8.6空间直线、平面的垂直教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第二册　第8章 8.6　空间直线、平面的垂直 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　线面垂直的判定、性质与线面角 （1）教材出处 必修第二册 第八章 8.6 空间直线、平面的垂直，8.6.2 直线与平面垂直 正文：线面垂直的定义、判定定理、性质定理，以及直线与平面所成的角；8.6.1 中异面直线所成角为预备。教材例1（平行线垂直于同一平面）与课后习题中的线面角问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 与平面 互相垂直，记作 。 · 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。符号语言： · 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号语言：。 · 推论（教材例1）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。符号语言：。 · 线面角：斜线 与平面 交于 ，点 在 上的射影为 ，则 叫做直线 与平面 所成的角。它的范围是 ，且 · 定义的直接用法：若 ，，则 。这是把线面垂直转化为线线垂直的最基本依据。 图 1　线面垂直的判定定理：，，，，则 （3）推导证明 判定定理：设平面 内两条相交直线 的方向向量分别为 ，它们不共线；设直线 的方向向量为 。由 ， 得 在平面 内任取一条直线 ，设其方向向量为 。由平面向量基本定理，存在实数 ，使 。于是 所以 。由 在 内的任意性，得 。 推论：在 内取两条相交直线 。由 得 ，；由 得 ，。又 ，，由判定定理得 。 性质定理：设 ，，，。过 作直线 ，由推论 。若 与 不重合，则 确定平面 。设 ，则 ，（线面垂直的定义）。在平面 内，过点 有两条不同的直线 都垂直于 ，这与“同一平面内过一点垂直于已知直线的直线有且只有一条”矛盾。故 与 重合，即 。 线面角：若在斜线 上另取一点 ，它在 上的射影为 ，则 ，所以 与 相似，。这说明线面角的大小与斜线上点的选取无关。又 ，，所以 ，在直角三角形 中即得 。 图 2　斜线 与平面 所成的角 ，其中 于 ， 是 在 内的射影 （4）适用条件与易错提醒 · 判定定理中的两条直线必须同时满足“在平面内”和“相交”；只与平面内两条平行直线垂直，或只与“无数条”直线垂直，都不能判定线面垂直。 · 定义中的“任意一条直线”不能改成“无数条直线”；平面内无数条互相平行的直线都垂直于 时，仍可能有 。 · 线面垂直的前提是直线与平面相交；“ 与 垂直但不相交”是错误说法。 · 性质定理必须是“垂直于同一个平面”的两条直线；垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，不能一律判平行。 · 线面角的范围是 ：直线在平面内或与平面平行时 ，线面垂直时 ，不要漏掉 的情形。 · 求线面角的关键是作出射影：过斜线上一点作平面的垂线，垂足与斜足的连线才是射影；不能把平面内任意一条过斜足的直线当作射影。 · 用 时， 是斜线上一点到平面的距离， 是斜线段长，二者不能混为射影长。 （5）考点定位与命题角度 选填题主要考线面垂直的判定与性质、线面角的计算；解答题第一问常以四棱锥、三棱锥、翻折图形为载体证明线面垂直或线线垂直，第二问再求线面角或二面角。难度基础到中档。近年真题中，2024 新课标Ⅰ卷第 17 题第（1）问以 证明线面平行，核心步骤正是线面垂直的判定与性质；2025 全国一卷第 17 题第（1）问证明面面垂直，也以线面垂直为桥梁。 （6）方法归纳 · 第一步　找线线：在目标平面内找两条相交直线，分别证明它们与待证直线垂直；常用依据有正方形对角线互相垂直、圆直径所对的圆周角为直角、勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一。 · 第二步　写判定：确认两条直线都在平面内且相交，按“，，，，”写出判定。 · 第三步　用性质：由 得 垂直于 内的任意直线；或由 ， 得 ，实现线线垂直与线面垂直的相互转化。 · 第四步　求线面角：过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足得射影，在所成直角三角形中求角；也可用 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 解析 已知 ，，求证 。在平面 内作两条相交直线 。由 得 ，。由 得 ，。又 ，，由线面垂直的判定定理得 。 例题 2（教材原题改编） 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，求直线 与平面 所成角的正切值。 图 3　例题 2 与变式 1-2 所用的四棱锥 ， 为底面中心 解析 因为 是正方形，所以 。又 平面 ， 平面 ，所以 。因为 ， 平面 ，所以 平面 。因此 是点 在平面 上的射影， 是直线 与平面 所成的角。 在直角三角形 中， 又 ，在直角三角形 中， 所以直线 与平面 所成角的正切值为 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 如图，四棱锥 中， 底面 ，，，，。证明： 平面 。 图 4　变式 1-1 所用的四棱锥 变式 1-2（优质模拟改编） 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 与 交于点 ， 平面 ，。证明： 平面 ；并求 与平面 所成角的大小。 （图形见图 3） 条目二　面面垂直的判定、性质与二面角的平面角 （1）教材出处 必修第二册 第八章 8.6 空间直线、平面的垂直，8.6.3 平面与平面垂直 正文：二面角的定义与平面角、面面垂直的定义、判定定理、性质定理及“探究”栏目；8.6.2 线面垂直为预备。教材例题（以圆 的直径为背景证明平面 平面 ）与课后习题中的二面角问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，记作 。 · 二面角的平面角：在二面角 的棱 上任取一点 ，分别在两个半平面内作 ，，则 叫做二面角的平面角。平面角的大小与点 的选取无关，范围是 。平面角是直角的二面角叫做直二面角。 · 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 · 判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。符号语言：。 · 性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。符号语言： · 常用结论（教材“探究”栏目）：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。 图 5　二面角 及其平面角 （图中画成直二面角） （3）推导证明 平面角与点的选取无关：若在棱 上另取一点 ，在两个半平面内分别作 ，，则 ，，且方向相同，所以 。 判定定理：设 ，，，。由 ， 得 ，所以 与 相交。又 ，，故 。在 内过 作 。由 ， 得 。设 确定平面 ，则 ，，，所以 。于是 ，， 就是二面角 的平面角，故 。 性质定理：设 ，，，，。在 内过 作 。则 是二面角 的平面角，由 得 。又 ，，，由线面垂直的判定定理得 。 常用结论：设 ，，，。若 不在 内，过 在 内作 ，其中 。由性质定理得 。于是 ，但 与 都经过点 ，故 与 重合，，与假设矛盾。所以 。 图 6　面面垂直的性质定理：，，，，则 （4）适用条件与易错提醒 · 二面角的平面角必须在棱上取点，并在两个半平面内分别作垂直于棱的射线；只在一个半平面内作垂线，或两条射线不垂直于棱，都不是平面角。 · 二面角的范围是 ，可以是钝角；异面直线所成角、线面角的范围都不超过 ，三类角的范围不能混淆。 · 面面垂直的判定定理中，垂线必须在一个平面内，且垂直于另一个平面；只与另一个平面内的一条直线垂直，不能判定面面垂直。 · 性质定理的三个条件缺一不可：、、（ 为交线）；缺少“ 在 内”或“”，都得不出 。 · 两个平面垂直，并不是其中一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面；只有垂直于交线的那条直线才垂直于另一个平面。 · 由面面垂直证明线面垂直时，必须先找到交线，再在其中一个平面内找垂直于交线的直线；不能直接说“面面垂直则线面垂直”。 · 二面角的平面角可能是钝角，解题时要结合图形判断，不能一律取锐角；用向量法时也要注意法向量夹角与二面角可能互补。 （5）考点定位与命题角度 选填题考面面垂直的判定、二面角的平面角；解答题第一问常证明面面垂直，第二问求二面角（几何法或向量法）。难度基础到中档。近年真题中，2023 新课标Ⅱ卷第 20 题第（1）问证明线线垂直、第（2）问求二面角的正弦值；2024 新课标Ⅱ卷第 17 题以翻折图形求二面角的正弦值；2025 全国一卷第 17 题第（1）问证明平面 平面 。 （6）方法归纳 · 第一步　找垂线：要证 ，先在其中一个平面内找一条直线 ，使它垂直于另一个平面； 常由线面垂直的判定得到。 · 第二步　证线面：在另一个平面内找两条相交直线，证明 与它们都垂直，从而 。 · 第三步　得面面：由 ，，按判定定理得 ；若用性质，先找交线 ，再在 内作 。 · 第四步　作平面角：在棱上取点 ，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，证明 是平面角，再解三角形；注意角的范围是 到 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 是圆周上不同于 的任意一点。求证：平面 平面 。 图 7　例题 1 与变式 2-2 所用的图形： 为 的直径， 平面 解析 因为 平面 ， 平面 ，所以 。因为 是 的直径， 在圆周上，所以 。又 ， 平面 ，所以 平面 。因为 平面 ，所以平面 平面 。 例题 2（教材原题改编） 如图，在棱长为 的正方体 中，求二面角 的正切值。 图 8　例题 2 所用的正方体 ， 为 的中点 解析 设 为 的中点。因为 是正方形，所以 ，且 。因为 平面 ， 平面 ，所以 。又 ，所以 平面 ，从而 。因此 是二面角 的平面角。 在直角三角形 中， 所以二面角 的正切值为 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 如图，四棱锥 中， 平面 ，，。证明：平面 平面 。 图 9　变式 2-1 所用的四棱锥 变式 2-2（优质模拟改编） 如图， 是 的直径， 垂直于 所在的平面， 是圆周上不同于 的任意一点，且 。求二面角 的平面角的正弦值。 （图形见图 7） 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：证明见解析。 解析：因为 底面 ， 底面 ，所以 。又 ，， 平面 ，所以 平面 ，从而 。 在三角形 中，，所以 。因为 与 都在平面 内，且都垂直于 ，所以 。又 不在平面 内， 平面 ，所以 平面 。 变式 1-2 答案与解析 答案：（1）证明见解析；（2）。 解析：（1）因为 是正方形，所以 。因为 平面 ， 平面 ，所以 。又 ， 平面 ，所以 平面 。 （2）由（1）知 平面 ，且 平面 ，所以 是点 在平面 上的射影， 是直线 与平面 所成的角。 在直角三角形 中，，，所以 又 ，在直角三角形 中， 所以 。即 与平面 所成角的大小为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：证明见解析。 解析：因为 平面 ， 平面 ，所以 。又 ，， 平面 ，所以 平面 。因为 平面 ，所以平面 平面 。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：因为 平面 ， 平面 ，所以 。因为 是 的直径， 在圆周上，所以 。又 ，所以 平面 ，从而 。又 ，所以 是二面角 的平面角。 因为 ，且 ，所以三角形 是等腰直角三角形，。故二面角 的平面角的正弦值为 人教A版·必修第二册　第8章 8.6 空间直线、平面的垂直　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $