专题精准强化14、15 直线与圆&圆锥曲线的方程与性质-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

:设f)=(3x-4+号，0<≤1， 则[) <m长阿 26 专题精准强化14 直线与圆 1.B2.D3.C 4.C[由题意可作图如下，圆C:(x 个y -√3)2+y2=1的圆心C(W3,0), 半径r=1,若直线1与圆C有公 共点，则的斜率一定存在，则圆 心C到直线l的距离d= 3k-1,令d=1,解得=3或 √k2+1 k=0,故当飞=√3时，直线1的倾 斜角取得最大值，为子] 5.A[根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可 求解， 圆心C(2,0)到直线1：x十y=0的距离d=召=V2,则 √2 |AB|=2X√4-2=2√2.] 6.C[因为a,b,c成等差数列，所以a-2b十c=0,直线 ax十by十c=0恒过P(1,-2),当PC⊥AB时，|AB|取 得最小值，此时|PC=1,|AB引=2√5-PC产=4. 7.D[因为⊙C的标准方程为 (x-1)2+y2=4,圆心为C(1, 0),半径为r=2, B 又易知直线x一my+1=0过定 点(-1,0)， O C 如图，过C作CH⊥AB于H,因 为AC在AB上的投影向量的模 为√3，则AH=√3，所以CH= √22-3=1，则2 =1，解得m=土√3.] √1+m 8.C[作出曲线C:x2+y2-x-y|=0对应的曲线，将 d=la+b-3看作曲线C上的点a,b)到直线：x十y-3= √2 0的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最 大值，即可求得答案. 由题意知点(a,b)在曲线C:x2十y2-|x|-1y|=0上， 曲线C关于原点以及坐标轴均对称； 由于x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2十y2一x一y=0, 21 故结合曲线对称性，作出曲 YA 线C如图： 而d=la+b-3表示曲线C 3 √2 2 上的点(a,b)到直线l: x十y-3=0的距离， 可知d=a+b3取最小 0 √2 值和最大值时，(a,b)位于曲 线在第一、三象限内的圆 孤上， 当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2十y一x一y=0, 即()+()=日， 此时d的最小值为2十23 √2 221 5 练习册参考答案 当x<0,y<0时，曲线的方程为x2十y+x十y=0, 即(+)+(+2)-， 11 此时d的最大值为氵一立一3 +2-52 √② 2 2 故d=la+63的最小值与最大值之和为+5y巨- √2 2 2 3√2，所以a十b-3的最小值与最大值之和为3√2X√2 =6.] 9.ABC[求出L1∥L2的充要条件即可判断A;根据两直线 垂直得充要条件即可判断B;求出直线L2经过的定，点即 可判断C;判断何种情况下点P(1,3)到直线L1的距离最 大，并求出最大值，可判断D. 对于A,若1∥12， 则a(a一1)一6=0，解得a=3或a=一2， 经检验，符合题意，所以a=3或a=一2， 所以l1∥l2的充要条件是a=3或a=一2，故A正确； 对于B,当a=号时，3a+2a-1）=号-日-0， 所以1⊥L2,故B正确； 对于C,由l2:3x十(a-1)y+3-a=0, 得(y-1)a+3x-y+3=0, 令y-1=0 2 3x-y+3=0解得x=-3, (y=1 所以直线4经这定点（号，1位于第二象限，故C 正确； 对于D,由l1:ax+2y+3a=0,得(x+3)a+2y=0, 令位3.0，解得。 (y=0, 所以直线11过定点M(-3,0), 当PM⊥l1时，点P(1,3)到直线L1的距离的最大， 最大值为|PM=√(-3-1)+(0-3)=5，故D错误.] 10.ABCD[圆C1的圆心为(-1,0)，圆C2的圆心为 (1,0).直线l:y=kx十b化为kx-y十b=0. 两个国心到直线的距离分别为山，=6 √R2+1 d2=6+1 /k2+1 两圆的半径均为1，故弦长满足s,=2√1一d 对于A,当b=0时，d1=d2,所以s1=52.故A正确； 对于B,当k=0时，d1=d2=|b1,所以s1=52.故B 正确； 对于C,若51=52，则d=d,即(b-)2=(b十k)2,化简 得4bk=0. 所以b=0或k=0.故C正确； 对于D,若取直线l:y=0,则该直线经过两个圆的圆 心，此时51=52=2， 故51十52=4.故D正确.] 11.ACD[圆C:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心 为C(1,0),半径r=1; 对于A:若b2一2a=1,则圆心到直线的距离d= latil=latil =1=r, a+6√a+2a+1√a+D 所以直线l与圆C相切，故A正确； 对于B:当a=0,b=一2时满足a十b=一2，此时直线方 1 程为y=一2’ 则圆心到直线的距离为号<，显然直线与圆相交，故B 错误； 对于C:当a=1,b=一1时直线l:x-y十1=0， 则直线x-y十1十√2=0与直线l平行， 7 数学 且两平行线间的距离d,= 1+2-1L=1, √12+(-1) 依题意动圆圆心到直线x一y十1十√2=0的距离与到 C(1,0)的距离相等， 且点C(1,0)不在直线x-y+1十√2=0上， 根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物 线，故C正确； 对于D:不妨令 Y A(-1,0),B(0,1), x-y+1=0 AB的中点为 ()》 x-y+1+√2=0 B D 又|AB=√2， 所以以AB为直径的 圆的方程为(+号)】 +(-)- 1 又c1/名)+（合）=<号+1，所 以圆D与圆C相交， 所以圆C上存在点P满足PA·PB=0,故D正确.] 12.解析：先根据直线l1与2平行求出参数，再由两平行直 线间的距离公式可得答案. :直钱与6平行，是=马≠02， 解得a=一2， .直线1：x一y-1=0,直线l2:x-y-2=0, 小直线4与42之间的距离d=-1-（-2)1= w1+1 2 答案号 13.解析：由题知圆心为(2,2)，半径为2，又直线与圆相切， 则圆心(2,2)到直线ax十y=0的距离等于半径，即 12a十2=2，解得a=0. a2+1 答案：0 14.解析：设A(x1y1),B(x2y2), 由3x。解得=2 (x2=-2 1x2+y2=16 1y=-23’{y2=23° 可得A(2,-2√3)，B(一2,2√3)， 设经过点A,B,C(8,0)的圆的方程为x2十y2+Dx十 Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 14+12+2D-2W3E+F=0 所以{4+12-Dx+2V3E+F=0: 64+0+8D+0+F=0 D=-6 解得{E=一2√3， （F=-16 即x2+y2-6x-23y-16=0, 可得(x-3)2+(y-√3)2=28. 答案：(x-3)2+(y-√)2=28 专题精准强化15圆锥曲线的方程与性质 1.D2.B3.C 4.B[将抛物线与直线联立，利用韦达定理，求解出x1· x2=一2t,1·y2=,利用垂直关系，丝·当=-1求 x2 x1 解，即可得到十，代入MF到+NF=y+号十 业十即可得到答案. 29 设M(x1,y1),N(x2,y2),将直线与抛物线联 立/x2=2y 1y=2x+t' 消去y有：x2-4x-21=0,有x1十x2=4,x1·x2=-2t, 则y1·y2=(2x十t)(2x2十t) =4x1·x2十2t(x1十x2)+t=-8t十8t+t2=t, 由于OM1ON,因光兰·头=-1，即24=-1，得到1 x2 x1 =2, 因此y1十y2=2x1十t+2x2+t=8+2+2=12, 由于抛物线中卫=1，抛物线上点到焦，点距离等于到准线 的距离， 因此MF+NF川=y+名++号=12+1=13.] 5.D[由sinx2=siny2结合诱导公式得出x2=y2+2kπ (k∈Z)或x2=(2n十1)元-y2(n∈N),化简曲线方程，可 得合适的选项. 由sinx2=siny2可得x2=y2+2kπ(k∈Z)或 x2=(2n+1)x-y2(n∈N), 即x2-y2=2kπ(k∈N)或x2+y2=(2n十1)x(n∈N), 所以，曲线sinx2=siny2由一族同心圆x2十y2=(2n十 1)π(n∈N)与直线y=士x以及两族等轴双曲线x2-y =2kπ(k∈N*)、y2-x2=2kπ(k∈N)构成.] 6.A[根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积 定义列式求出离心率. 由F2关于∠PFF2的角平分线l 的对称点恰好是点P,得|PF1|= |F1F2|=2c, 由椭圆的定义得|PF2|=2a一 |PF1|=2a-2c,设∠PF1F2=a, 在△PFF2中，由余弦定理得 PF2+FF2-PF22 coS a= 2PFFF 4c2+4c2-(2a-2c)2_c2-a2+2ac 2·2c·2c 2c2 由rp.E正-号a,得FPlE1cosa =青，则c…2c,-24-专， 2c2 参理释d+2ac-弓d-0,即92+18e-7-0, 1 又0<e<1,所以e=3] 7.ABD[根据椭圆方程求出a,b,c,再结合椭圆的性质逐 一判断即可. 设椭周C.号十=1的长轴长为20，短轴长为2b,焦玉 为2c, 则a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=√5， 所以C的焦距为2√5，故A正确； C的高心率为后-汽故B正碗， △F1PF2的周长为|PF1I+|PF2|十|FF2|=2a十2c =6十2√5，故C错误； 对于D,当，点P位于椭圆的上下顶点时，△FPF2的面 积最大，最大值为号×2X25=25,故D正确] 8.ABD[A选项：由y2=8x得2p=8即p=4,准线方程 为x=一2，A正确；B选项：由题意可知直线l的方程为 y=(x十1)，与y=8x联立并化简，得kx2+(2一8)x十 k2=0,△=(2k2-8)2-4k=32(2-k2),若1与E没有 公共，点，则△<0，得k>√2，B正确.C选项：直线过点 (一1,0)，联立直线1：y=k(x十1)与抛物线y2=8x,得 k2x2+(2k2-8)x+k2=0, 若1与抛物线相切，则△=0，即(22一8)2-4=0，解得 k=√2（负舍），1的方程为y=√2(x十1)，由 (y=2(1+)得B点坐标为(1,2②)，抛物线的焦点坐 1y2=8x 标为F(2,0),l上取一点B(2,3√2)，设l与FB所成角 的为0，c0s0= 1-2)2+(22-0)2+(2-1)2+(32-222-(2-2)2-(0-3②)2 2√/(1-2)2+(2V2-02×W√(2-1)2+(3√2-22)2 、3 3 由此可见△ABC不为等边三角形，C错误；D选项：当k =2时，l的方程为y=2x十2，取BC的中点M,则AML ,则当Sac最小时，AM也最小，设A(名小AM 2x-+2 =l2-4+81--2)2+4≥1 √5 4W5 4√5 当且仅当=2，即A(合2 此时S△AC BC-9×(后AM-D] 4 9.解析：因为AB<BC<AC, 根据对称性可知：点A,B,C其中一个为上下顶点，一个 为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.①当点A,B,C 中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 Y 0 图1 √6+e=3 √6+c=3 则 √a2+b=√4或 wa2+6=5, a+c=5 a+c=√/14 a=3 解得{b=√5或无解； c=2 ②当点A,B,C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为 右焦点，如图2， 图2 ,a=3 1a=√14 则{√a2+b6=5或 √a2+b=5,方程组均无解； (a-c=√14a-c=3 综上所述：a=3,b=√5，c=2, 所以离心率e=C=2 a3· 答案：号 298 练习册参考答案 10.解析：设直线AB的方程及弦AB的中点M,联立直线 AB的方程与抛物线方程可得x1十x2及M点坐标，结 合抛物线焦，点弦公式可得AB|,由等边三角形性质可 知PM⊥AB,即可设出直线PM的方程，结合点P在准 线上可得点P坐标，再结合PM=51AB1及|AB= 2 8m2+8计算即可. 由已知得F(2,0),准线方程为x=一2， y A 设直线AB的方程为x=my十2， A(x1y1),B(x2,y2),弦AB的中点 M(xo,yo),如图所示， M 联立行2消去x并整理得 0 Γy2=8x y2-8my-16=0, 则y1+y2=8m,y1y2=-16, 所以x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4, 所以=2=4m2+2,=当业=4m, 2 2 即M(4m2+2,4m), 所以|AB|=x1+x2+4=8m2+8. 故当m=0时，|AB|mia=8. 若△ABP为等边三角形，则 m≠0，如图所示， 设直线PM的斜率为k,则飞· =一1，k=一m,所以直线PM的方 程为y-4m=一m(x-4m2-2),即 y=-mx+4m3+6m, OVB 所以点P(-2,4m3十8m), 又PM-AB, 所以(4m+402+4m十mP=是(8m2+8, 解得m2=2, 所以AB=8m2十8=24. 答案：824 ,6b=1 11.解：(1)由题意得 b_2,求出a,b,从而可求出 i- 2 2 椭圆方程；(2)当直线1的斜率不存在时，不合题意，当 直线{的斜率存在时，设直线l的方程y=x十√3，设 A(x1y),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程化简， 再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出 k,从而可求出直线方程， ,b=1 (1)依题意： 1-b_2,解得a=√2 /1 V a2-2 (b=1 所以E的方程为营十y=1 (2)如图，当直线1的斜率不存 在时，AB=2,与题意不符， 舍去； 当直线1的斜率存在时，设直 线l的方程y=x十√3， 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立2+y=1 ,消y得： (y=kx+√3 x2+2(kx十√3)2=2， 整理得：(2k+1)x2十4√3kx十4=0， △=(4√3k)2-16(2k2+1)=16(k2-1)>0, 则k∈(-∞，-1)U(1,+∞)， 数学 -43k 4 +x=2k+1,21x=2k2+1' 则|AB引=√1十√(x1十x2)2-4x1x2 =√1十k -43k2 16=4√®-1=82 W(2k2+12k+12k2+1 7 即7√k-1=2√2(2k+1), 则17k-32k-57=0,即(17k+19)(k2-3)=0, 解得k=√3或k=一√3， 则直线l的方程为y=√3x十√3或y=一√5x十√3. 12.解：(1)已知双曲线C的中心为坐标原点O,且焦点在x 错上，收设关标准方程为号一若-10>06>0。 又其渐近线方程为3x十2y=0,即b=50, 2 又点P4,-3》在双南线C上，代入得9-是-=1©， 联立①②，解得a=2,b=√3， 所以双曲线C的标准方程为 =1 43 (2)直线L过点Q(0,2)且倾斜 角为45°，故其方程为 y=x+2, 将其代入双曲线方程，联立得 x2_(x十2)2 4 3 =1,化简得 x2+16x+28=0, 解得x1=-2和x2=-14,代 入直线l, 求得y1=0和y2=一12， 即直线1与双曲线C的交点M(一2,0)、N(一14，一12)， 所以Saaw=21OM1l%=号×2X12=12. 专题精准强化16圆锥曲线中的综合问题 1.解：(1)（圆锥曲线基本概念法）由题意可知a=2,离心 率为。=2： 1 a 所以c=1,又a2=b2十c2,所以b=√5. 故E的方程为号+号-1， 2 (2)(面积同高法)如图，设 B(x1y1),C(x2y2), Q D 由题意，得直线BC的方程为 y=k(x一1)+1， 由学+苦1 0 ,消去y y=k(x-1)+1 得(4k2+3)x2+8k(1-k)x十4(1-k)2-12=0, 则△=[8k(1-k)]2-4(4k2+3)[4(1-k)2-12]>0, 西十五=二8跳(1-) 4k+31 1=41-02-12 42+3 又B关于直线y=x的对称，点为D, 则D(y1,x1),设Q(t,t), 易知直线DC斜率存在，由D,C,Q三点共线，可得 t一y1 =y2一x1 x2一y1 解得t= y1y2一x1x2 =13k+11 y+y2-(x1+x2) 8k+6 所以Q(136+11,13k+11) (8k+6’8k+6 设点Q到直线BC的距离为d,则d=兔-1D(t-1川 √J1+k2 30 5k2-11 √1+k18k+61 由弦长公式可知|AB=√1十k|x1一1|， |ACl=√1+k21x2-1l, 则|川AB|-|AC|=√1+|x1+x2-2|=√1+· |43,sm-Sl-合hBd-iacd ABI-ACII- 即吃+· 51k2-115 √1+k18k+618 化简得-1=1 4k十34’ 解得长=土要 2.解：(1)根据焦半径公式得到xp=2,求出P(2,士2√2)，从而 求出针率，(2)法一PQy=号十，展立鹅物气方程，设 P(xy),Q(x2y2),得到两根之和，两根之积，得到y =当十业=22，求出答案；法二：设P(x1,),Q(x, 2 小得到要受怎从有月定为+% 42,得到=少业=22，得到答案 2 (1)F(1,0),PF|=xp+1=3, .xp=2,将xp=2代入y2=4x P 得，yp=士2√2， .P(2,土2√2) R 所以kn=专老2-士22 (2)法一：设P(x1y),Q(x2y), √2 PQ:y=2141, 即x=√2y-√2t, 代入y2=4x,得y2-4V2y十42t=0, 由韦达定理，有y1十y2=4√2， 故yg=当十=22，R在定直线)y=22上. 2 法二：设P(x1y),Q(x2,y2), 由题意，当二业=业一业 4=2 4-x2_立y+2=2, 44 故y+y2=4V2, 故y=4业=22，R在定直线y=22上. 2 3.解：(1)由题意，渐近线方程为y=土x,由对称性，不妨取 y=x, 故点(2,0)到T渐近线的距离为2一0=2. √2 (2)由题意，F1(-√2,0)，F2(W2,0), 设P(xy),则x-y=1, 故PF=(-√2-x6,一%)， PF2=(W2-,一%)， 故PF1·PF2=x-2十y=1,即x十y=3, 由二，解得=1，即11=1， {x6+=3' 故Sam5=合E=厄。专题精准强化14直线与圆 一、单选题 1.直线l:2x十3y-1=0的一个方向向量为 () A.(3,2) B.(3,-2) C.(2,3) D.(2,-3) 2.已知直线过点(1,2)，且纵截距为横截距 的两倍，则直线1的方程为 () A.2x-y=0 B.2x十y-4=0 C.2x-y=0或x+2y-2=0 D.2x-y=0或2x+y-4=0 3.已知圆C:x2+y2=1和圆C2:x2+y2一6x 一8y十9=0，则两圆公切线的条数为() A.1 B.2C.3 D.4 4.若过点P(0,一1)的直线1与圆C:(x √3)2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜 角的最大值为 () A.晋 B. C吾D 5.若直线l:x+y=0与圆C:(x-2)2十y2 =4交于A,B两点，则|AB=() A.22B.2 C.2 D.1 6.(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差 中项，直线ax+by十c=0与圆x2十y2十 4y一1=0交于A,B两点，则|AB|的最 小值为 ( A.1 B.2 C.4 D.2√5 7.已知直线x-my十1=0与⊙C:x2+y2 2x一3=0交于A,B两点，若AC在AB上 的投影向量的模为√3，则m的值为() A.±号B士得 C.±1 3 D.±√3 8.已知实数a,b满足a2+b2-|a-|b=0, 则|a+b一3|的最小值与最大值之和为 A.4 B.5 C.6D.7 148 ⑧错题序号： @错因分析： 二、多选题 9.对于直线L1:ax+2y+3a=0,l2:3x+ (a-1)y+3-a=0,则 () A.l1∥l2的充要条件是a=3或a=-2 B当a=号时，4山 C.直线l2经过第二象限内的某定点 D.点P(1,3)到直线L1的距离的最大值 为3√2 10.(多选)在平面直角坐标系中，圆C1: (x+1)2+y2=1,C2:(x-1)2+y2=1. 直线l:y=x十b与两个圆均有公共点. 记直线1被C1,C,截得的弦长分别为 51,52·则下列说法正确的是() A.当b=0时，S1=52 B.当k=0时，S1=S2 C.若s1=52,则b=0或=0 D.存在直线l,使得S1十52=4 11.已知直线l:ax十by十1=0(a,b不同时 为0)，圆C:x2十y2一2x=0,则() A.当b2一2a=1时，直线l与圆C相切 B.当a十b=一2时，直线l与圆C不可 能相交 C.当a=1,b=-1时，与圆C外切且与 直线1相切的动圆圆心的轨迹是一条 抛物线 D.当a=1,b=一1时，直线l与坐标轴 相交于A,B两点，则圆C上存在点 P满足PA·PB=0 三、填空题 12.若l1:2x+ay-2=0与l2:x-y+a=0 平行，则两直线之间的距离为 13.(2026·北京卷)已知直线ax+y=0与 圆(x-2)2+（y一2)2=4相切，则a 14.已知圆x2+y2=16与直线y=-√3x交 于A,B两点，则经过点A,B,C(8,0)的 圆的方程为 ☒错题序号： 专题精准强化15圆锥曲线的方程与性质 ©错因分析： 一、单选题 6设椭圆C十多1(a>6>0)的左、右 1.已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准 线的距离为1，则a= ( ) 焦点分别为F,F2,P是椭圆C上一点，若 A.2 B.1 1 C.2 点F2关于∠PFF2的角平分线1的对称 点恰好是点P,且RP.FF=一专a,则 2,2026·北京卷)已知双曲线C名一兰司 C的离心率为 () (a>0)的渐近线方程为y= 3x,则a A写 c日 D 的值为 ) 二、多选题 A.2 B.3 C.4 D.9 3.已知F1,F2分别是椭圆C:工十y2=1 72.已知稀圆c号+号-1的熊点分别为 m F,F2,P为C上一点，则 (m≠1)的左、右焦点，P是椭圆C上的一 点，且PF1+|PF2|=6,则椭圆C的离 A.C的焦距为2√/⑤ 心率是 ( ) B.C的离心率为5 A号 B C.22 3 D.22 9 C.△FPF2的周长为3+5 4.已知抛物线x=2y的焦点为F,O为原点， D.△FPF2面积的最大值为2√5 直线y=2x十t与该抛物线交于M,N两点， 8.(2026·全国Ⅱ卷)已知抛物线E:y2= 且OM⊥ON,则IMF+INF=( 8x,有一斜率为k(k>0)的直线l经过点 A.12B.13 C.14D.15 (一1,0)，等边三角形ABC的顶点A在 5.曲线sinx2=siny2的图象大致为( E上，顶点B,C均在1上.下列结论正确 的有 () A.E的准线方程为x=一2 B.若1与E没有公共点，则k>√2 C.若1与E的唯一公共点为B,则E的 焦点在直线AB上 B D.若及=2，则△ABC面积的最小值为得 三、填空题 9.在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=√14. 已知点A,B,C分别为椭圆的上、下、右顶 点，以及两个焦点中的三点，则椭圆的离 D 心率为 149 10.已知抛物线C:y2=8x,点P在C的准线12.已知双曲线C的中心为坐标原点O,且 上，过C的焦点F的直线与C相交于A, 焦点在x轴上，点P(4,一3)在双曲线C B两点，则|AB的最小值为 上，其一条渐近线方程为√3x十2y=0. 若△ABP为等边三角形，则|AB引= (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点Q(0,2)且倾斜角为45°的直线1 四、解答题 与双曲线C交于M、N两点，求△OMN 11.已知椭圆E:2十=1(a>b>o)的短 的面积. 辅长为2，离心率为要 (1)求E的方程； (2)过点(0，√3)作直线1与椭圆E相交 于A,B两点，若1AB1=8巨，求直线1 7 的方程， 150