△c·OB+SAA0B·OC=0, 又OA+2OB+mOC=0, S△c:S△A0c:SAADB=1:2:m. =1++m号解得m=4 m [答案]C (2)[解析]记，点O到AB,BC,CA的距离分别为h1, ha hSnon haSnavha 1 S△amB=2c·h, 因为SAORG·OA+SAac·OB+SAOAB·0C=0, 则2a·h,0A+6:4·0B+2ch:0C=0, 即a·h2·OA+b·h3:OB+c:h·OC=0, 又因为a·OA+b·OB+c·OC=0,所以h=h2=h3, 所以，点O是△ABC的内心. [答案]B 跟踪训练 1.D[0为△ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC =3AB+2 BC+CA, ..0A+20B+3 0C=3(OB-0A)+2(OC-OB)+ (OA-OC)-30A+OB+2OC=0, 'SAc·OA+SAAc·OB+SAADB·OC=0, S△Be:S△A0c:S△A0B=3:1:2, 5oa中动Ta号] S△A0B 考点二 例2(1)[解析]取BC的中点D, 则AB+AC=2AD, 因为OP=OA+A(AB+ AC)(A≥0)， 所以AP=2AAD, 所以AP与AD共线，即直线AP与B D 直线AD重合， 所以直线AP一定过△ABC的重心. 即，点P一定经过△ABC的重心 [答案]D (2)[解析]如图所示，过点A作AD ⊥BC,垂足为D,点. 则BC·一 AB ABcoS∠ABC IBClABIcos(ABC)=-BCl, |ABI cos∠ABC 同理BC· AC -=|BC, IACIcos∠ACD 讲解册参考答案 :动点P满足OP=OA十 AB AC ,λ∈R, |AB|coS∠ABC |ACI cos∠BCA AB Ac .AP=λ ,λ∈R AB cos∠ABC |AClcos∠ACD BC·AB BC·AC ∴AP·BC=λ |AB|cOS∠ABC |ACI cos∠ACD =A(-|BC+|BCI)=0,∴.AP⊥BC, 因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心， [答案]D 跟踪训练 2.B[在AB,AC上分别取点 D,E,使得AD= AB,AE =4 b 则|AD1=|AE1=1. B 以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图， 则四边形ADFE是菱形， 且AF=AD+AE-AB+AC b ∴AF为∠BAC的平分线. .aOA+60B+cOC=0, a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA+AC)=0, Ep(a+6+c)OA+6AB+cAC=0, a+6+i+a+i+Ad ∴.AO= bc A,O,F三点共线，即O在∠BAC的平分线上. 同理可得O在其他两角的平分线上， .点O是△ABC的内心，] 微专题7三角函数的图象与性质 研析考点层级突破 考点一 例1(1D汇解析]根据平-x=受-（子十z结合诗子 公式求解即可 sm(f-x）=sm[经-（圣+门=-o(至+） 3 [答案]A (2)[解析]将sina+cosa= 5两边同时平方，整理得 1 1+2sin acos a-25' 所以sin acos a三一250，故D正确】] 又a∈(0，，所以a∈（受x 4 1 所以由sina+cosa=方，解得 sin a= 5 sin a++cos a=1 (cos a=-3' 5 故C正确， 所以5ina-cosa=号，tana=一合，故A正确，B错误。 4 [答案]ACD 35 数学 跟踪训练 .D[始边与工轴非负半轴重合cosQ=曾，P(m,2)为其终 边上一点，则 m _5 √m2+45 ,且m>0,解得m=1.] 2.D[由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得. m(+）o(- L-cosa十sin& cos(-a)-sin(π-a) cos a-sin a 1 1十tang= 1+立3.门 a1 考点二 例2(1)[解析] 对于A,起函数y=2sim(2x-石）图象 上所有的点向左平移否个单位长度， 可得品数y=2sn(2z+登-吾） =2sin(2z+受)=2cos2z的图象，A正确； 对于B,把函数y=2sin(2x-石)图象上所有的点向右 平移3个单位长度， 可得画数y=2n(2z--晋）=2sn(2z-吾-受） -2c0(2z-吾）的图象，B错误： 对于C,把函数y=2sin(2x-石)图象上所有的点向左 平移经个单位长度， 可得函数y=2sin(2x+弩-晋）) =2n(2z-音+受)=-20a(2z-吾)的图象，C错误， 对于D,把函数y=2sin(2红-晋)图象上所有的点向右 平移个单位长度， 可得函数y=2sin(2x-经-) =2sin(2x-妥）=2cos2z的图象，D正角. [答案]AD (2)[解析]由题意知，f(t)=0和f(t)=4时，导数为 0,即f(t)的最小值为0，最大值为4，又f(t)∈[-A十 B,A+B], 所以B。年释合- 故f(t)=2sin(wt+p)+2; 已知初速度为0，则f(0)=2sinp十2=0， 解得sinp=-1, 已知0≤p<2m,则p=2, 3π 连度第一次达到4时用时0.1书，则号=0.1→T=2 0.2,即ω=10π， 此时f0=2sin(10mt+受)+2=-2cos(10m)+2. [答案]-2cos(10πt)+2 3 跟踪训练 1.C[由题意得f(x)的最小正周期为T= 3 则所求画数为y=3sin3+经×)）】 =3sin(3x+受）=3cos3z.] 2.C[由图象可知，A=2,由0)=f(）=()可得 T=号x-0=号， 又T=所以号=2解得。=3， 所以f(x)=2sin(3x+p), 后)厂)华子倒 =-2, 所以f(3*)=2s(x+9)=-2, 即x十g=-受+2kx,∈Z, 即9-子+2，keZ且1g<受当=1时9=子， 所以f(x)=2sin(3x+） 则f(看)=2si(受+)-反.] 考点三 例3(1)[解析]设函数f(x)的最小正周期为T,由题意 可知a≠0， 因为函数fx)在(0，受)上单调适增， 则≥受，T≥x, 可得得≥，解得1a≤2，且a∈Za≠0， 则a=1,2. 因为函数f(x)=2sin(ax十)为偶函数， 则0=1x+交，k1∈Z,且0≤0<2元， 则=01,0=受，受， 若0=2，则fx)=2sin(ax+2）=2 cosd =2cos(lalz), 即f(x)=2cosx或f(x)=2cos2x,不符合题意， 若9=要，则f)=2sn(ax+经）】 =-2cos ax=-2cos(lalx), 即f(x)=-2cosx或f(x)=一2cos2x,符合题意； 且f(）=-2=1f(管)=-2号 =-2cos(+)=2cosg-1. 上所0=受（）=1 [答案]1 (2)[解折]由国知A=3,T-2×(冬十登)-暂-红 所以w=3, 由f)=3sin3x+p过点(，3）得3sn(+9）-3, 即n(7+)=1, 所以还+p-吾+2k∈D,p=- 元+2kπ(k∈ZD, 66 国为p<受，所以9=-若，f(x)=3sin(3x-）A 正确 因为f（）=3sin(3园)=0，所以通数)的图象关于 点（竖0）中心对格B正确 因为x)在3x-叠∈（受，受）即x(,至)上单 增，在3江一（侵）中x(停品)上单明 递减， 所以当3x-至-誓时x-,fx=f(器) 3n-85.C 由x0得3红一登∈（受，1业）=smx的图象 在（至，）上有3个率点， 所以函数f(x)在(0，π)内有3个零点，D正确. [答案]ABD 跟踪训练 1.B[由题得，g(x)=2m[2(:看)十] 2sin(2x-6）} 令2红-吾=x+受∈0，朗得x-经+吾∈0， 当=0时时稀轴为x=行】 2.AD[由图泉得A=2,是T=品x-吾=是，解得T =π， 故w=票-=2，故此时有)=2sin(2x十p 将（吾2）代入画数解折式， 得2=2sin(2×石+9小， 故2X答+9=受+2张x,∈Z, 解得g=晋+2kr∈D, 而0<g受，故9=吾，此时()=2sin(2z+晋）显 然f(0)=1成立，故A正确， 易知f(得=-2，f()-，而号< 7 f(骨小f: 又号，子x(停晋)故f✉)在区同（修，1晋） 上并非单调递减，故B错误， 易知f(号)-2，号[斧] 故在区同[答，晋]的准域不可能为[-1w,故C 错误， 当x(受2）时2e,m,2z+晋∈（日答 157 当2x+晋=受x,受，2x时，)取得极值， 可得f八在区同（受，2x有3个极值点，故D正确门 28 讲解册参考答案 素养培优9三角函数中w、P的范围问题 研析考点层级突破 考点一 例1[解析]由题可知，f(x)在[0，π]的图象至少有2个 最大值， 当f)=如(ax+号）=1时，or+吾=吾+2kx,k长 么，解得x(答+小 当及=0时，x=。×晋≤→>日， 6 当=1时=（后+2x)≤≥号 6 综上，当u≥1时，月G1,∈[0，](x≠x), 6 使得f(x1)十f(x2)=2. [答案] [+ 跟踪训练 1.D[依题意，f(x)=cos(2awx-ωx)-2sin2 xsin wx =cos(2wx十ωx)=cos3wx, 当x∈(0,2π)时，3wx∈(0,6wπ)， 若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值， 则x<6e≤2，所以日<≤分.] 考点二 例2[解析]由三角函数的图象变换规律可知， gx)=sin(ar-晋） 因为画数g)在（受，0）上单润递增， 所以-受。≥-且w>0,得0<行 [答案]B 跟踪训练 2.解析：因为tanA=3tanB,故B为锐角， 且tan(A-B)= tan A-tan B 2tan B 1+tanA·tanB 1+3tan'B tanB十3tanB 又1 1■ 又tanB+3tanB≥2√tanB·3tanB=23, 时以面MB≤品一得所以AB的系大位为后， 即， 当aB=31anB时，即1anB=-号，年号成立，函 当且仅当1 f(z)=sin(z >0), 因为-≤≤，所以-百r+≤十吾， 要使化)在区同[一吾·看]上单河递增， 则 ->- +≤ 所以0<ω≤2， 所以ω的最大值为2. 答案：2 数学 考点三 例3[解析]由题可知，gx)=in(r-吾） 当x[,受]时ax-子∈[-吾受-] 因为画数g)在[p,受]上有两个零点， 所以≤受-吾<，解得8<w<号 [答案]A 跟踪训练 3.B[由题意得：g(x)=sin2(x+石十9) =sim(2z+号+29小 又周为=一吕是8)的一条对稀轴， 所以+受-2：（号）十晋+20，e2, 即g经+铝，E乙，下面结合选项对垫数长取位( 然取负整数)： 17 k=一1时，9-12r 11 k=一2时，9=12x 5 k=-3时，9=12r: =-4时9=一登] 微专题8三角恒等变换与解三角形 研析考点层级突破 考点一 例1(1)[解析]由3sin2 acos a=8 sin acos2a, 6sin acos'a=8sin a(cos2a-sin2a) 因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0, 化简得：3cos2a=4(2c0s”a-1), 即aa=亭 由于cosa<0,解得cosa=-25, 5 因为sina>0,所以sina=V1-cosa=5, 51 所以+sine= 1+ 2-cos a 2+252 5 [答案]C (2)[解析]因为a,B均为锐角，所以a 由ina一8=2g,得cos(e-0=号， 1 31 所以cos acos B+sin asin B=3, 1 由tan atan=3,得sin asin=3, cos acos B 所以sin asin B-=3 cos acos B, 1 所以cos acos B十3 cos acos月=3， 1 解得cos acos B=2' 所以sin asin月=子， 故cos(a十B)=cos acos B-sin asin B [答案]-吉 跟踪训练 1.B[已知sin(a-)+3cos(a-B),由辅助角公式得： sin(a-B)+3cos(a-B)=v12+32sin[(a-B)+g] =√10sin[(a-B)+p], 共中mg=示m=品pe(0,受) 已知等式左边等于√I0,因此sin[(a-)十p]=l, 得(a-D十p=受， 即a-g产受-9，因此cosa用=a(受-g) =sin 3√10 10 显 所以cos(a-)=co8 s acos叶sinasin月=30 10 cos(a+B)=cos acos B-sin asin B=- W10 10 所以sin asin A- 10 5 2.Cr2sin228°-1 2sin228°-1 a√4-a22cos73°.√4-4cos273 = c0s56° 2cos73°·2sin73 = c0s56° c0s(90°-34) -sin34° 2sin 146 2sin(180°-34= 考点二 例2[解](1)证明：由A十B十C=π，得A十C=π一B, 则cos(A十C)=-cosB=-3, 4 cos2(A+C)+sin Asin C=1, 得是+inAsin C=1,则sin Asin C=6, 由两角和的余弦公式，cos(A十C) =cos Acos C-sin Asin C=-3 结合sin Asin C=子可知AcosC=-是<0， 7 则cosA,cosC异号，必然一个为负，一个为正. 又A,C∈(0，π)，即A,C中必有一个是钝角， 所以△ABC为钝角三角形. (2)由正弦定理和三角形的面积公式， ain C(Rin A)(Rsin B)sin C =2R2sin Asin Bsin C, (R是△ABC外接圆半径) 又mA血c-名血B√-(2- 为-2R·7解得R-2严 4 7 又sinB=T. =4,则b=2 Rsin B=V2, 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B, 即a2+e2- 2ac-2, 2 ac sin B 4,则ac=2, 238