专题精准强化4 导数的简单应用-【创新教程】2027年高考数学大二轮专题增分方案课时作业

☒错题序号： 专题精准强化4导数的简单应用 ©错因分析： 一、单选题 可.例如，求由方程x2+y2=1所确定的 1.曲线f(x)=x+3x-1在(0，-1)处的 隐函数的导数y',将方程x2+y2=1的两 切线与坐标轴围成的面积为 边同时对x求导，则2x+2y·y=0(y A. R受 c D.一3 y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法 2 则)，得y=一工(y≠0).那么曲线xy十lny 2.函数f(x)=x3+mx2+3x一1在R上单 y 调递增的必要条件为 () =2在点(2,1)处的切线方程为 ( A.(-3,3) B.[-3,3] A.x-3y十1=0B.x+3y-5=0 C.(-6,3) D.(-6,3] C.3x-y-5=0D.2x+3y-7=0 3.已知函数f(x)=x2+2lnx的图象在 二、多选题 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)两个不同点 7.f(x)是定义在区间 处的切线相互平行，则下面等式可能成立 [a,b]上的函数，其导函 的是 ( ) 数f(x)的图象如图所 A.x1十x2=2 B.x1十x2= 10 示，则在区间[a,b]内 A.函数f(x)有三个极值点 C.x1x2=2 D. 10 B.函数f(x)的单调增区间为(x1,x) (In x C.函数f(x)的最大值可能为f(x) ,x≥2 4.若函数f(x) 有最大值，则 D.函数f(x)的最小值可能为f(a) kx,x<2 8.(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R 的最大值为 ( 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2一 4.h2 4 B.In2 D. 3)e+2,则 () 5.(2026·全国I卷)已知函数f(x)= A.f(0)=0 x十2的最大值为1，则a= B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 ( e+a C.f(x)≥2当且仅当x≥3 A B.1 c D.2 D.x=一1是f(x)的极大值点 6.如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函 三、填空题 数，那么称这种方式表示的函数是隐函数. 9.(2026·北京卷)已知f(x)=|x2一cosx 隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0 一c21,给出下列四个结论： 中，把y看成x的函数y=y(x),则方程可 ①f(x)在（一1,1]上有最小值和最大值； 看成关于x的恒等式F(x,y(x)=O,在等 ②c=0,f(x)=1有3个解； 式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即 ③c=1,x∈（一1,2]时，f(x)有最大值； 130 ④c>0,f(x)的图象与直线y=c有4个 12.已知函数f)=3+ax,a∈R 交点.其中正确结论的序号是 10.函数f(x)=一t十3z+2的最大值 (1)讨论f(x)的单调性； Vx+1 (2)若函数g(x)=f(x)十2lnx存在两 为 个极值点，求实数a的取值范围. 四、解答题 11.已知函数f(x)=x(a+lnx),曲线 y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与 y=4x-1平行 (1)求a的值； (2)求f(x)的极值. 131故2at+b=a+2(层++)++6≥ ab a 222+6-10, 当且仅当2-2白，结合a+2b-1,即得a=6=号时等号 a 成立， 故2a+b十ab的最小值是10.] ab 9.ACD[对于A,a|+|b|≥2√Tab,当且仅当|a|= b时等式成立，A正确； 对于B,当a=1,b=2,c=0时，ac2=bc2,满足ac2≥bc2, 但是a<b,B错误； 对于C,因为a>b>0,所以a十b>2√Jab, 所以<1，所以v函，C正： atb 对于D.因为。>0,6>0，所以有a6<士护=2，当且仅 当a=b时等号成立， 所以a+b=√(a十b)2=√a2+b2+2ab=√4+2ab≤ √4+4=2√2， 当且仅当a=b=√W2时等号成立，即a十b有最大值2√2， D正确.] 10.ACD[根据题意，由原不等式的解集可得c=1,一2a十b =0,即可判断ABD,然后再由基本不等式即可判断C. 原不等式等价于ax十b)(x-c)≥0 (x-c≠0 因为其解集为(-∞，-2]U(1,十∞)， 所以a>0且c=1,一2a十b=0,故A正确； 因为a>0,b=2a>0,则，点(a,b)在第一象限，故B错误； 由6=2a>0可得，2a+号=2a+云>2√2a·云=2， 1 当且仅当20=2云’时，即a=号时，等号成立， a>0 所以2a十方的最小值为2，故C正确， 由b=2a>0可得，不等式a.x2+ax-b≥0即为ax2+a.x- 2a≥0，化简可得x2+x-2≥0→(x十2)(x-1)≥0，则其解 集为(-∞，一2]U[1,+∞)，故D正确.] 11.ABD[利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 对于A:'x>0,y>0,x十2y=1. 当且仅当/x=2y {2计2y=1即x=y=子，取“=”， 1 A正 对于B:x2+4y2=(x+2y)2-4xy=1-4xy, 由知官-≥-合 d+40=1-4w≥1-合=号B正确， 对于C:(W元+√2y)2=x+2y十2√x·2y =1+2√x·2y≤1+x+2y=1+1=2. WE十√2y≤2，.C错误； 对子D:(1+3）(x+2)=1+2+3x+6 x y y -7+2+>1+26, 当且仅当22=3红，即2y3x x y {x+2y=1取“=”， D正确.] 3 练习册参考答案 12.解析：分析：求出集合A,B,根据包含关系确定范围即可. 号0，得-2<2， 所以A={x-2≤x<2},则A={xx<-2,或x≥2}， 由log2x≥a,得x≥2， 又B二(CRA),所以2≥2，解得a≥1. 答案：[1，十∞) 13.解析：由题意得，1=a2+4b2≥4ab, 即a6长是 答案：日 (x+1)2 14.解析：分析：参变分离可得(+1)二2x十5)≤1对 任意x∈R恒成立，换元令x十1=t,整理得 (x+1)2 (x2+1)(x2-2.x+5) —,结合对勾函 (+-3)+1 数性质分析求解. 因为(x+1)2≤(x2+1)(x2-2x+5), 且x2+1>0,x2-2x+5>0, (x+1)2 可得r+1)22x十5≤A对任意x∈R恒成立， 令x十1=t,则x=t-1, (x+1)2 若x=-1,则1=0，可得(x+1)2-2x+5)=0, 若工≠-1，则t≠0，可得(+1)(2-2x+5 (x+1)2 +2 [(t-1)2+1][(t-1)2-2(t-1)+5] =-6P+18F-24+16-2+9-6-24+18 1 (+4-3+ 由对勾函数u=t十生可知u≥4或u≤-4， t 则计1-3≥1减计4-3-7， 可得(+1-3)≥1， (x+1)2 则(x+1)(x2-2x+5) ,(o,]: (+-3)+1 (x+1)2 妹上所选+12z+5∈[0,2] 即位+122十5的最大值为分，则≥日， (x十1)3 所以实数入的取值范周是[2十∞) 答案：[2+∞)】 专题精准强化4导数的简单应用 1.A2.D3.B4.C5.B6.B7.BC 8.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确； 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)e十2，又因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)ex一2，所以B 正确； 当x>0时，f(x)=(x+3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 3 数学 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,f(W3)=2>0, 所以f(x)的图象大致为 2e-2 y=3 -10 -2e+2 因为2一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原点对 称可知D正确.] 9.解析：对于①，因为f(一x)=|(一x)2一cos(一x)一c2|= |x2一cosx一c2|=f(x),且函数f(x)的定义域为R,所 以函数f(x)为偶函数.所以求函数f(x)在（一1,1]上的 最值，可转化为求函数f(x)在[0,1]上的最值.对于闭区 间上的连续函数，其在该区间内必存在最大值和最小 值，故①正确. 对于②，当c=0时，f(x)=|x2-cosx|,则由f(x)=1, 得x2-c0sx=1或x2-cosx=-1,即x2=c0sx+1或 x2=cosx一1.在同一平面直角坐标系中作出函数y= x2,y=cosx十1，y=cosx一1的图象，如图所示.由图 知，函数y=x2与y=cosx十1的图象有2个交点，即方 程x2=cosx十1有2个解；函数y=x2与y=cosx-1 的图象仅有1个交点，即方程x2=cosx-1只有1解. 综上所述，当c=0时，方程f(x)=1有3个解，故② 正确， Y=x y=cos x+1 y=cos x-1 对于③，当c=1时，f(x)=|x2-cosx-1.令g(x)=x2 cosx-l,则g(x)=2x十sinx,令G(x)=g'(x),则G(x) =2+cosx>0,所以g'(x)为R上的增函数，又g'(0)= 0,所以当x>0时，g(x)>0,函数g(x)单调递增；当x <0时，g(x)<0,函数g(x)单调递减.所以函数g(x)= x2-cosx-1在(1,2]上单调递增，且g(1)=-cos1< 0,g(2)=3一cos2>0,所以存在唯一x∈(1,2)使得 g(x)=0.又当c=1时，f(x)=|g(x),所以f(x)在(1， x)上单调递减，在(x,2]上单调递增.因为f(1)=cos1, f(2)=3-cos2,所以当x∈(1,2]时，f(x)mx=f(2)=3 一cos2,故③正确.对于④，当c>0时，由f(x)=c,得x -cosx-c2=c或x2-c0sx-c2=-c,即x2-c0sx=c2 十c或x2-cosx=c2-c.令h(x)=x2-cosx,由③知，函 数h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递 增，h(x)mn-=h(0)=-1.当c>0时，c2+c>0,c2-c= (）厂>子画发k与y=+c的图象存 在2个交点，函数h(x)与y=c2一c的图象也存在2个交 点.综上所述，当c>0时，函数f(x)的图象与直线y=c 有4个交点， 综上所述，正确结论的序号是①②③④， 答案：①②③④ 10.解析：借助换元法令=√x十1，可得f(x)=h(t) =-十51一子，借助学数来取函数0的单洞性后， 即可得解」 284 令t=√x+1>0,则x=t2-1, 故f)=二（父-1）°+32-1)+2=-+56-2 t 令h(0=-t+5t-2(>0), t 则h'(t)=-3t2+5+2=-3t+5+2 = =-(3r2+1)(t+2)(t-2) 当t∈(0W2)时，h'(t)>0, 当t∈(2，+o)时，h'(t)<0, 则h(t)在(0，√2)上单调递增，在（√2，十∞）上单调 递减， 故h()≤h(W2)=-(W2)3+5X2-2=22, √2 即函数f(x)=二t十3x+2的最大值为2反. √/x+1 答案：2√2 11.解：分析：(1)根据导数的几何意义，可得f(e)=4,可求a 的值.(2)求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. (1)因为f(x)=x(a+lnx),x>0. 所以f()=a+lnx十x·1=lnx+a+1,x>0. 由题意f(e)=4→lne十a+1=4→a=2. (2)因为f(x)=x(2+lnx),x>0. 所以f(x)=lnx十3，x>0. 由f'(x)>0→lnx+3>0→x>e-3; 由f(x)<0→lnx+3<0→0<x<e3. 所以函数f(x)在(0，e3)上单调递减，在(e3,十o∞)上 单调递增. 所以当x=e3时，函数取得极小值，且f(e3)=e3· [2+(-3)]=- 12.解：(1)使用单调性的定义和导数即可判断单调性；(2)先 用导数确定g(x)的单调性，然后利用零点存在定理分情 况讨论g(x)的零，点个数，即可得到a的取值范围， (1)由f(x)=号x+ax,知f(x)=2+a 当a≥0时，(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增； 当a<0时，有f(x)=x+a=(x+√一a)(x-√a), 从而对x<-√一a和x>√一a有f'(x)>0, 对-√-a<x<√-a有f'(x)<0. 所以f(x)在(-∞，一√一a]和[√一a,十∞)上单调递 增，在[-√一a,√一a]上单调递减. 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 当a<0时，f(x)在(-∞，-√一a]和[√-a,+∞)上 单调递增，在[-√一a,√一a]上单调递减. (2)由于gx)=号x+ax+2hx, 故g(x)=x2+2+a. 记h(x)=g'(x),则h(x)=2x-名=2(x-1) 2 从而对0<x<1有h(x)<0,对x>1有h(x)>0. 所以g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，十∞)上单调 递增。 当a≥-3时，对x∈(0,1)U(1,十∞)均有 g'(x)>g'(1)=3十a≥0，所以g'(x)不可能有两个零 点，从而g(x)不可能有两个极值，点； 当aK-3时，由g(吕)=音>0，g1)=3+a<0, g(一@=2>0，结合零点存在定理可知g(x) √/-a 寿在商个*点uE(吕，小e1,V@. 再结合g'(x)的单调性知g'(x)在x∈(0，u)U(v, 十∞)时取正值，在x∈(u,)时取负值，所以g(x)有极 大值点x=u和极小值点x=0. 综上，实数a的取值范围是（一∞，一3）. 专题精准强化5导数的综合应用 1.解：(1)求出函数f(x)的导数，再分类讨论求出函数 f(x)的单调性. (2)由给定不等式构造函数，得该函数在1处取得最小 值，结合极值的意义求出a,再验证得解 (1)函数f(x)=x-alnx的定义域为(0，十oo),求导得 f(x)=1-a」 x 当a≤0时，f(x)>0,所以函数f(x)在(0，十∞)上单调 递增； 当a>0时，由f(x)<0,得0<x<a;由f(x)>0,得x>a, 函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增， 所以当a≤0时，函数f(x)在(0，+o∞)上单调递增； 当a>0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞) 上单调递增. (2)4g(x)=f(x)-cos(x-1)=x-aln z-cos(z- 1),x>0, 求导得g'(x)=1-a十sin(x-1),由当x∈(0，+o∞) 时，f(x)≥cos(x一1)恒成立， 得Hx∈(0，十o),g(x)≥0恒成立，而g(1)=0,因此 g(1)是函数g(x)的最小值， 又g(x)在(0，十∞)上可导，则1是g(x)的极小值点， g(1)=1一a=0,解得a=1, 当a=1时，g(x)=x-lnx-cos(x-1),x>0, 1 令h(x)=x-1-lnx,x>0,求导得h'(x)=1一 x 由h(x)<0,得0<x<1;由h'(x)>0,得x>1, 函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 则h(x)≥h(1)=0,即x-lnx≥1， 因此g(x)=x-lnx-cos(x-1)≥1-cos(x-1)≥0，当 且仅当x=1取等号， 所以a=1. 2.解：(1)首先求出导函数，由f(2)=2即可求解.(2)由题 意可得x2十ax-21nx十b=0在[1，e]上无解，分离参 数，转化为两个函数无交点即可求解。 )由函数f)=2+ax-2hx+b:x>0, 了)=+a是所以可得f②)=2+a号=2， 解得a=1. (2)若函数f(x)在[1，e]上无零点， 即2x+x-2nx+b=0在[1，e]上无解， 即-6=合t+z-2nz在[1，日上无解， 令g(0=合r+x-2lnx,ze[1,e], g()=x+1-2=+x-2=z+2x=D,在 [1,e]上g'(x)>0,所以g(x)在[1，e]上单调递增， 所以g(1)≤g(x)≤g(e), 即是<g(x)≤号+e-2, 若-6=合+x-2nx在[1，e]上无解， 则-是或-6公号+e一2 即6>-号或6K2-e-2 e 所以b的取值范围为 (-,2-e)u(←+） 28: 练习册参考答案 3.解：(1)先根据导数的几何意义即可求出f(x)在点(1,0) 处的切线方程，再求出切线与曲线y=x2十2x一3相切 的切点，代入切线方程即可得解. (2)由题意可得函数∫(x)=t-一a+1(x>0)有两个不 x 同的零点b,c,再利用韦达定理求出b十c,bc,不妨设b> c,则b>1,求出a十k的表达式，再构造函数求出其最值， 即可得证. （由f)=x-士-anx,得f)-1+号-是， 则f(1)=2-a, 所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=(2-a)(x-1), 由y=x2+2x-3,得y=2x十2， 令y-2x+2=2-a,得x=-受， 则f(x)在点(1,0)处的切线与曲线y=x2十2x一3相切 的初点为（号号-。-3小 所以 -a-3=2-a(-号-1解得a=-2: 2f()=1+3-g=文-ax+1(x70 x2 因为b,c是f(x)的两个极值点， 所以函数广()=t-ax+1(x>0)有两个不同的零点b,c, 则b+c=a,bc=1,且a2-4>0,所以a>2, 不妨设b>c,则b>1, fb)二fcb五-alnb-（c二c-anc】 b-c b-c aln B22aln6 1 b-b 则a+k=a-2a如b十2=“工6若2nb+2, 因为6>1，所以6<1，所以6名>0， 令)=x--2hr(x>1D,则k)-1+ 2 =-2x+1=x=1)>0, x 所以函数h(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以h(x)>h(1)=0, 所以66-2n6>0, 所以a+=0工(6-六-2nb)+2>2, 1 b一b 4.解：(1)首先f(x)的定义城为(0，十∞)，f(x)= x +2x. 当b≥0时，f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调递增， f(x)无极值； 当b<0时，由于函数y= b与y=2x在(0，+∞)上单调 递增， 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 令)=0>气厂， 所以，当x∈ （合)时，f(x)<:x 厂+∞时，f>0, 所以)在(0，n厂)上单逆演，