专题4.6 解三角形（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题4.6 解三角形（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　正弦定理及其变形 4 知识点2　余弦定理及其变形 5 知识点3　三角形的面积公式 6 知识点4　三角形中的边角关系与形状判断 7 知识点5　解三角形的实际应用（测量问题） 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　利用正、余弦定理解三角形　★★ 9 重难点培优02　三角形的形状判断　★★ 12 重难点培优03　三角形中的最值与范围　★★★ 15 重难点培优04　解三角形中的中线、角平分线、高线问题　★★★ 19 重难点培优05　多三角形（平面四边形）问题　★★★ 22 重难点培优06　解三角形的实际应用（测量问题）　★★★ 26 重难点培优07　解三角形与三角函数、不等式、向量的交汇　★★★★ 30 重难点培优08　解三角形中的新定义与创新问题　★★★★ 33 五、过关检测 37 一、单选题 37 二、多选题 39 三、填空题 41 四、解答题 42 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 正弦定理 理解 的几何意义，能解决"已知两角及任一边"与"已知两边及其中一边的对角"两类问题 余弦定理 掌握 及其变形，能解决"已知两边及夹角"与"已知三边"两类问题，会判断角的类型 三角形面积 掌握 等三种形式及 、，并能与正、余弦定理联用求边、求角、求面积 边角互化与形状判断 能用正弦定理、余弦定理实现边角互化，判断三角形的形状，并处理中线、角平分线、高线等图形中的问题 解三角形的实际应用 能建立数学模型，用正、余弦定理解决距离、高度、角度等测量问题，理解仰角、俯角、方位角的含义 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T18 已知两边及夹角，余弦定理求边、正弦定理求角 ★★ 2026 全国二卷 T17 边角互化，证明三角形为钝角三角形并综合面积求周长 ★★★★ 2026 天津卷 T14 正弦定理与边角互化求边 ★★ 2026 北京卷 T15 摇杆机械装置中的余弦定理与取值范围 ★★★ 2025 全国一卷 T11 面积、二倍角公式与正、余弦定理交汇（多选） ★★★★ 2025 全国二卷 T6 余弦定理直接解三角形 ★★ 2025 北京卷 T16 结构不良问题，求 边上的高 ★★★ 2025 上海卷 T11 阳光影子投射在斜面上的实际测量问题 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T15 正、余弦定理与三角形面积公式 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T15 辅助角公式与正弦定理边角互化 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T11 正弦定理、余弦定理求 ★★★★ 2024 北京卷 T16 二倍角公式、正弦定理与结构不良问题 ★★★★ 考情分析 解三角形是高考的"必考主干"，近三年稳定出现在选择、填空与解答题中，分值约 5~15 分，难度覆盖易、中、难三档。从 2024—2026 年的命题看，考查重心由"套用公式求边角"转向"边角互化＋多知识点交汇"：2024 年新课标Ⅰ卷先由余弦定理求出角 ，再用正弦定理求角 ，新课标Ⅱ卷把辅助角公式与正弦定理串成一条线，全国甲卷（理）在第 11 题把正弦定理、余弦定理与三角恒等变换编入同一道选择压轴题；2025 年全国一卷第 11 题以三角形面积为载体，综合二倍角公式、射影定理与和差化积，成为多选题压轴；2026 年全国一卷的解答题先用余弦定理求边、再用正弦定理求角，全国二卷要求证明三角形为钝角三角形并综合面积求周长。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本专题核心素养指向"逻辑推理、数学运算与数学建模"。预测 2027 年高考仍以"已知两边一角、已知三边"为主干，并在最值与范围、中线与角平分线、多三角形与生活情境处提升区分度。 复习目标 1．准确理解正弦定理、余弦定理及其各种变形，能在"已知两角及一边、已知两边及夹角、已知三边、已知两边及一边的对角"四类情形下选择恰当定理； 2．熟练运用三角形面积公式，并能与正、余弦定理联用，解决求边长、求角度、求面积的问题； 3．掌握边角互化的两条路径，会判断三角形的形状，会处理中线、角平分线、高线以及多三角形（平面四边形）问题； 4．突破三角形中的最值与范围，以及解三角形与三角函数、不等式、向量的交汇问题和实际应用问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　解三角形知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　正弦定理及其变形 在 中，若角 所对的边分别为 ， 为 外接圆的半径，则 。 常用变形如下： ①（边化角）； ②（角化边）； ③（边与角的正弦成比例）； ④（等比性质）。 由 还可推出 ，这是面积与外接圆半径的桥梁。 【方法技巧】 1．"已知两角及任一边"型：先用内角和求出第三个角，再用正弦定理求其余两边，此时解唯一； 2．"已知两边及其中一边的对角"型（SSA）：先用正弦定理求出另一边的对角，再依"大边对大角"与内角和讨论解的个数； 3．边角互化牢记"齐次原则"：等式两边关于边（或角的正弦）都是同次式时，才能用正弦定理整体代换，否则会出现量纲不一致的错误。 【易错清单】 1．由 求 时， 可能为锐角，也可能为钝角，必须结合"大边对大角"与内角和取舍； 2．正弦定理中的比值等于 而非 ，切勿漏写因子 ，否则求角、求边会整体出错； 3．若边长比写成 ，则对应关系是 ，切忌把 与 对应。 知识点2　余弦定理及其变形 在 中，，，。 常用变形（由边求角）： ①，，； ②，常用来把"两边平方和与第三边平方之差"转化为 。 推论（用于判断角 的类型）： 为锐角；； 为钝角。 【方法技巧】 1．"已知两边及夹角"型与"已知三边"型优先使用余弦定理，此时解唯一，无需讨论； 2．条件中出现 与 时，常把余弦定理与 （当且仅当 时取等号） 联用，是求最值的常规入口； 3．求角时先算余弦值，再由 在 上单调递减 确定角，避免多解。 【易错清单】 1．余弦定理求出的余弦值必须落在 内，否则三边不能构成三角形，应检查已知数据； 2．用"最大边所对的角最大"判断三角形形状时，只需比较最大边的平方与另外两边平方和的大小； 3．公式中 的""与""都极易漏写，写错即全错，建议按"两边平方和、减去二倍夹边之积与夹角余弦"逐字核对。 知识点3　三角形的面积公式 三角形的面积公式有以下常用形式： ①（两边与夹角）； ②（ 为外接圆半径）； ③（ 为内切圆半径，）； ④（海伦公式）。 【方法技巧】 1．已知"两边及夹角"或"两角及一边"求面积时，先把条件补全（解出所需的两边与夹角），再套 ； 2．面积与余弦定理联用是"面积最值"的入口： 与 配合基本不等式可求 的最大值； 3．求外接圆半径用 ，求内切圆半径用 ，两者不要颠倒。 【易错清单】 1．面积公式中的角必须是所取两边所夹的角，、 只能用 ，用错夹角是本专题最高频的失分点； 2． 中的 与余弦定理中的 要"一一对应"，切忌张冠李戴； 3．由面积反解角时 可能对应两个角，需结合边的范围或角的范围取舍。 知识点4　三角形中的边角关系与形状判断 三角形中的常用关系： ①内角和：，从而 、； ②大边对大角、大角对大边：； ③三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 判断三角形形状的两条路径： ①化角为边：用正弦定理把 换成 ，再因式分解； ②化边为角：用余弦定理把边换成角的余弦，再进行三角恒等变换。 【方法技巧】 1．由 只能推出 或 ，即"等腰或直角"，切不可漏解； 2．变形后若出现 或 即为等腰，出现 或 即为直角，两者都出现时需分情况讨论； 3．"等边"的常见等价条件： 或 或 。 【易错清单】 1．由 得 ；由 得 或 ，二者结论不同，绝不能混用； 2．判断形状时等式两边必须齐次，否则化边为角后会出现量纲不一致的错误； 3．由一个角为锐角不能断定三角形是锐角三角形，需三个角都为锐角才成立。 知识点5　解三角形的实际应用（测量问题） 常见的测量模型： ①距离问题：两点间不可直接到达时，构造三角形，用正弦定理或余弦定理求边长； ②高度问题：底部不可到达的高度，在同一铅垂面内构造直角三角形与斜三角形，注意"仰角、俯角"的定义（视线与水平线的夹角）； ③角度问题：注意"方位角"（从正北方向顺时针旋转所成的角）与"方向角"（相对正北或正南方向的偏角）的区别。 解应用题的一般步骤：审题（画出示意图）→ 建模（把已知量与未知量归入三角形）→ 求解（正、余弦定理）→ 还原（回答实际问题）。 【方法技巧】 1．先画图、后计算：把文字条件逐一标注在示意图上，明确每一条边与每一个角，是解题成败的关键； 2．含两个三角形的模型先解"条件完整的那个"，再把公共边（或公共角）作为桥梁去解另一个三角形； 3．涉及方位角时以正北（或正南）方向为基准，结合"平行线的内错角相等"把角转移到三角形内。 【易错清单】 1．仰角、俯角是视线与水平线的夹角，方位角从正北方向顺时针度量，切勿混用； 2．实际问题中算出的长度、角度要结合图形与生活常识验证合理性，明显矛盾的结果应检查图形或计算过程； 3．注意角度制与弧度制的统一以及题目对近似值的要求，避免在最后一步因舍入而失分。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　利用正、余弦定理解三角形　★★ 【解题技巧】解三角形"先定时型、再选定理"：已知两角及任一边用正弦定理，已知两边及夹角或三边用余弦定理。四类情形的判定口诀是"角多选弦、边多选余"——条件里边的信息多（含夹角或三边）就上余弦定理，角的信息多（两角）就上正弦定理。遇到"已知两边及其中一边的对角"必须记住：解可能不唯一，用"大边对大角"检验解的个数。 【注意事项】本重难点有三大陷阱：①边角对应错位，把 与 搭配；②漏写 中的 ；③"两边一对角"型漏解。求角时一律"先求余弦、后判角"，因为 在 上单调递减，一值对应一角，比用正弦更不容易漏解。 【例1-1】（2026·全国一卷·高考真题）在 中，已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】已知两边及夹角，先用余弦定理求 ，再由同角关系求 ，最后用正弦定理求 。 【解答过程】由余弦定理得 ，所以 。 因为 ，所以 。 由正弦定理 得 。故选 D。 【例1-2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由余弦定理把三边关系化为角 的余弦值，求出 ，再代入另一条件求 。 【解答过程】由余弦定理得 。 因为 ，所以 ，从而 。 又 ，即 ，得 。因为 ，所以 。故选 C。 【例1-3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用辅助角公式把条件化为 ，再结合角的范围求解。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 。 又 ，所以 ，故 ，得 。故选 A。 【变式1-1】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】用正弦定理求 ，再由"大边对大角"与内角和逐一检验两种可能。 【解答过程】由正弦定理得 。 因为 ，所以 或 。因为 ，所以 ，这两个值都满足；当 时 ，当 时 ，两种情况都能构成三角形。故选 C。 【变式1-2】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用正弦定理求角 ，注意 为钝角，再求 ，最后用正弦定理求 。 【解答过程】由正弦定理得 。 因为 ，所以 ，故 ，于是 。 由正弦定理 。故选 A。 【变式1-3】在 中，若 ，，，则最大内角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】最大边所对的角最大，用余弦定理求出该角的余弦值。 【解答过程】因为 最大，所以 最大。由余弦定理得 。故选 B。 【变式1-4】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用正弦定理把边统一化为角，左边正好凑成 ，再约去 求角。 【解答过程】由正弦定理，将 化为 。 即 。因为 ，所以 。 又 ，故 化为 ，得 。因为 ，所以 。故选 C。 【变式1-5】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】已知两边及夹角，直接用余弦定理求第三边。 【解答过程】由余弦定理得 ，所以 。故选 A。 重难点培优02　三角形的形状判断　★★ 【解题技巧】形状判断"两条路"：条件中含边又有角、且为齐次式时，用正弦定理把边化为角，或把角化为边；出现平方和时优先化边为角再用余弦定理。判定的"信号"是：出现 或 为等腰，出现 或 为直角，两者都出现则需分情况。 【注意事项】形状判断的"两个必错点"：一是由 只写出 ，漏掉 ；二是化边为角后未检验齐次性。凡遇到 、 一类，必须写出"或"字后的第二种情形。 【例2-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由正弦定理把 化为 的值，再由余弦定理与正弦定理求出 ，最后用完全平方公式求 。 【解答过程】由 及 得 。 又 ，，代入得 ，所以 。 由余弦定理 ，得 ，由正弦定理得 。 所以 。 因为 ，，所以 。故选 C。 【例2-2】（2026·浙江·杭州·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】用正弦定理把边化为角，再用 与两角和的正弦公式化简，判断角的关系。 【解答过程】由正弦定理， 可化为 。 因为 ，所以 ，代入得 。 整理得 ，即 。因为 ，所以 ，于是 ，即 为等腰三角形。故选 B。 【例2-3】（2025·江苏·南京·二模改编）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】用正弦定理把三个比值统一化成正切，由 得三角相等。 【解答过程】由正弦定理 得 。 同理 ，。由条件得 。 由 且 得 ，结合 得 ；同理 。所以 ，即 为等边三角形。故选 A。 【变式2-1】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦值相等分"两角相等"与"两角互补"两种情况讨论。 【解答过程】由 得 或 。 当 时 ，此时 ， 为等腰三角形；当 时 ，此时 ， 为直角三角形。 所以 一定是等腰三角形或直角三角形。故选 D。 【变式2-2】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解题思路】用正弦定理把 化为角的正弦之比，再用二倍角公式判形。 【解答过程】由正弦定理 ，代入得 ，即 。 由二倍角公式得 ，所以 或 ，即 或 。 所以 为等腰三角形或直角三角形。故选 C。 【变式2-3】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】用正弦定理把角化为边，再用勾股定理的逆定理判定。 【解答过程】由正弦定理把 化为 （两边同乘以 即可）。 所以 ，即 为直角三角形。故选 B。 【变式2-4】在 中，内角 成等差数列，且 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．有一个角为 的三角形 【答案】A 【解题思路】由等差中项求出 ，再结合 与余弦定理推出 。 【解答过程】因为 成等差数列，所以 ，又 ，得 ，。 由余弦定理 。又 ，所以 ，即 ，，得 。 于是 ，故 ， 为等边三角形。故选 A。 【变式2-5】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解题思路】展开两角和与两角差的正弦，把边统一化为角，整理出 。 【解答过程】展开得 。 移项整理得 ，即 。 由正弦定理 ，，代入得 。 因为 ，两边约去 得 ，即 。 所以 或 ， 为等腰三角形或直角三角形。故选 C。 重难点培优03　三角形中的最值与范围　★★★ 【解题技巧】最值与范围问题有"两条主线"：一是边角互化后化为一角一函，用 的有界性求最值；二是锁定"定边定角"后用基本不等式，如 与 联用得到 的上界。至于范围（而非最值）问题，必须写出角的范围并检验端点能否取到。 【注意事项】求范围问题有两个高频失分点：一是只求最值不写范围，或把"最大值"与"取值范围"混为一谈；二是忽略三角形本身对角的限制——例如锐角三角形要求每个角都小于 ，端点往往取不到，答案应是开区间。 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知 的面积为 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用二倍角公式把第一个等式化为 ，再结合第二个等式证明 ，最后由面积条件求出外接圆半径的意义下的各边关系。 【解答过程】由 得 ，即 。 又 ，且 ，所以 ，，即 均为锐角。 由 ，代入上式得 ， 即 。 若 ，则 ，由 均为锐角得 ，同理 ，左边为正，矛盾；若 ，同理左边为负，也矛盾。 所以 ，即 ，此时 。 由面积 得 。 又 ，即 ，而 ，所以 。 由 ，，得 ，解得 ，。 故 。故选 A。 【例3-2】（2026·湖南·长沙一中·考前模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用余弦定理把 表示为 与 的组合，再用基本不等式求 的最大值。 【解答过程】由余弦定理 。 由基本不等式 得 ，即 （当且仅当 时取等号）。 所以 ，。当 时 ，取到最小值 。故选 B。 【例3-3】（2025·山东·济南·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由余弦定理求出 ，再用正弦定理把 化为一角一函，用正弦函数的有界性求最大值。 【解答过程】由余弦定理及 得 ，所以 。 由 及 得 ，所以 ，。 又 ，所以 。 因为 ，所以 （当 时取等号），故 。故选 B。 【变式3-1】在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用正弦定理把 化为角的正弦之和，再用和差化积与余弦函数的有界性求解。 【解答过程】由 及 ， 得 ，所以 。 又 ，所以 。 所以 （当 时取等号）。故选 C。 【变式3-2】在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用余弦定理表示 ，再用基本不等式把 放大。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 。 当 时取等号，故 的最大值为 。故选 C。 【变式3-3】在锐角三角形 中，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用正弦定理把 化为 ，再由锐角条件确定 的取值范围，端点不能取到。 【解答过程】由正弦定理 。由 得 ，即 。 因为 为锐角三角形，所以 且 ，解得 。 此时 。 当 时，，比值为 ；当 时，，比值为 （两端均取不到）。故选 A。 【变式3-4】在 中，，，则 周长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用正弦定理把 化为角的正弦之和，求出其范围后再加上 。 【解答过程】由 及 ， 得 ，所以 。 又 ，所以 。 因为 ，所以 ，于是 。 所以周长 。故选 A。 【变式3-5】在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用余弦定理把 表示为 与 ，再用基本不等式求 的上界。 【解答过程】由余弦定理 。 所以 （当 时取等号）。故选 A。 重难点培优04　解三角形中的中线、角平分线、高线问题　★★★ 【解题技巧】处理这三条"特殊线"要"先给公式、再算两次"：中线长 ，即 ，其推导只需在两条子三角形中用余弦定理并联立 ；角平分线满足角平分线定理 ，角平分线长 （可由两个子三角形的面积之和等于原三角形面积推出）；高线则一律借助面积 。 【注意事项】三类问题的通病是"一条线算两遍、却不联立"：中线与角平分线都要在两条子三角形中分别用余弦定理，利用互补角的余弦互为相反数建立方程；另外面积既是"桥"也是"验算器"，凡是出现高线、角平分线，都应当回到面积上核对一遍，防止边长比与面积比用反。 【例4-1】（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ，，且 为钝角，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用二倍角公式化简已知等式，注意 为钝角保证 ，得到 的值，再由正弦定理求 ，最后用" 为钝角"定角。 【解答过程】由 及已知得 。 因为 为钝角，所以 为锐角，，两边约去 得 ，即 。 由正弦定理 得 ，所以 。 因为 为钝角，所以 。故选 B。 【例4-2】（2026·湖北·武汉·三模）在 中，，，，则 边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用余弦定理求 ，再代入中线长公式。 【解答过程】记 ，，。由余弦定理 。 由中线长公式 ，所以 。故选 A。 【例4-3】（2025·福建·厦门双十中学·模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则 的平分线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接用角平分线长公式 计算。 【解答过程】设 的平分线长为 ，由角平分线长公式 。 代入 ，， 得 。故选 A。 【变式4-1】在 中，，， 边上的中线 的长为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把已知量代入中线长公式，反解出 。 【解答过程】记 ，，。由中线长公式 得 。 所以 ，，。故选 A。 【变式4-2】在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 与面积，再用 求高。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 。 面积 。 所以 边上的高 。故选 A。 【变式4-3】在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 边的长与面积，再用 。 【解答过程】记 。由余弦定理 ，所以 。 面积 。 所以 边上的高 。故选 A。 【变式4-4】在 中， 是 的平分线，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两个子三角形的高相同（都为点 到 的距离），面积比等于底边之比，再用角平分线定理。 【解答过程】 与 的顶点同为 ，底边都在直线 上，故两三角形的高相等，面积比等于底边之比。 由角平分线定理 ，所以 。故选 A。 【变式4-5】在 中，内角 的对边分别为 ，，，， 边上的中线 交 于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再代入中线长公式。 【解答过程】由余弦定理 。 由中线长公式 ，所以 。故选 A。 重难点培优05　多三角形（平面四边形）问题　★★★ 【解题技巧】多三角形问题的核心是"找公共边、公共角"：优先解"条件完整的那个三角形"，把它的边或角（尤其是对角线与公共角）算出来，再作为桥梁去解另一个三角形。若图形中只给部分条件，则设未知数，在两个三角形中分别用余弦定理，联立求解。 【注意事项】两个易错点：一是公共角被"合并"后忽略其拆分关系，如 ，切不可与 混用；二是忽略四边形本身的几何约束（如 落在 内部还是外部），导致加减号出错。解题前务必画出示意图，把每个角标清楚。 【例5-1】（2026·四川·成都七中·二诊）在平面四边形 中，，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先在 中用余弦定理求对角线 ，再在 中用勾股定理求 。 【解答过程】在 中，由余弦定理 。 在 中，因为 ，所以 ，即 ，得 ，。故选 A。 【例5-2】（2026·重庆·巴蜀中学·模拟）在平面四边形 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由 为等边三角形求出 与 ，再确定 ，最后在 中用余弦定理求 。 【解答过程】在 中，，，故 为等边三角形，，。 在 中，，故 为等边三角形，。 所以 。 在 中，由余弦定理 ，所以 。故选 A。 【例5-3】（2025·广东·深圳中学·模拟）在平面四边形 中，，，， 是边长为 的等边三角形，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先在 中求 并验证 的三角函数值，再求 ，最后在 中用余弦定理求 。 【解答过程】在 中，，所以 。 由余弦定理 ，则 。 因为 为等边三角形，所以 ，，于是 。 。 在 中，，所以 。故选 A。 【变式5-1】在平面四边形 中，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先在等腰直角三角形 中求 与 ，再确定 ，最后用余弦定理求 。 【解答过程】在 中，，，所以 ，，且 。 。 在 中，由余弦定理 ，所以 。故选 A。 【变式5-2】在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用余弦定理判断 为直角，再确定高。 【解答过程】因为 ，所以 ，即 。 于是 边上的高即为 的长，等于 。故选 A。 【变式5-3】在平面四边形 中，，，， 是等边三角形，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 与 ，再由等边三角形得 ，求出 ，最后用余弦定理求 。 【解答过程】在 中，，所以 。 由余弦定理 ，则 。 因为 为等边三角形，所以 ，，于是 。 。 在 中，，所以 。故选 A。 【变式5-4】在 中，，，， 是 上一点，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 与 ，再在 中用余弦定理列方程解 。 【解答过程】在 中，，，。 设 。在 中，由余弦定理 ，即 。 所以 ，，得 ，即 。故选 A。 【变式5-5】在平面四边形 中，，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先在 中求 ，再由 用勾股定理求 。 【解答过程】在 中，，所以 。 因为 ，所以 ，。故选 A。 重难点培优06　解三角形的实际应用（测量问题）　★★★ 【解题技巧】测量问题的"四步法"：画图 → 标量 → 选三角形 → 用定理。仰角、俯角是视线与水平线的夹角，求塔高常用"两次观测、两个直角三角形"；方位角从正北方向顺时针度量，求距离常用"一个三角形中已知两角及一边"。遇到两个三角形共边的模型，先解"条件完整的那个"。 【注意事项】实际问题的"三处易错"：一是仰角与俯角混用，把"视线与水平线的夹角"当成"视线与竖直线的夹角"；二是方位角与方向角混淆，从正北顺时针量的是方位角，从正北或正南偏多少度才是方向角；三是只算不问，算出的结果要与图形、生活常识核对。 【例6-1】（2026·江苏·南京·一模）为测量一座塔的高度，某人在塔的正南方向 处测得塔顶的仰角为 ，向塔的方向前进 到 处，测得塔顶的仰角为 （ 与塔底在同一水平线上），则塔高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设塔高为 ，分别在两个直角三角形中用 表示水平距离，由两段距离之差等于 列方程。 【解答过程】设塔高为 ，塔底为 。在 （ 为塔顶）中，，所以 。 在 中，，所以 。 由 得 ，即 。 所以塔高为 。故选 A。 【例6-2】（2025·广东·广州·二模）某船在 处测得灯塔 在北偏东 方向，然后沿正东方向航行 海里到达 处，此时测得灯塔 在北偏西 方向，则灯塔与 处的距离 为（　　） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【答案】A 【解题思路】把方位角转化为 的内角，用正弦定理求 。 【解答过程】由题意， 海里。 在 的北偏东 方向，而 沿正东方向，故 。 在 的北偏西 方向，即 与正北方向成 偏向西，故 与正西方向（即 方向）的夹角为 ，即 。 于是 。由正弦定理 得 （海里）。故选 A。 【例6-3】（2026·安徽·合肥八中·三模）为测量河的一岸 两点（沿河岸方向，）与对岸一目标 的河宽（即点 到直线 的距离），测得 ，，则河宽为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在 中用正弦定理求 （或 ），再在直角三角形中求点 到 的距离。 【解答过程】在 中，，，所以 。 由正弦定理 得 。 点 到直线 的距离 。 因为 ， 所以 。故选 A。 【变式6-1】某人在 处测得建筑物顶的仰角为 ，向建筑物走 到 处，测得仰角为 ，则建筑物高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设高为 ，分别在两个直角三角形中表示水平距离，由距离之差列方程。 【解答过程】设建筑物高为 ，其底部为 。由题意，水平距离之差 。 即 ，整理得 ，解得 。故选 A。 【变式6-2】某人在地面 处测得塔顶的仰角为 ，沿直线前进 到 处，测得塔顶的仰角为 ，则塔高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设塔高为 ，用两次仰角表示水平距离，作差列方程。 【解答过程】设塔高为 ，塔底为 。则 ，即 。 整理得 ，所以 。故选 A。 【变式6-3】某船在 处测得灯塔 在北偏东 方向，沿正东方向航行 海里到 处，测得灯塔 在北偏西 方向，则灯塔到 处的距离 为（　　） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【答案】C 【解题思路】与例 6-2 同图，先确定 的三个内角，再用正弦定理求 。 【解答过程】由例 6-2 的分析知 ，，。 由正弦定理 得 （海里）。故选 C。 【变式6-4】在楼顶 处测得远处地面上一塔顶 的俯角为 ，测得塔底 的俯角为 ，已知楼高 （楼顶 与塔在同一竖直平面内），则塔高 为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】俯角是视线与水平线的夹角，先由塔底 的俯角求出水平距离，再由塔顶 的俯角列方程求塔高。 【解答过程】设楼顶 到塔底 的水平距离为 ，塔高为 。 由 的俯角为 得 ，所以 。 由 的俯角为 得 ，即 。 所以 （）。故选 A。 【变式6-5】一船在海面 处测得灯塔 在其正北方向，船向东航行了 海里到 处，测得灯塔 在北偏西 方向，则灯塔 到 处的距离为（　　） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【答案】A 【解题思路】由" 在 正北"与" 在 北偏西 "确定 的内角，再用正弦定理求 。 【解答过程】因为 沿正东方向， 沿正北方向，所以 。 在 的北偏西 方向，即 与正北方向成 偏向西，故 与正西方向（即 方向）成 ，即 。 于是 。由正弦定理 得 （海里）。故选 A。 重难点培优07　解三角形与三角函数、不等式、向量的交汇　★★★★ 【解题技巧】交汇问题的破题策略是"先定主角、再找工具"：向量条件优先翻译为数量积 ，把几何语言变成三角函数语言；三角条件优先用恒等变换化到"一角一函"；最值问题则把目标锁定在 、、 上，交给基本不等式处理。 【注意事项】三条"红线"不能踩：一是数量积的夹角必须是两向量的夹角， 用的是角 ，切勿与 （角 ）混用；二是用基本不等式必须说明等号何时成立，并检验此时三角形确实存在；三是三角恒等变换后要回收角的范围，否则最值会取错。 【例7-1】（2026·福建·福州一中·四模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把数量积化为 ，求出 ，再由 确定 ，最后用余弦定理求 。 【解答过程】由数量积的定义 。 由 得 。又 ，所以 是方程 的两根，即 。 由余弦定理 ，所以 。故选 A。 【例7-2】（2025·浙江·宁波·二模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用 把 展开为两角和的正弦，与左边相消后解出 。 【解答过程】由 得 。 代入条件得 ，即 。 因为 ，所以 ，即 。因为 ，所以 。故选 C。 【例7-3】（2024·湖南·长沙·模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用余弦定理把 表示为 ，再用基本不等式求 的最大值，最后代入面积公式。 【解答过程】由余弦定理 。 由基本不等式 ，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）。 面积 。 当 时 为等边三角形，等号成立。故选 A。 【变式7-1】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由数量积求出 ，再用余弦定理求 。 【解答过程】，所以 。 由余弦定理 ，所以 。故选 A。 【变式7-2】在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用余弦定理把 写成 与 的组合，再与 联立解出 。 【解答过程】由余弦定理 。 又 ，所以 ，得 ，从而 ，（此时 ， 为等边三角形）。故选 A。 【变式7-3】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用余弦定理把 表示为 ，再由基本不等式确定 的范围。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 。 由 得 ，所以 （ 时取等号）。 所以 。故选 A。 【变式7-4】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把数量积化为 ，再用基本不等式求 的最大值。 【解答过程】。 由基本不等式 （当且仅当 时取等号），所以 。故选 A。 【变式7-5】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用余弦定理与基本不等式锁定 的上界。 【解答过程】由余弦定理 。由 得 。 所以 （当 时取等号）。故选 A。 重难点培优08　解三角形中的新定义与创新问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三步译码"：读（逐字读清新符号的条件与运算）→ 译（把新定义翻译成边角关系、面积关系或恒等式）→ 算（按定义代入，最后回代原定义检验）。遇到恒等式要敢于联想常用结论，如 、。 【注意事项】新定义题最忌"想当然"：把新定义当成"等腰""直角"等旧标签直接套用，或只用部分条件就下结论。务必逐条使用定义中的每一个等式，并在最后用三角形的基本约束（内角和、三边关系）验证结论是否合理。 【例8-1】（2026·湖北·华中师大一附中·模拟）定义：若 的三边 满足 ，则称 为"平衡三角形"。已知 为"平衡三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把定义中的等式配方成完全平方和，推出三边相等，从而得到三角形为等边三角形。 【解答过程】由 得 。 配方得 ，故 ，，，即 。 所以 为等边三角形，。故选 C。 【例8-2】（2025·江苏·常州·一模）定义：若 满足 ，则称 为"勾股型三角形"。已知 为"勾股型三角形"，则 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】用恒等式 把条件转化为 。 【解答过程】由恒等式 （可由 推出）， 条件 化为 ，即 。 因为 ，所以 中恰有一个为 ，即三角形中恰有一个角为 。 所以 为直角三角形。故选 B。 【例8-3】（2026·湖南·雅礼中学·月考）定义：若 满足 ，则称 为"二倍角三角形"。已知 是"二倍角三角形"，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 用正弦定理把 与 之比化为 ，求出角 ，再求角 ，最后求 。 【解答过程】由 及正弦定理得 。 代入 ， 得 ，即 ，所以 ，从而 。 于是 。由正弦定理 得 。故选 A。 【变式8-1】定义：若 满足 ，则称 为"余弦和三角形"。已知 为"余弦和三角形"，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】先用和差化积把 放缩为 ，再配方求 的最大值，并讨论等号成立的条件。 【解答过程】因为 ，所以 。 于是 。令 ，则 ，所以 。 由 知两个不等号处都取等号，即 且 ， 于是 ，即 ，且 ，所以 。 故 为等边三角形。故选 A。 【变式8-2】定义：若 的三边 满足 ，则称 为" 型三角形"。已知 为" 型三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把新定义与余弦定理的变形 直接对照。 【解答过程】由 得 。 由余弦定理 。 因为 ，所以 。故选 A。 【变式8-3】定义：若 满足 ，则称 为"正弦型三角形"。已知 为"正弦型三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用正弦定理把正弦式化为边的平方关系，再用余弦定理求角。 【解答过程】由正弦定理可把 化为 （两边同乘 ）。 由余弦定理 。因为 ，所以 。故选 B。 【变式8-4】定义：若 满足 ，则称 为"对称型三角形"。已知 为"对称型三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用和差化积化简右边为 ，再解关于 的三角方程。 【解答过程】因为 ，， 所以 （）。 由 得 。 条件化为 ，即 。 因为 ，两边约去得 ，即 。又 ，所以 ，。故选 D。 【变式8-5】定义：若 的三边 成等差数列，则称 为"等差边三角形"。已知 为"等差边三角形"，且 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】由等差中项得 ，结合余弦定理推导边相等。 【解答过程】由 成等差数列得 ，即 。 由余弦定理 。 代入 得 ，即 ，整理得 ，即 ，所以 。 于是 ， 为等边三角形。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把条件展开后用余弦定理化为角 的余弦值。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 。 由余弦定理 ，所以 。故选 B。 2．【巩固】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】已知两边及夹角，直接用余弦定理。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 。故选 A。 3．【巩固】在 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦定理把正弦比化为边长比，再用余弦定理求 。 【解答过程】由正弦定理 ，可设 ，，。 由余弦定理 。故选 B。 4．【巩固】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】左边由射影定理等于 ，从而直接解出 。 【解答过程】由射影定理（或正弦定理）可知 。 代入条件得 ，因为 ，所以 ，。故选 C。 5．【进阶】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由正弦定理求角 ，再求角 ，最后求 。 【解答过程】由正弦定理 。因为 ，所以 ，。 所以 。故选 A。 6．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用正弦定理把边的关系化为角的正弦关系，再用二倍角公式化简。 【解答过程】由正弦定理， 化为 。又 ，所以 ，即 。 因为 ，约去得 ，所以 。故选 A。 7．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】把 化为 并展开，整理出 。 【解答过程】由 得 。 代入条件得 ，即 ，。 因为 ，所以 ，即 为等腰三角形。故选 A。 8．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用余弦定理与基本不等式求 的上界。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 （当 时取等号）。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的最大值为 C．若 ，则 的最大值为 D．若 ，则 的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】先由余弦定理求出 ，再分别用正弦定理与基本不等式检验各选项。 【解答过程】由 得 ，A 正确。 由 得 ，B 正确。 若 ，由 得 ，故 ，最大值为 而非 ，C 错误。 若 ，由 得 ，D 正确。故选 ABD。 10．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 的面积为 【答案】ABD 【解题思路】把 代入余弦定理，配方推出 ，从而判断三角形形状。 【解答过程】由余弦定理 。又 ，所以 ，即 ，得 。 于是 为等腰三角形且 ，故 ，三角形为等边三角形，。A 正确，B 正确，C 错误。 等边三角形面积为 ，D 正确。故选 ABD。 11．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 的面积为 【答案】ABC 【解题思路】先用余弦定理求 ，再逐一求 、 与面积。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 ，A 正确。 ，B 正确。 ，C 正确。 面积 ，D 错误。故选 ABC。 12．【培优】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 面积的最大值为 C． 的取值范围是 D． 的最小值为 【答案】AB 【解题思路】用余弦定理锁定 的范围，再用正弦定理把 、 化为一角一函，逐一验证。 【解答过程】由余弦定理 ，得 。 由 得 ，故 （ 时取等号）。 由 得 ，所以 ，A 正确。 面积 ，B 正确。 ，左端点取不到，C 错误。 ，D 错误。故选 AB。 三、填空题 13．【巩固】在 中，，，，则 ______． 【答案】 【解题思路】已知两边及夹角，直接用余弦定理。 【解答过程】由余弦定理 ，所以 。 14．【进阶】在 中，，，则 外接圆的半径为 ______． 【答案】 【解题思路】由正弦定理 直接求解。 【解答过程】由正弦定理 得 ，所以外接圆半径 。 15．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为 ______． 【答案】等腰三角形 【解题思路】用正弦定理化边为角，整理出 。 【解答过程】由正弦定理， 化为 ，即 。 因为 ，所以 ，故 为等腰三角形。 16．【培优】在 中，，，则 面积的最大值为 ______． 【答案】 【解题思路】用基本不等式求 的最大值，再代入面积公式，并检验等号能否成立。 【解答过程】由基本不等式 （当且仅当 时取等号）。 面积 。 当 时 ，，三角形存在，故面积的最大值为 。 四、解答题 17．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． (1) 求 ； (2) 若 ，求 的最大值，并指出此时三角形的形状． 【答案】(1) ；(2) 的最大值为 ，此时 为等边三角形． 【解题思路】(1) 由射影定理化简左边求出 ；(2) 用余弦定理与基本不等式求 的上界并检验等号成立条件。 【解答过程】(1) 由射影定理 ，代入得 。因为 ，所以 ，故 。 (2) 由余弦定理 。 由基本不等式 得 ，所以 。 当 时 ，结合 得 ，即 ，此时 ， 为等边三角形。 所以 的最大值为 ，此时 为等边三角形。 18．【培优】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． (1) 求 ； (2) 若 ，求 面积的最大值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用余弦定理把 展开，化简后与余弦定理对照求 ；(2) 用基本不等式求 的上界再求面积。 【解答过程】(1) 由余弦定理 ，所以 。 代入条件得 ，即 ，整理得 。 由余弦定理 ，所以 。 (2) 由 及余弦定理 。 由基本不等式 得 ，所以 （当 时取等号）。 面积 ，即面积的最大值为 。 19．【培优】某测量小组在塔的正南方向的 处测得塔顶 的仰角为 ，沿正北方向前进 到 处，测得塔顶 的仰角为 （ 与塔底 在同一水平线上，且三点共线）． (1) 求塔高 ； (2) 求 ，其中 为塔顶（即点 到 、 两点所张角的正弦值）． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用两个直角三角形分别表示 、，由差为 列方程；(2) 把 转化为 的内角，用两次观测的直角三角形求出 与 。 【解答过程】(1) 设塔高 。在直角三角形 中，，所以 。 在直角三角形 中，，所以 。 由 得 ，即 （）。 (2) 记塔顶为 （即 ）。因 共线且 在 的北侧，所以射线 沿正北方向。 在直角三角形 中，，得 ，即 。 在直角三角形 中，，得 ；因为射线 与 方向相反，所以 。 于是 ，。 20．【培优】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． (1) 求 ； (2) 若 ，求 周长的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 周长的取值范围为 ． 【解题思路】(1) 直接把条件代入余弦定理的变形求角 ；(2) 用正弦定理把 化为一角一函，求出其范围后加上 。 【解答过程】(1) 由余弦定理 。由 得 。 所以 。因为 ，所以 。 (2) 由 及 ， 得 。 所以 。 因为 ，所以 ，，从而 。 所以周长 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 解三角形（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　正弦定理及其变形 4 知识点2　余弦定理及其变形 5 知识点3　三角形的面积公式 6 知识点4　三角形中的边角关系与形状判断 7 知识点5　解三角形的实际应用（测量问题） 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　利用正、余弦定理解三角形　★★ 9 重难点培优02　三角形的形状判断　★★ 10 重难点培优03　三角形中的最值与范围　★★★ 11 重难点培优04　解三角形中的中线、角平分线、高线问题　★★★ 13 重难点培优05　多三角形（平面四边形）问题　★★★ 14 重难点培优06　解三角形的实际应用（测量问题）　★★★ 15 重难点培优07　解三角形与三角函数、不等式、向量的交汇　★★★★ 17 重难点培优08　解三角形中的新定义与创新问题　★★★★ 18 五、过关检测 21 一、单选题 21 二、多选题 22 三、填空题 23 四、解答题 23 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 正弦定理 理解 的几何意义，能解决"已知两角及任一边"与"已知两边及其中一边的对角"两类问题 余弦定理 掌握 及其变形，能解决"已知两边及夹角"与"已知三边"两类问题，会判断角的类型 三角形面积 掌握 等三种形式及 、，并能与正、余弦定理联用求边、求角、求面积 边角互化与形状判断 能用正弦定理、余弦定理实现边角互化，判断三角形的形状，并处理中线、角平分线、高线等图形中的问题 解三角形的实际应用 能建立数学模型，用正、余弦定理解决距离、高度、角度等测量问题，理解仰角、俯角、方位角的含义 近三年高考真题对本专题的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T18 已知两边及夹角，余弦定理求边、正弦定理求角 ★★ 2026 全国二卷 T17 边角互化，证明三角形为钝角三角形并综合面积求周长 ★★★★ 2026 天津卷 T14 正弦定理与边角互化求边 ★★ 2026 北京卷 T15 摇杆机械装置中的余弦定理与取值范围 ★★★ 2025 全国一卷 T11 面积、二倍角公式与正、余弦定理交汇（多选） ★★★★ 2025 全国二卷 T6 余弦定理直接解三角形 ★★ 2025 北京卷 T16 结构不良问题，求 边上的高 ★★★ 2025 上海卷 T11 阳光影子投射在斜面上的实际测量问题 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T15 正、余弦定理与三角形面积公式 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T15 辅助角公式与正弦定理边角互化 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T11 正弦定理、余弦定理求 ★★★★ 2024 北京卷 T16 二倍角公式、正弦定理与结构不良问题 ★★★★ 考情分析 解三角形是高考的"必考主干"，近三年稳定出现在选择、填空与解答题中，分值约 5~15 分，难度覆盖易、中、难三档。从 2024—2026 年的命题看，考查重心由"套用公式求边角"转向"边角互化＋多知识点交汇"：2024 年新课标Ⅰ卷先由余弦定理求出角 ，再用正弦定理求角 ，新课标Ⅱ卷把辅助角公式与正弦定理串成一条线，全国甲卷（理）在第 11 题把正弦定理、余弦定理与三角恒等变换编入同一道选择压轴题；2025 年全国一卷第 11 题以三角形面积为载体，综合二倍角公式、射影定理与和差化积，成为多选题压轴；2026 年全国一卷的解答题先用余弦定理求边、再用正弦定理求角，全国二卷要求证明三角形为钝角三角形并综合面积求周长。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本专题核心素养指向"逻辑推理、数学运算与数学建模"。预测 2027 年高考仍以"已知两边一角、已知三边"为主干，并在最值与范围、中线与角平分线、多三角形与生活情境处提升区分度。 复习目标 1．准确理解正弦定理、余弦定理及其各种变形，能在"已知两角及一边、已知两边及夹角、已知三边、已知两边及一边的对角"四类情形下选择恰当定理； 2．熟练运用三角形面积公式，并能与正、余弦定理联用，解决求边长、求角度、求面积的问题； 3．掌握边角互化的两条路径，会判断三角形的形状，会处理中线、角平分线、高线以及多三角形（平面四边形）问题； 4．突破三角形中的最值与范围，以及解三角形与三角函数、不等式、向量的交汇问题和实际应用问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　解三角形知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　正弦定理及其变形 在 中，若角 所对的边分别为 ， 为 外接圆的半径，则 。 常用变形如下： ①（边化角）； ②（角化边）； ③（边与角的正弦成比例）； ④（等比性质）。 由 还可推出 ，这是面积与外接圆半径的桥梁。 【方法技巧】 1．"已知两角及任一边"型：先用内角和求出第三个角，再用正弦定理求其余两边，此时解唯一； 2．"已知两边及其中一边的对角"型（SSA）：先用正弦定理求出另一边的对角，再依"大边对大角"与内角和讨论解的个数； 3．边角互化牢记"齐次原则"：等式两边关于边（或角的正弦）都是同次式时，才能用正弦定理整体代换，否则会出现量纲不一致的错误。 【易错清单】 1．由 求 时， 可能为锐角，也可能为钝角，必须结合"大边对大角"与内角和取舍； 2．正弦定理中的比值等于 而非 ，切勿漏写因子 ，否则求角、求边会整体出错； 3．若边长比写成 ，则对应关系是 ，切忌把 与 对应。 知识点2　余弦定理及其变形 在 中，，，。 常用变形（由边求角）： ①，，； ②，常用来把"两边平方和与第三边平方之差"转化为 。 推论（用于判断角 的类型）： 为锐角；； 为钝角。 【方法技巧】 1．"已知两边及夹角"型与"已知三边"型优先使用余弦定理，此时解唯一，无需讨论； 2．条件中出现 与 时，常把余弦定理与 （当且仅当 时取等号） 联用，是求最值的常规入口； 3．求角时先算余弦值，再由 在 上单调递减 确定角，避免多解。 【易错清单】 1．余弦定理求出的余弦值必须落在 内，否则三边不能构成三角形，应检查已知数据； 2．用"最大边所对的角最大"判断三角形形状时，只需比较最大边的平方与另外两边平方和的大小； 3．公式中 的""与""都极易漏写，写错即全错，建议按"两边平方和、减去二倍夹边之积与夹角余弦"逐字核对。 知识点3　三角形的面积公式 三角形的面积公式有以下常用形式： ①（两边与夹角）； ②（ 为外接圆半径）； ③（ 为内切圆半径，）； ④（海伦公式）。 【方法技巧】 1．已知"两边及夹角"或"两角及一边"求面积时，先把条件补全（解出所需的两边与夹角），再套 ； 2．面积与余弦定理联用是"面积最值"的入口： 与 配合基本不等式可求 的最大值； 3．求外接圆半径用 ，求内切圆半径用 ，两者不要颠倒。 【易错清单】 1．面积公式中的角必须是所取两边所夹的角，、 只能用 ，用错夹角是本专题最高频的失分点； 2． 中的 与余弦定理中的 要"一一对应"，切忌张冠李戴； 3．由面积反解角时 可能对应两个角，需结合边的范围或角的范围取舍。 知识点4　三角形中的边角关系与形状判断 三角形中的常用关系： ①内角和：，从而 、； ②大边对大角、大角对大边：； ③三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 判断三角形形状的两条路径： ①化角为边：用正弦定理把 换成 ，再因式分解； ②化边为角：用余弦定理把边换成角的余弦，再进行三角恒等变换。 【方法技巧】 1．由 只能推出 或 ，即"等腰或直角"，切不可漏解； 2．变形后若出现 或 即为等腰，出现 或 即为直角，两者都出现时需分情况讨论； 3．"等边"的常见等价条件： 或 或 。 【易错清单】 1．由 得 ；由 得 或 ，二者结论不同，绝不能混用； 2．判断形状时等式两边必须齐次，否则化边为角后会出现量纲不一致的错误； 3．由一个角为锐角不能断定三角形是锐角三角形，需三个角都为锐角才成立。 知识点5　解三角形的实际应用（测量问题） 常见的测量模型： ①距离问题：两点间不可直接到达时，构造三角形，用正弦定理或余弦定理求边长； ②高度问题：底部不可到达的高度，在同一铅垂面内构造直角三角形与斜三角形，注意"仰角、俯角"的定义（视线与水平线的夹角）； ③角度问题：注意"方位角"（从正北方向顺时针旋转所成的角）与"方向角"（相对正北或正南方向的偏角）的区别。 解应用题的一般步骤：审题（画出示意图）→ 建模（把已知量与未知量归入三角形）→ 求解（正、余弦定理）→ 还原（回答实际问题）。 【方法技巧】 1．先画图、后计算：把文字条件逐一标注在示意图上，明确每一条边与每一个角，是解题成败的关键； 2．含两个三角形的模型先解"条件完整的那个"，再把公共边（或公共角）作为桥梁去解另一个三角形； 3．涉及方位角时以正北（或正南）方向为基准，结合"平行线的内错角相等"把角转移到三角形内。 【易错清单】 1．仰角、俯角是视线与水平线的夹角，方位角从正北方向顺时针度量，切勿混用； 2．实际问题中算出的长度、角度要结合图形与生活常识验证合理性，明显矛盾的结果应检查图形或计算过程； 3．注意角度制与弧度制的统一以及题目对近似值的要求，避免在最后一步因舍入而失分。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　利用正、余弦定理解三角形　★★ 【例1-1】（2026·全国一卷·高考真题）在 中，已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【变式1-2】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在 中，若 ，，，则最大内角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　三角形的形状判断　★★ 【例2-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·浙江·杭州·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例2-3】（2025·江苏·南京·二模改编）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2-1】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2-2】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【变式2-3】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2-4】在 中，内角 成等差数列，且 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．有一个角为 的三角形 【变式2-5】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 重难点培优03　三角形中的最值与范围　★★★ 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知 的面积为 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·湖南·长沙一中·考前模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2025·山东·济南·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】在锐角三角形 中，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】在 中，，，则 周长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】在 中，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　解三角形中的中线、角平分线、高线问题　★★★ 【例4-1】（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ，，且 为钝角，，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·湖北·武汉·三模）在 中，，，，则 边上的中线长为（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2025·福建·厦门双十中学·模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则 的平分线长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】在 中，，， 边上的中线 的长为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-2】在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】在 中， 是 的平分线，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】在 中，内角 