专题精准强化7、8 三角函数的图象与性质&三角恒等变换与解三角形-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

所以BD在BC方向上的投影向量为BD·BC.BC BCI BCI 10 -·变-成0至] 12.解析：由题意，不妨设a十3b=入(b十c) /a=(λ-3)b+λc =u(2a十kc),则 =+ 入-3=1-24，解得k=一6. -3 λ=1-24 答案：一6 13.解析：依题意，1OA=1OB=4,OA+OB=7, 则OA+2OA·OB+OB=49, 即16+20A·0B+16=49,解得0A.OB= 2 所以cOs∠AOB= 0A·0B=17 1OA11OB132 答案品 14.解析：设△ACB中A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为AB·AC=-8,且∠BAC=120°， 故灰×(-号）=-8，放你=16. 而SAABC=S△ABD十S△ACD, 所以合besin A=合X ADsin∠BAD+号6X 1 ADsin∠CAD, 故号x 21 女A0票≤系显数专6-4时 等号成立， 故AD的最大值为2. 答案：2 专题精准强化7三角函数的图象与性质 1.C2.B3.A 4.D[依题意，得gx)=in[(e+看)十] =sin(ax++子)为偶函数， 则答+吾=x+受，即u=6k+1,k∈乙， 当k=2时，w=13,D正确，其他选项均不正确.] 5.B[因为x1,x2∈(0，π)(x1<x2), 又因为sin(π-x)=sinx,所以x1十x2=元 sin(z2-1)=sin(-2x1)=sin 2x1=2sin xi cos 1, 因为mx=子，所以0s西=22， 3 所以m。)=2x号×2g2-g2] 3 6.C[由题意可得：y= 忄y=2sin(3x-君) 2sin(3x-晋)可知最小正 周期T红，画出y=sin王 0 和y=2sin(3红-晋)在 -2 [0,2π]上的函数图象，观察 即可得到6个交点.] 2 练习册参考答案 7.D[由题意首先得如=受，进一步由u十π=k,∈乙， 对比选项即可得解. 由题意西数的周期T满足，号=-=3活，所 以w=士行， 又点(1,0)是函数的一个对称点，所以ω十p=π，k∈Z, w= a=- 所以 或 ，对比选项 p=km-晋，k∈zg=kx+吾，k∈z ω一3 可知，只有当{2π时满足题意.] 1φ3 k=1 8.C[将f(x)的图象向x轴正方向平移3p个单位长度， 得到g(x)=f(x-3p)=sin(x-2p)的图象.因为g(x) 的困象与f)的图象关于x轴对称，所以3即为(T为 f()的最小正用期)的奇数倍.又召=无=，所以3即= kax便=2a+1,m∈，即p-k=2n+1,n∈Z0,又0< <2,所以g=吾号] 9.BC[A错，代x=0便知；B显然对，两者值域相同；C 显然对，两者最小正周期都为π；D错，前者对称轴为x= 受十，k∈乙，后者是x-晋+x,k∈Z] 10.ABC[由角的定义求解可判断A;由圆的性质及角的 定义求解可判断B;由三角函数定义求解可判断C;由 中，点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和 与差的余弦公式求解可判断D. 对于A:因为∠A0x=a,∠B0x=A,0<a<K,所以 ∠AOB=B-a,正确； 对于B:依题意M为线段AB的中点，则OM⊥AB,则 ∠AOM=E-a 2, 又0A=1,所以OM=0Acos∠A0M=os222,正确； 对于C:M为线段AB的中，点，射线OM与单位圆交于 点C,则C为AB的中点， 所以∠0：=a+22-吉， 21 又OC=1,所以点C的坐标为 (os,in)正确 对于D:w=名（十g)=名(eosa叶cs) -n2n 2sin 2 2 1 y(y+y)(sin a+sin B) 2 2 87 数学 2 2 所以点M的坐标为 (os吉o2mm2）婚溪] ll.解析：根据sinx≥0和sinx<0分类讨论，作出函数 f(x)图象即可求解. 当sinx≥0时，即2kπ≤x≤2kπ十π，k∈Z时，f(x)= Isin l+cos -sin z+cos -/2sin(, 当sinx<0时，即2kπ十π<x<2kπ十2π，k∈Z时， f(x)=Isin xl+cos x=-sin x+cos x =2os(红+受） 所以f(x)=|sinx十cosx si(x+）2kr≤x≤2kr+x,∈Z V2cos+,2kx+x<2x+2x 作出函数f(x)图象： 所以函数f(x)=|sinx|+ y=f(x) cosx的最小值为一1，此时 x=2kπ十x,k∈Z时. 答案：一1 12.解析：利用角的变换，以及诱导公式和同角三角函数基 本关系式，即可求解. sin(x+110)=sin[(x-70)+180]=-sin(x-70),因为 工是第二象限角，若c0s(x-70)=号，所以x-70是 第一象限角，所以sin(x-70)=√1-cos2(x-70) -26 5 所以sin(x+110)=-26 51 答案：-26 5 13.解析：将函数fx)=2sin(3x十9(lg≤2）的图象向右 平移行个单位长度，得到的函数g(x) 2n(3x3x行+9)的国象关于点（一贤0）时称， 受cz 因为9≤受，则p=士受， 若9=受，则g()=2sin(3x-晋）： :g)在区间（品，-是）中(2品品)m∈R)上单 调递增，m<0, 当x(品 3红-晋∈(2n,9n） 6m ÷56≥-音且96mm≤受 6m 即m≤-号，显m≤-是im≤-号 若p=-受，则gx)=2sin(3x-得） “g)在区间（品，-是）即（一） 元，x）(m∈R)上单 调递增，∴.m>0, 当x(品) -9x-7mx,9r7mm）, 6m -90m>-吾1m≤受， 6m 6m 即m≤-且m≥0故m∈； 蝶上可得g=受m<-号 答案：受（∞，-8] 91 专题精准强化8三角恒等变换与解三角形 1.A2.D3.D 4,B[利用正弦定理和余弦定理可得cosC>0,但A,B不一 定为锐角；若△ABC是锐角三角形可知满足sinA十sin2B 十cos2C>1,即可得出结论. 由△ABC是锐角三角形，得0<C<受，从而c0sC>0, 故a2+b2-c2>0, 即sin2A+sinB-sinC>0, sin2A+sin2B-(1-cos2C)>0, 可得sinA十sin2B十cosC>1,即必要性成立； 反之，若“sin2A+sin2B+cos2C>1”可得sinA+sinB+ cos2C-1>0,sin2A+sin2B-sin2C>0, 可得a十b2一c2>0,可知c0sC>0,但角A,B可能为钝 角，所以充分性不成立.] 5.C[利用正孩定理得sin Asin C=号，再利用会孩定理 有。十2=ac,再利用正孩定理得到sinA十sinC的 值，最后代入计算即可. 因为B=晋，8=} 4ac, 则由正孩定理得sin Asin C=专sinB=子 由余弦定理可得：B2=a2+c2-ac=9。 "dac, 即：0十e=ac,根据正孩定理 smA+smC-号n AsinC-8, 所以(sinA+sinC)2=sin2A+sinC+2 sin Asin C=4, 7 因为A,C为三角形内角，则sinA十sinC>0, 则smA+nC-客] 6.A[设∠DEB=0, ∠FEC=吾-I,∠BDE- 吾-0，ZCE-吾+， :∠DEF=,DF=2,DE=5, .EF=1, DE BE 在△BDE中，sin∠DBE-sin∠BDE1 即3 BE 88 ∴BE=-2sin(g-0）=3cos0叶sm0, 月理，在△p0F中，BC-2(后+）-9oe0叶血0， ∴△ABC的边长BC=BE+BC-5cos0叶sm0叶9s0叶 n0=2②sin0叶p,其中tanp=2y5, 3 3 “0e(0,)0叶9=受时，BC取得最大值为2②。 3 5度-98c≤9×-7g」 3 7.BD[根据题意利用三角恒等变换整理得f(x)= 2si血（一骨）结合正孩函数的性质运项分析判断， 由题意可得：f(x)=sm（-骨)十cos(-) sim(-晋)+co[登-(k-5)门-2sin(x-), 对于选项A:因为f(x-否）=2sin(x-x)=-2sinx, 所以f(-)为奇通数，故A错误 对于选项B:令x-号=，k∈五，解得x=x十子， b∈Z, 所以曲线y=f(x)的对称中心为(r+子，0）∈Z,故 B选项正确； 对于选项C:图为f(经）=2sin吾=1，f() 2sin登=2，脚f()下f()即fx)在(，)内 不是单调递减，故C错误； 对于选预D:因为x∈（行，）则x-子∈0，， 且y=sinx在(0，)内有且仅有一条对称轴x=受，所 以f在区间（行，餐）上有且仅有一条对称轴，故D 选项正确.] 8.ABC 2=cos 2A+cos 2B+2sin C =1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C, 可得sin2A+sinB=sinC,故选项A正确. 由cos Acos Bsin C=子可知A,B皆为锐角： 若A+B<,则sin2A+sin2B<sin Acos B+ sin Bcos A=sinC,不合题意， 若A+B>,则sinA+simB>sin Acos B+ sin Bcos A=sinC,也不合题意， 所以A+B=受，C=受 1 1 由cos Acos B=-4,可知sin Asin B=4, 由面款可知ab=名， ab 所以C一n Asin B2,故AB=2,选项B正确. 如A+血B,1干2如AB-号，选项C三境 AC2十BC2=AB2=2,选项D错误.故本题正确选项 为ABC.] 28 练习册参考答案 9.解析：根据题意，由同角三角函数的平方关系可得 sim(a+至)=音，即可得到cos(径-a）=na 加[(+)子]由正孩画数的和差角公式代入计 算，即可得到结果. 因为e∈(0，至）所以a+子∈（经，受） 又o(+), 所以i(a+)1-cos(a+)=号， 所以cos(受-a-ina=m[(a+f)一至】 (+)m。(+)ma=×g×号 =② -10 2 答案：10 10.解析：作出图形如图所示， 由题意可知，GH=DE=h, HF=a2,FC=a,EC=a1, 易知△GHFD△ABF, H △DEC∽△ABC, 设BC=x,则么=AB,上=AB,化简得 a2a十x'a1x xa,一a4 a1,AB。Xx-. a 所以防碳起念$AB的高度为。 答案：ah 'a2-a1 11.解：(1)由正弦定理，得sin Bsin C' 3c √3c 又B1十oc,所以C1中C 所以√3sinC=1+cosC, 整理，得2sin(C-晋）-1，即n(C-看)合， 又ce0,,所以C-晋∈（，晋） 所以C- 若-若故C- ()②由△ABC的面积为25，得2 lsin C=6b =2√3，所以ab=8. 由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcos C=a2+b2-ab =(a-b)2+ab=22+8=12, 所以c=2√3， 设边AB上的高h, 由2h=23,解得h=45=2. c 12.解：(1)由余弦定理， AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=9+12-12=9, 所以AC=3,从而AB=AC=3. 因此cosA=ABAC-BC=9+9-12-1 2AB·AC 18 31 (2)以A为原，点，AC所在直线为x轴，过A且垂直于 AC的直线为y轴.由(1)知C(3,0),又B(3cosA,3sinA) 即B(1,2√2)，则AB=(1,2√2)， 设AD=tBA,t>0,则D(-t,-2V2t), 设AE=AD十λBC=(-t+2λ，-2√2t-2√2). 因为DE∥BC且D在BA的延长线上，所以入>0. 数学 由DE=6,BC=23,得A=E= 2321 又AE⊥AC,所以点E的横坐标为0， 即一t十2=0，得t=2入=√2. 于是E(0,-2√2t-2√2λ)=E(0,-6), CE=(-3,-6). 所以CE=√(-3)2+(-6)2=3√5. 专题精准强化9等差数列与等比数列 1.B2.C3.D 4.C[由S2m-Sn=n①. 当n=1时，S2-S1=1,即a2十a1-a1=1, ∴.a2=1, 当n≥2时，S2m-)-Sa-1=n-1, 即S2m-2-Sn-1=n一1②. ①-②整理得：an十am-1一an=1③. ③式令n=2,a4十a3-a2=1,a2=1,a3=6, ∴.a4=-4. ③式令n=3,a6十as-ag=1, ③式令n=4,a8十a,-a=1, .ag十a,=1+a4=-3.] 5.A[充分性：若存在常数M,使an≤M≤bn,则由不等式 的传递性，得am≤bn,充分性成立.必要性（举反例）：取 am=n,b.=n十1，则an≤bn(n=1,2,3,…).当n=1时， 1≤M≤2，当n=2时，2≤M≤3，…，以此类推，对于任意 正整数n,都有n≤M,而不存在常数M大于所有正整 数，必要性不成立.门 6.B[设函数f(x)=e-x-1,则f(x)=e2-1, 当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>0时，f(x) >0,f(x)单调递增； 所以f(x)≥f(0)=0,即e≥x+1, 因为S3=e3≥S4+1,所以S-S≥1，即a≤-1. 因为a4=a1q,a1>1,所以q<0,排除A,C. 若q=-1,则S3=a1,S4=0,.a1=e°=1，这与a1>1矛 盾，q≠-1，排除D.] 7.BC[极据题意，求得d=吕，结合a1十ag=(a,十a,) 4d,可判定A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性 质，可判定B正确；由S5<0,求得ag<0,可判定C正确；根 据题意，求得任意的n≥2，an>0,结合a1的正负不确定，可 判定D错误. 对于A项，由a3十a4=9,a7十ag=18, 可得(a,+a)-(a,+a,)=8d=9,所以d=g 又由a十a,=a十a)-4d=9-4X号=号，所以错误： 对于B项，由S4=14(a+a2-_14(a,十a 2 2 =28,所以B正确；对于C项，由S6=15(a1+a152 2 15ag<0,所以ag<0,又因为Sg-S,=ag<0,则S,>Sg, 所以C正确； 对于D项，因为{an}为递增数列，可得公差d>0, 因为{ana+1}为递增数列，可得a+2am+1一aa+1 =aa+1X2d>0, 所以对任意的n≥2，an>0,但a1的正负不确定，所以D 错误.门 8.ACD[对于A:分q=1,q≠1两种情况计算可判断A; 对于B:q=一1可说明不成立判断B;分q=1,q≠1两种 情况计算可判断C;根据Sn+1一S2-1=a1(1十q)g0-1, 若{S2m-1}是递增数列，可求q判断D. 对于A:当q=1时，S+1=(n+1)a1,S1十gS,=a1+na1 =(n十1)a1,故成立， 的 当g≠1时，5=89g”,s+8.=a十gX a11-g2-21(1=g),所以51=a1十9S.成立，故 1-g 1-q A正确；对于B:当q=一1时，S2=0,所以Sn,S2n一Sn, Sm一S2n不成等比数列，故B错误； 对于C:当q=1时，Sn=na1,2S2n=4na1,3Sn=9na1,故 Sn,2S2m3Sn不成等差数列， 当q≠1时，若存在q,使Sn,2S2m,3Sn成等差数列， 则2×2Sn=S.+3S,则4Xa1-9） 1-q -41-9)+3×1二g”）,整理得4(1+g)= 1一9 1-9 1+3(1+g+g),所以3g-g=0,所以g=号，所以 对任意n∈N,都存在q,使得Sn,2S2m,3Sm成等差数 列，故C正确； 对于D:S2+1-S2-1=an十a2+1=a1(1十q)g2-1,若{S2a-1》 是递增数列，则可得a1(1十g)g-1>0,因为a1<0, 所以(1十q)g2-1<0,可解得-1<q<0, 所以若a1<0,则数列{S2m-1》递增的充要条件是一1<q <0,故D正确.] 9.解析：由题意，分类讨论， 若d≤0，显然an≤0则Sn≤0不满足题意； 若d八0，只需，=0+d<i 1S3=0+d+2d<1' 解得K日， 1 故de(0,3) 答案：(0,3)】 I 10.解析：由题意，an=a1十d(n-1)=dn十a1-d, 8=a+022-号+(a-号)， 2 所以S.-a.=号r+(a,-)r+d-a, 因为{√S。一an}是等差数列，则{√Sn-an}的通项是 一次函数型， 则号+(a-) 3d\ n十d-a1能整理成完全平方型， 所以△=（a1- 3d 2 -4 号a-a,)=0. 化简得(a1一 =0,所以a=号两登=合 1 答案： 11.解：(1)根据题意，表示出b+1与a+1的关系式，计算得 b。1=3,根据等比数列的定义可证明数列{h,}是等比 数列；(2)根据等比数列的通项公式写出数列{b}的通 项，从而可得数列{a}的通项公式. (1)b1=a1-2=1, b.=an-2,a+1=3an-4, .b+1=am+1-2=(3a,-4)-2=3(a.-2)=36n, 因为60，放6≠0袋=3 ∴.{bn}是首项b=1,公比q=3的等比数列. (2)由(1)知，bn=3-1,又bn=an-2, 所以an-2=3-1,所以an=3-1十2. 故数列{an}的通项公式为am=3-1十2. 12.解：(1)根据题意列式求解a1,d,进而可得结果；(2)先 求Sn,讨论am的符号去绝对值，结合Sn运算求解. (1)设等差数列的公差为d,☒错题序号： 专题精准强化7三角函数的图象与性质 @错因分析： 一、单选题 8.(2026·北京卷)f(x)=sin(x十p)(0<p 1.函数f(x)=sinx|的最小正周期是 <2π)，将f(x)的图象向x轴正方向平移 ( 30个单位长度，得到的函数图象与f(x) A. B罗 的图象关于x轴对称，则9的取值个数为 C.π D.2π 2.若角0的终边经过两点(x,2),(-1,y), A.1 B.2 C.3 D.4 则xy= ( 二、多选题 A.2 B.-2 C.-1 D.1 9.对于函数f(x)=sin2x和g(x)= 3.为了得到函数y=sim2x+的图象，只 sin2x-},下列说法正确的有（) 要把函数y=sin2x图象上所有的点 A.f(x)与g(x)有相同的零点 ( 】 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 A.向左平移石个单位 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 10.如图所示，已知角a, B.向左平移个单位 g0<a<)的始边 C.向右平移需个单位 为x轴的非负半轴，终边 与单位圆的交点分别为 D.向右平移5个单位 A,B,M为线段AB的中 点，射线OM与单位圆交于点C,则 4.将函数f(x)=sinwz-+】 3/ 的图象向左 A.∠AOB=B-a 平移需个单位长度后得到的图象关于y B.OM=cos B-a 轴对称，则w的值可能是 ( 2 A.5 B.8 C.11 D.13 C.点C的坐标为cos a,si 2 ,sin ate 2 5.设x,x2(x1<x2)为函数f(x)=3sinx-1在 区间(0，)的两个零点，则sin(c2一x)= D.点M的坐标为 ( cos atecosB-a 2 -cos sin 2 2 A号 且4g c. D号 三、填空题 11.函数f(x)=|sinx|十cosx的最小值为 6.当x∈[0,2m]时，曲线y=sinx与y= 2n3x-若)的交点个数为 ( 12.已知x是第二象限角，若cos(x一70) ) A.3 B.4 C.6 D.8 5,则sin(x+110°)= 7.已知函数y=2sin(wx+p),该图象上最 高点与最低点的最近距离为5，且点 13.将函数fx）)=2sin(3x+p)lp≤)的图 (1,0)是函数的一个对称点，则w和9的 象向右平移行个单位长度，得到的函数 值可能是 () A.w=一T p=-B.w=- π 3 3,9=3 t的图象关于点〔总0对称，且 C.w-I. D.w=T,=2π 39=3 g)在区间品一)上单调递增，则 ,实数m的取值范围是 136 ☒错题序号： 专题精准强化8三角恒等变换与解三角形 ©错因分析： 一、单选题 ∠DEF=90°.则三角形ABC面积的最大 1.已知角a的终边在直线2x一y=0上，则 值是 () tan 2a= () A B.23C.7√3 D.6√3 A-专 B C.-3 4 二、多选题 2.(2026·北京卷)摇杆机 械装置，如图，A,B为定 点，C,D是动点，AD=1, 则 CD=3,BC=- 2AB=4, 2π A.fx-3为偶函数 则cos∠ABC的取值范围为 B.曲线y=f(x)的对称中心为 A.(0,1) 器 kx+5,0,k∈Z c[器 n Cfx在区间（5 上单调递减 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 Dx)在区间（后，）上有一条对称轴 为a,bc,若a=3,A=5,sinB=2,则 8.(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为 b= c0sA+cos2B+sin2. A提 B9CD号 osAeos BsinC-子，则 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a, A.sin C=sin2A++sin2B b,c,则“sin2A+sin2B+cos2C>1”是 B.AB=√2 “△ABC是锐角三角形”的 ( A.充分不必要条件 C.sin A+sin B=6 B.必要不充分条件 D.AC2+BC2=3 C.充要条件 三、填空题 D.既不充分也不必要条件 5.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为 已知cos(a+-,且ae(o,)则 a,6c,若B=3,6=号ac,则inA+sinC eos(8-） = ( 10.哈尔滨防洪 A B.2C7 胜利纪念塔， 2 D 2 坐落在风景 a 6.在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边 如画的松花 AB、BC、AC上，且DE=3,DF=2, 江南岸，是为纪念哈尔滨市人民战胜 137 1957年的特大洪水，于1958年建成的，12.(2026·全国I卷)已知在△ABC中， 是这座英雄城市的象征，它象征着20 世纪的哈尔滨人民力量坚不可摧.小明 AB-3,BC-23,cos B-3 31 同学想利用镜面反射法测量防洪纪念 (1)求cosA; 塔主体的高度.如图所示，小明测量并 (2)设D,E两点满足：D在BA的延长 记录人眼距离地面高度hm,将镜子（平 线上，DE∥BC,AE⊥AC,若DE=√6， 面镜)置于平地上，人后退至从镜中能 求CE. 够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距 离为a1m,将镜子后移am,重复前面中 的操作，测量人与镜子的距离为a2m. 根据数据可求出防洪纪念塔AB的高 度为 (单位：m). 四、解答题 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知，b √3c sin B 1+cos C' (1)求C; (2)若a-b=2,△ABC的面积为2√3， 求边AB上的高. 138