的对边分别为 ，，，， 边上的中线 交 于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优05　多三角形（平面四边形）问题　★★★ 【例5-1】（2026·四川·成都七中·二诊）在平面四边形 中，，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·重庆·巴蜀中学·模拟）在平面四边形 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-3】（2025·广东·深圳中学·模拟）在平面四边形 中，，，， 是边长为 的等边三角形，则 的长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】在平面四边形 中，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】在 中，，，，则 边上的高为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】在平面四边形 中，，，， 是等边三角形，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-4】在 中，，，， 是 上一点，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】在平面四边形 中，，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优06　解三角形的实际应用（测量问题）　★★★ 【例6-1】（2026·江苏·南京·一模）为测量一座塔的高度，某人在塔的正南方向 处测得塔顶的仰角为 ，向塔的方向前进 到 处，测得塔顶的仰角为 （ 与塔底在同一水平线上），则塔高为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·广东·广州·二模）某船在 处测得灯塔 在北偏东 方向，然后沿正东方向航行 海里到达 处，此时测得灯塔 在北偏西 方向，则灯塔与 处的距离 为（　　） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【例6-3】（2026·安徽·合肥八中·三模）为测量河的一岸 两点（沿河岸方向，）与对岸一目标 的河宽（即点 到直线 的距离），测得 ，，则河宽为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】某人在 处测得建筑物顶的仰角为 ，向建筑物走 到 处，测得仰角为 ，则建筑物高度为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】某人在地面 处测得塔顶的仰角为 ，沿直线前进 到 处，测得塔顶的仰角为 ，则塔高为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】某船在 处测得灯塔 在北偏东 方向，沿正东方向航行 海里到 处，测得灯塔 在北偏西 方向，则灯塔到 处的距离 为（　　） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【变式6-4】在楼顶 处测得远处地面上一塔顶 的俯角为 ，测得塔底 的俯角为 ，已知楼高 （楼顶 与塔在同一竖直平面内），则塔高 为（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】一船在海面 处测得灯塔 在其正北方向，船向东航行了 海里到 处，测得灯塔 在北偏西 方向，则灯塔 到 处的距离为（　　） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 重难点培优07　解三角形与三角函数、不等式、向量的交汇　★★★★ 【例7-1】（2026·福建·福州一中·四模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2025·浙江·宁波·二模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2024·湖南·长沙·模拟）在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-2】在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　解三角形中的新定义与创新问题　★★★★ 【例8-1】（2026·湖北·华中师大一附中·模拟）定义：若 的三边 满足 ，则称 为"平衡三角形"。已知 为"平衡三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2025·江苏·常州·一模）定义：若 满足 ，则称 为"勾股型三角形"。已知 为"勾股型三角形"，则 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例8-3】（2026·湖南·雅礼中学·月考）定义：若 满足 ，则称 为"二倍角三角形"。已知 是"二倍角三角形"，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-1】定义：若 满足 ，则称 为"余弦和三角形"。已知 为"余弦和三角形"，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式8-2】定义：若 的三边 满足 ，则称 为" 型三角形"。已知 为" 型三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】定义：若 满足 ，则称 为"正弦型三角形"。已知 为"正弦型三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-4】定义：若 满足 ，则称 为"对称型三角形"。已知 为"对称型三角形"，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-5】定义：若 的三边 成等差数列，则称 为"等差边三角形"。已知 为"等差边三角形"，且 ，则 是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．【巩固】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】在 中，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】在 中，，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的最大值为 C．若 ，则 的最大值为 D．若 ，则 的最大值为 10．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 的面积为 11．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 的面积为 12．【培优】在 中，内角 的对边分别为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 面积的最大值为 C． 的取值范围是 D． 的最小值为 三、填空题 13．【巩固】在 中，，，，则 ______． 14．【进阶】在 中，，，则 外接圆的半径为 ______． 15．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为 ______． 16．【培优】在 中，，，则 面积的最大值为 ______． 四、解答题 17．【进阶】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． (1) 求 ； (2) 若 ，求 的最大值，并指出此时三角形的形状． 18．【培优】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． (1) 求 ； (2) 若 ，求 面积的最大值． 19．【培优】某测量小组在塔的正南方向的 处测得塔顶 的仰角为 ，沿正北方向前进 到 处，测得塔顶 的仰角为 （ 与塔底 在同一水平线上，且三点共线）． (1) 求塔高 ； (2) 求 ，其中 为塔顶（即点 到 、 两点所张角的正弦值）． 20．【培优】在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ． (1) 求 ； (2) 若 ，求 周长的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $