第二章 一元二次方程 章末复习 课件- 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版 · 数学 · 九年级上册 第二章 一元二次方程 章末复习 知识梳理 · 复习题精讲 2026—2027 学年 · 教材复习题 P55—P58 同学们，我们已经学完第二章一元二次方程，这节课我们把整章内容重新串一遍。 如果你对某一类方程的解法还有点含糊，不要慌，今天我们按“回顾与思考、知识梳理、复习题精讲”三条线走一遍，把每个环节都落到题上。 回顾与思考（一） 结合本章内容，思考并回答下面的问题。 1 一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明 2 在解决实际问题的过程中，怎样判断求得的结果是否合理？请举例说明 3 举例说明解一元二次方程有哪些方法，配方法的一般过程是怎样的 02 先请大家把书合上，用三分钟回答屏幕上这三个问题。 生活里的应用其实随处可见，比如围一块长方形菜地、算增长率、算利润；判断结果是否合理，关键看它是否符合实际意义，像长度不能为负、人数必须是整数。 至于解方程的方法，本章我们学了四种，其中配方法的一般过程今天还要重点过一遍，请大家边听边对照自己的笔记。 回顾与思考（二） 结合本章内容，思考并回答下面的问题。 1 如何利用根的判别式判断方程根的情况？ 请举例说明 2 一元二次方程的根与系数有什么关系？ 这种关系有什么作用？请举例说明 3 利用方程解决实际问题的关键是什么？ 4 梳理本章内容，用适当方式呈现 全章知识结构 提示 尝试画出本章知识结构图 03 接着往下追问四个问题，这一次更偏向结构和方法。 判别式让我们不解方程就能判断根的情况，根与系数的关系能把两根的和与积直接用系数表示出来，这两件工具在后面的复习题里会反复用到。 最后一个问题请课下完成：自己动手画一张本章知识结构图，画的过程比结果更重要。 我们先一起把结构图搭起来。 知识结构：一元二次方程 一元二次方程 概念 只含有一个未知数 x、最高次数是 2 的整式方程 一般形式：ax² + bx + c = 0（a，b，c 是常数，a ≠ 0） 解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 依据方程的结构特点选择最简便的解法，核心是降次 根的判别式与根与系数的关系 Δ = b² − 4ac > 0 两个不等实数根；Δ = 0 两个相等实数根；Δ < 0 无实数根 x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a（a ≠ 0 且 Δ ≥ 0） 应用 列一元二次方程解应用题：审、设、列、解、验、答 关键是找出实际问题中的等量关系，并检验结果是否合理 04 整章的知识可以用这棵树串起来：根在中间，四个分支分别是概念、解法、判别式与根与系数的关系、以及实际应用。 概念这一支解决“什么是”；解法这一支解决“怎么解”，四种方法各有适用范围；判别式和根与系数的关系解决“根有什么特点”；应用这一支则把方程用回生活里去。 大家看的时候留意一点：所有解法最后都指向同一个目标——把二次降为一次。 复习回顾：一元二次方程的概念 只含有一个未知数 x 的整式方程，都可以化为下面的一般形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 ax² + bx + c = 0 a，b，c 是常数，a ≠ 0 二次项 一次项 常数项 a 是二次项系数，b 是一次项系数 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。 05 我们从最基础的地方重新开始：什么样的方程叫作一元二次方程。 判断的关键有两条，一是只含一个未知数并且是整式方程，二是整理后未知数的最高次数是 2，还要注意二次项系数 a 不能等于 0。 一般形式里每一项都有自己的名字，ax² 是二次项、bx 是一次项、c 是常数项，与之对应的 a、b 就是二次项系数和一次项系数。 顺便记住，使左右两边相等的未知数的值叫作方程的根，后面所有解法都是在求根。 复习回顾：四种解法的对比 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如 (ax + m)² = n（n ≥ 0）的方程 平方根的意义 两边开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 由配方法得求根公式 代入求根公式 因式分解法 一边为 0，另一边可分解成两个一次因式 ab = 0 则 a = 0 或 b = 0 因式分解 选法思路：先看能否直接开平方或因式分解，再考虑配方法与公式法 06 这张表把四种解法放在一起比较，建议大家不要背表，而是用它来选方法。 直接开平方法只对 (ax + m)² = n 这种形状有效，一步开平方就结束了；配方法对所有一元二次方程都适用，但计算量大，它的价值在于能推导出求根公式。 公式法适用范围最广，只要 Δ 不小于 0 就能代入；因式分解法最快，前提是方程一边为 0、另一边能分解成两个一次因式。 拿到一个方程，先看能不能分解或因式开平方，实在不行再上配方法和公式法。 复习回顾：根的判别式 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的情况可由 b² − 4ac 来判定， 把 b² − 4ac 叫作根的判别式，通常记作 Δ。 Δ = b² − 4ac > 0 Δ = b² − 4ac > 0 方程有两个不相等的实数根 = 0 Δ = b² − 4ac = 0 方程有两个相等的实数根 < 0 Δ = b² − 4ac < 0 方程没有实数根 07 有了判别式，我们不必真的解出方程，也能知道根的情况。 把 b² − 4ac 记作 Δ，Δ 大于 0 说明方程有两个不相等的实数根，等于 0 说明两个根相等，小于 0 就说明在实数范围内没有根。 这里提醒一句，用判别式之前一定要先把方程整理成一般形式，否则算出来的 b 和 c 是错的，结论也就全错了。 复习回顾：解方程示例 解方程：x² + 4x − 5 = 0 配方法 x² + 4x = 5 x² + 4x + 2² = 5 + 2² (x + 2)² = 9 x + 2 = ±3 x₁ = 1，x₂ = −5 公式法 a = 1，b = 4，c = −5 Δ = b² − 4ac = 16 + 20 = 36 > 0 x = (−4 ± 6) / 2 x₁ = 1，x₂ = −5 两种方法结果一致：x₁ = 1，x₂ = −5 08 我们用同一个方程 x² + 4x − 5 = 0 分别走一遍配方法和公式法，看看两条路是不是通向同一个答案。 配方法的核心是把左边凑成完全平方，两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是 2²，于是得到 (x + 2)² = 9，开平方就得到 x₁ = 1、x₂ = −5。 公式法这边要先读出 a = 1、b = 4、c = −5，算出 Δ = 36 大于 0，再代入求根公式，结果同样是 1 和 −5。 两种方法的答案一致，说明它们本质上是相通的，选择哪一种取决于方程本身好不好算。 配方法的一般过程 以一般形式 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）为例，逐步把方程化为完全平方式。 1 移项：把常数项移到等号右边 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） → ax² + bx = −c 2 二次项系数化为 1：两边同除以 a x² + (b / a)x = −c / a 3 配方：两边加上一次项系数一半的平方 (x + b / (2a))² = (b² − 4ac) / (4a²) 配方后左边成为完全平方式，即可用直接开平方法求解。 第 9 页 前面我们已经用配方法解过具体的方程，这一页把配方的一般过程完整地梳理一遍。 第一步先移项，把常数项挪到等号右边，方程就变成 ax² 加 bx 等于负 c；接着两边同时除以 a，让二次项系数变成 1，也就是 x² 加上 a 分之 b 乘 x，等于负的 a 分之 c。最关键的是第三步，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边正好凑成完全平方式，右边整理出来是 4a² 分之 b² 减 4ac。记住"加上一次项系数一半的平方"这个动作，左边一变成完全平方式，就能用直接开平方法往下解了。 求根公式与公式法 对一般形式 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），求根公式是解一元二次方程的通用方法。 当 b² − 4ac ≥ 0 时 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 注意 1 必须先把方程化为一般形式， 再确定 a、b、c 的值。 注意 2 必须满足 b² − 4ac ≥ 0， 才能代入求根公式计算。 第 10 页 有了配方的基础，我们就可以把一般方程的根直接用系数表示出来。 当 b² 减 4ac 大于或等于 0 时，x 等于 2a 分之负 b 加减根号下 b² 减 4ac，这就是求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法，就叫公式法。它最大的好处是不用挑方程，只要是一元二次方程都能套进去。不过用之前有两件事必须先做：一是把方程整理成一般形式，确定 a、b、c 各是多少；二是确认 b² 减 4ac 确实大于或等于 0，否则公式里的根号就没有意义了。 因式分解法的四个步骤 适用于一边是 0、另一边容易分解成两个一次因式乘积的方程。 右边化为 0 把方程右边化为 0， 左边保持整式形式。 分解因式 把左边分解成两个 一次因式的乘积。 转化为一次方程 令每个因式分别 为 0，得到两个 一元一次方程。 求出原方程的解 解这两个一元一次 方程，它们的解 就是原方程的解。 第 11 页 因式分解法的思路和前面几种不太一样，它不去凑完全平方，而是利用"两个因式相乘等于 0，其中至少有一个是 0"这个基本事实。 所以第一步要把方程右边化成 0，左边保持整式形式；第二步把左边分解成两个一次因式的乘积。接下来让每个因式分别等于 0，就得到两个一元一次方程，把这两个方程解出来，原方程的根也就找到了。哪一步最容易被忽略？其实是第一步把右边化为 0，右边不归零，后面分解得再漂亮也没有用。 根与系数的关系 如果方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根 x₁、x₂，那么两根的和与积都能由系数求出。 x₁ + x₂ = −b / a x₁ · x₂ = c / a 根与系数的关系也叫韦达定理，它给出了根与系数之间的直接联系。 使用条件 只有当 a ≠ 0，并且 Δ = b² − 4ac ≥ 0 时，才有根与系数的关系。 第 12 页 这一页我们来看根与系数的关系，也就是平时说的韦达定理。 如果方程 ax² 加 bx 加 c 等于 0 有两个实数根 x₁ 和 x₂，那么两根之和等于负的 a 分之 b，两根之积等于 a 分之 c。它的价值在于，有些题目根本不需要把根真的解出来，我们就能处理跟两根之和、两根之积有关的式子。要注意它有两个前提：a 不能等于 0，并且判别式 b² 减 4ac 要大于或等于 0，也就是方程确实有实数根，条件不满足时这套关系就不成立。 列方程解应用题的步骤 依次完成审、设、列、解、验、答六步，每一步都围绕题目中的等量关系展开。 1 审（审题）：明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系。 2 设（设未知数）：把题目中所求的量设为 x。 3 列（列方程）：根据题目中的等量关系，列出方程。 4 解（解方程）：解这个方程，求出未知数的值。 5 验（检验）：检验方程的解能否保证实际问题有意义。 6 答（作答）：遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则。 第 13 页 解应用题最容易丢分的地方，往往不是方程不会解，而是过程写不完整。 这一页把整个流程拆成六步：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答。审题的时候要把已知量和未知量理清楚，重点找出它们之间的等量关系，因为这是列方程的唯一依据。求出解之后千万别跳过检验，要看看这个解放到实际情境里有没有意义，比如长度、人数这类量不可能是负的。最后按题目的问法把答语写完整，六步都走到位，分数自然就稳了。 复习题 1：两数之差与积 【选自教材 P55 复习题 第 1 题】两个数的差等于 4，积等于 45，求这两个数。 解： 设其中一个数为 x，则另一个数为 x + 4。 由题意，得 x(x + 4) = 45，整理得 x² + 4x − 45 = 0。 分解因式，得 (x − 5)(x + 9) = 0，所以 x₁ = 5，x₂ = −9。 当 x = 5 时，x + 4 = 9；当 x = −9 时，x + 4 = −5。 答：这两个数是 5 和 9，或 −5 和 −9。 第 14 页 我们来看复习题第 1 题：两个数的差等于 4，积等于 45，求这两个数。 既然差是固定的 4，我们就可以设其中一个数为 x，另一个数自然就是 x 加 4，再用积等于 45 这个条件列出方程 x 乘 x 加 4 等于 45。整理之后得到 x² 加 4x 减 45 等于 0，分解因式成 x 减 5 乘 x 加 9 等于 0，于是 x 等于 5 或者负 9。两种情况代回去都满足题目，所以这两个数是 5 和 9，或者负 5 和负 9，两个数之间不分先后。 复习题 2（1）～（4）：解方程 【选自教材 P55 复习题 第 2 题】解下列方程。 （1） x(x − 14) = 0 令 x = 0 或 x − 14 = 0 x₁ = 0，x₂ = 14 （2） x² + 12x + 27 = 0 (x + 3)(x + 9) = 0 x₁ = −3，x₂ = −9 （3） x² = x + 56 x² − x − 56 = 0 → (x + 7)(x − 8) = 0 x₁ = −7，x₂ = 8 （4） x(5x + 4) = 5x + 4 5x² − x − 4 = 0 → (5x + 4)(x − 1) = 0 x₁ = −4/5，x₂ = 1 第 15 页 接下来一起看复习题第 2 题的前四个小题，它们都能用因式分解法来解决。 第（1）小题 x 乘 x 减 14 等于 0，因式已经分解好了，直接令 x 等于 0 或 x 减 14 等于 0，就得到 0 和 14 这两个根。第（2）小题把 x² 加 12x 加 27 分解成 x 加 3 乘 x 加 9 等于 0，两个根就是负 3 和负 9。第（3）小题要先移项，整理成 x² 减 x 减 56 等于 0，再分解成 x 加 7 乘 x 减 8 等于 0，得到负 7 和 8。第（4）小题注意别急着把两边的 5x 加 4 约掉，先移项整理成 5x² 减 x 减 4 等于 0，分解成 5x 加 4 乘 x 减 1 等于 0，两个根是负五分之四和 1。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题2（5）（6）：解方程 选自教材 P55 复习题 第2题 （5）4x² − 45 = 31x 移项，化为一般形式：4x² − 31x − 45 = 0 左边因式分解：(4x + 5)(x − 9) = 0 所以 x₁ = −5/4，x₂ = 9 （6）−3x² + 22x − 24 = 0 两边同乘 −1：3x² − 22x + 24 = 0 左边因式分解：(3x − 4)(x − 6) = 0 所以 x₁ = 4/3，x₂ = 6 16 这两道小题看起来不一样，其实套路是同一个：先把方程整理成一般形式，再让左边分解成两个一次因式的乘积。 第(5)题从 4x² − 45 = 31x 入手，移项得到 4x² − 31x − 45 = 0，十字相乘分解成 (4x + 5)(x − 9) = 0，于是 x₁ = −5/4，x₂ = 9。第(6)题注意二次项系数是负的，两边同乘 −1 变成 3x² − 22x + 24 = 0，再分解成 (3x − 4)(x − 6) = 0，得到 x₁ = 4/3，x₂ = 6。请同学们养成"先化一般形式、再看能否分解"的习惯。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题2（7）（8）：解方程 选自教材 P55 复习题 第2题 （7）(x + 8)(x + 1) = −12 去括号、整理：x² + 9x + 20 = 0 因式分解：(x + 4)(x + 5) = 0 所以 x₁ = −4，x₂ = −5 （8）2(x + 3)² = x(x + 3) 移项：2(x + 3)² − x(x + 3) = 0 提取公因式：(x + 3)(x + 6) = 0 所以 x₁ = −3，x₂ = −6 提示 第(8)题不要两边 直接约去 (x + 3)， 否则会漏根。 17 第(7)题先把左边展开、右边化零，整理成 x² + 9x + 20 = 0，分解成 (x + 4)(x + 5) = 0，答案是 −4 和 −5。 第(8)题要学会观察共同因式：方程 2(x + 3)² = x(x + 3) 两边都含有 (x + 3)，但请千万不要直接约去它，否则就会丢掉一个根。正确做法是先移项，让右边为 0，再提取公因式得到 (x + 3)(x + 6) = 0，所以 x₁ = −3，x₂ = −6。这个"会漏根"的坑，是本页最值得记住的地方。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题2（9）（10）：解方程 选自教材 P55 复习题 第2题 （9）2x² − 5x + 2 = 0 左边因式分解：(2x − 1)(x − 2) = 0 令每个因式为 0：2x − 1 = 0 或 x − 2 = 0 所以 x₁ = 1/2，x₂ = 2 （10）(x + 1)² − 3(x + 1) + 2 = 0 把 x + 1 看作一个整体：[(x + 1) − 2][(x + 1) − 1] = 0 即 (x + 1) − 2 = 0 或 (x + 1) − 1 = 0 所以原方程的解为 x₁ = 1，x₂ = 0 18 第(9)题是标准的十字相乘：2x² − 5x + 2 分解成 (2x − 1)(x − 2)，两个根是 1/2 和 2。 第(10)题更值得琢磨，方程 (x + 1)² − 3(x + 1) + 2 = 0 里反复出现 x + 1，我们就把它看成一个整体。分解后得到 [(x + 1) − 2][(x + 1) − 1] = 0，也就是 x + 1 = 2 或 x + 1 = 1，所以 x₁ = 1，x₂ = 0。这种整体思想，在我们后面解更复杂的方程时会经常用到。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题3：判断方程的根的情况 选自教材 P55 复习题 第3题 不解方程，判断下列方程的根的情况。 题目与系数 Δ 的值 根的情况 （1）2x² + x − 1 = 0 a = 2，b = 1，c = −1；Δ = 1² − 4×2×(−1) = 1 + 8 = 9 Δ = 9 > 0 两个不相等的实数根 （2）4(x² − x) = −1 化为 4x² − 4x + 1 = 0，a = 4，b = −4，c = 1；Δ = 16 − 16 = 0 Δ = 0 两个相等的实数根 （3）7x² + 2x + 3 = 0 a = 7，b = 2，c = 3；Δ = 2² − 4×7×3 = 4 − 84 = −80 Δ = −80 < 0 没有实数根 小结：不解方程，只算 Δ = b² − 4ac 的符号，即可判断根的情况。 19 这一页的核心只有一句话：不解方程，只算判别式 Δ = b² − 4ac 的符号，就能判断根的情况。 第(1)题 2x² + x − 1 = 0 中，a = 2，b = 1，c = −1，Δ = 1 + 8 = 9 > 0，所以有两个不相等的实数根。第(2)题要先把 4(x² − x) = −1 化成 4x² − 4x + 1 = 0，算得 Δ = 16 − 16 = 0，两个相等的实数根。第(3)题 7x² + 2x + 3 = 0 的 Δ = 4 − 84 = −80 < 0，方程没有实数根。三题对照着看，Δ 的符号与根的情况就一一对应起来了。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题4：求两根之和与两根之积 选自教材 P56 复习题 第4题 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。 （1）x² − 5x − 6 = 0 a = 1，b = −5，c = −6 x₁ + x₂ = −b/a = 5 x₁x₂ = c/a = −6 （2）3x² + 5x + 1 = 0 a = 3，b = 5，c = 1 x₁ + x₂ = −b/a = −5/3 x₁x₂ = c/a = 1/3 20 根与系数的关系用起来其实很省力，前提是先把 a、b、c 找准：x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a。 第(1)题 x² − 5x − 6 = 0 中 a = 1，b = −5，c = −6，所以两根之和是 5，两根之积是 −6。第(2)题 3x² + 5x + 1 = 0 中 a = 3，b = 5，c = 1，得到两根之和 −5/3，两根之积 1/3。这里提醒一句，使用这个关系有两个前提：a ≠ 0 且 Δ ≥ 0，缺一不可。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题5：求代数式的值 选自教材 P56 复习题 第5题 由代数式 x² − 13x + 12 的取值建立方程，求出对应的 x。 （1）x² − 13x + 12 = 0 因式分解：(x − 1)(x − 12) = 0 x = 1 或 x = 12 （2）x² − 13x + 12 = 42 整理得 x² − 13x − 30 = 0，因式分解：(x − 15)(x + 2) = 0 x = 15 或 x = −2 （3）x² − 13x + 12 = −4x² + 18 整理得 5x² − 13x − 6 = 0，因式分解：(5x + 2)(x − 3) = 0 x = 3 或 x = −2/5 21 这三小问都在问同一个代数式 x² − 13x + 12 取不同值时 x 是多少，所以关键是把"取什么值"翻译成一个方程。 第(1)问令它等于 0，分解成 (x − 1)(x − 12) = 0，得 x = 1 或 12。第(2)问令它等于 42，先移项整理成 x² − 13x − 30 = 0，再分解成 (x − 15)(x + 2) = 0，得 x = 15 或 −2。第(3)问的右边还有 −4x² + 18，必须先把所有项移到一边，整理成 5x² − 13x − 6 = 0，才能分解出 (5x + 2)(x − 3) = 0，得 x = 3 或 −2/5。 第二章 一元二次方程 · 章末复习 复习题6：缴税的平均增长率 选自教材 P56 复习题 第6题 题目 某公司第一季度缴税 40 万元，第三季度缴税 48.4 万元， 求第二、三季度缴税的平均增长率。 设第二、三季度的平均增长率为 x。 由题意，得 40(1 + x)² = 48.4 两边同除以 40，得 (1 + x)² = 1.21 开平方，得 1 + x = 1.1 或 1 + x = −1.1，所以 x₁ = 0.1，x₂ = −2.1 因为增长率不能为负，舍去 x₂ = −2.1，所以平均增长率是 10% 22 这是一道典型的增长率问题。平均增长率意味着两个季度里都按同一个百分数增长，所以模型就是 40(1 + x)² = 48.4。 两边同除以 40，得到 (1 + x)² = 1.21，开平方后 1 + x = 1.1 或 1 + x = −1.1，于是 x₁ = 0.1，x₂ = −2.1。增长率不能是负数，所以把 −2.1 舍去，平均增长率是 10%。以后看到"平均增长率""连续两次变化"这类字眼，就直接想到这个 (1 + x)² 的模型。 复习题7：正方形铁皮做盒子 底面 (x − 8) cm 4 4 4 4 x cm 四角剪去边长 4 cm 的小正方形 【选自教材 P56 复习题 第7题】 正方形铁皮四角各剪去边长 4 cm 的小正方形， 做成无盖长方体盒子，容积是 400 cm³。 设原铁皮的边长为 x cm。 底面是边长为 (x − 8) cm 的正方形，高为 4 cm。 由 4(x − 8)² = 400 (x − 8)² = 400 ÷ 4 = 100 x − 8 = ±10，即 x − 8 = 10 或 x − 8 = −10 解得 x₁ = 18，x₂ = −2（舍去负值） 答：原铁皮的边长为 18 cm。 23 这道题是我们这章第一次真正用图形来列方程，所以先别急着算，先把图看懂：正方形铁皮四个角各剪掉一个边长 4 厘米的小正方形，剩下的部分沿虚线折起来，就是一个没有盖子的长方体盒子。 要列方程，就得把盒子的容积用同一个字母写出来。设原铁皮的边长是 x 厘米，底面那条边就变成了 x 减 8，高正好是剪掉的那 4 厘米，于是 4 乘 (x − 8) 的平方等于 400。 解下去得到 x 等于 18 或者负 2，边长当然不能是负数，舍掉，答案就是 18 厘米。大家可以想一想，如果题目问的是底面积而不是容积，方程又会变成什么样子。 复习题8：草地四周的小路 草地 20 m × 15 m x x (20 + 2x) m (15 + 2x) m 四周小路宽度相等，面积为 246 m² 【选自教材 P56 复习题 第8题】 长方形草地长 20 m、宽 15 m，四周外围 环绕着宽度相等的小路，小路面积 246 m²。 设小路的宽度为 x m。 大长方形的长为 (20 + 2x) m，宽为 (15 + 2x) m。 (20 + 2x)(15 + 2x) − 20 × 15 = 246 整理，得 2x² + 35x − 123 = 0 因式分解：(2x + 41)(x − 3) = 0 解得 x₁ = 3，x₂ = −20.5（舍去负值） 答：小路的宽为 3 m。 24 接下来是小路的问题，这类题的诀窍是先把“外框”和“内框”分清楚：里面是草地，外面那一圈才是小路，两个长方形之间的空隙处处都是 x 米。 草地的长和宽各自向两边各扩出 x 米，所以大长方形的长是 20 加 2x，宽是 15 加 2x。用大长方形的面积减去草地面积，就得到小路的面积 246，整理以后是 2x² + 35x − 123 = 0。 分解因式得到 x 等于 3 或者负 20.5，宽度取正值，所以小路宽 3 米。这里最容易出错的地方，恰恰是忘了长和宽都是两边各扩 x 米，一不小心就写成了加 x。 复习题9：剧场的座位数 【选自教材 P56 复习题 第9题】 某剧场共有 1161 个座位，每排的座位数都相同，且每排的座位数比总排数少 16。求每排的座位数。 设每排有 x 个座位，那么总排数为 (x + 16) 排。 由题意 (x + 16)x = 1161，即 x² + 16x − 1161 = 0 因式分解，得 (x + 43)(x − 27) = 0 x₁ = 27，x₂ = −43（排数不能为负，舍去） 答：每排有 27 个座位。 检验：27 × (27 + 16) = 27 × 43 = 1161，符合题意。 25 这道题没有图形，但它是列方程里很典型的一类，因为两个量互相牵扯：题目说每排的座位数比总排数少 16，那我们就把每排的座位数设为 x，排数自然就是 x 加 16。 座位总数等于排数乘每排座位数，所以是 (x + 16) 乘 x 等于 1161，整理成一般形式后再分解因式，得到 (x + 43)(x − 27) = 0。 排数不能是负数，负 43 舍去，x 等于 27。最后别急着收笔，回头检验一下：每排 27 个座位，一共 43 排，27 乘 43 正好是 1161。写答案的时候也要看清楚题目问的到底是每排的座位数，还是总排数。 复习题10（1）：铁丝剪成两段 x cm 56 − x cm 面积 (x/4)² ((56 − x)/4)² 【选自教材 P56 复习题 第10题】 将长 56 cm 的铁丝剪成两段，每段做一个正方形。 要使两个正方形的面积之和等于 100 cm²。 设第一段长 x cm。 则第二段长 (56 − x) cm，面积之和为 (x/4)² + ((56 − x)/4)² = 100 去分母整理，得 x² − 56x + 768 = 0 因式分解：(x − 32)(x − 24) = 0 解得 x₁ = 32，x₂ = 24 答：剪成 32 cm 与 24 cm 两段。 26 一段 56 厘米的铁丝剪成两段，每段各围成一个正方形，问面积和什么时候等于 100 平方厘米。关键的一点是：正方形的边长是周长的四分之一。 所以第一段围成的正方形边长是 x 除以 4，第二段的边长是 (56 − x) 除以 4，面积就是各自的平方。把两个平方加起来等于 100，去分母整理后得到 x² − 56x + 768 = 0。 分解成 (x − 32)(x − 24) = 0，两段分别是 32 厘米和 24 厘米。大家不妨验算一下，边长 8 和边长 6 的两个正方形，面积和正好是 64 加 36，就是 100。 复习题10（2）：面积和能否为 196 或 200 设两段铁丝的长分别为 x cm 和 (56 − x) cm，其中 0 ≤ x ≤ 56 面积和 S = (x/4)² + ((56 − x)/4)² = (x² + (56 − x)²) / 16 若面积和 S = 196 (x² + (56 − x)²) / 16 = 196 整理得 2x² − 112x = 0 即 x(x − 56) = 0，x₁ = 0，x₂ = 56 此时铁丝未被剪开 所以面积和不可能等于 196 若面积和 S = 200 (x² + (56 − x)²) / 16 = 200 整理得 x² − 56x − 32 = 0 Δ = (−56)² − 4 × 1 × (−32) = 3264 > 0 x = (56 ± √3264) / 2 ≈ 56.6 或 −0.6 两根都不在 0 ≤ x ≤ 56 内，不可能 27 这一问很有意思，它不再让你求具体数值，而是问“能不能”。先把面积和的一般表达式写出来，S 等于 (x² + (56 − x)²) 除以 16。 先试 196：方程变成 x² + (56 − x)² = 3136，化简后是 x(x − 56) = 0，两根是 0 和 56。看着像有解，可这两个值意味着铁丝根本没有被剪开，所以不可能。 再试 200：整理出 x² − 56x − 32 = 0，判别式 3264 大于 0，确实有实数根，但两根大约是 56.6 和负 0.6，全都跑出了 0 到 56 的范围，同样不可能。 这两小问放在一起对比就很清楚：有实数根不等于符合实际，判别式解决的是“方程有没有解”，取值范围解决的是“这个解成不成立”。 复习题11：整体换元解方程 【选自教材 P56 复习题 第11题】 解方程：(x − 1)² − 5(x − 1) + 4 = 0 把 x − 1 看成一个整体，设 x − 1 = y， 原方程化为 y² − 5y + 4 = 0 当 y = 1 时 x − 1 = 1，得 x = 2 当 y = 4 时 x − 1 = 4，得 x = 5 答：原方程的解为 x₁ = 2，x₂ = 5。 28 这道题乍一看有点吓人，其实换个角度就很轻松：方程里反复出现 x − 1，那就干脆把它当成一个整体，设 x − 1 等于 y。 原方程立刻变成 y² − 5y + 4 = 0，这是最基础的因式分解，得到 y 等于 1 或者 y 等于 4。 再回到设元的地方：y 等于 1 时 x 是 2，y 等于 4 时 x 是 5，所以原方程的解是 2 和 5。换元真正的价值，就是把一个陌生的方程折叠成你早就熟悉的样子。 复习题12：已知一根求另一根与 c 【选自教材 P56 复习题 第12题】 已知 2 + √3 是方程 x² − 4x + c = 0 的一个根，求它的另一个根及 c 的值。 两根之和 由 x₁ + x₂ = −b/a = 4 得另一根 = 4 − (2 + √3) = 2 − √3 两根之积 由 x₁ x₂ = c/a = c 得 c = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1 答：另一个根是 2 − √3，c = 1。 检验：x² − 4x + 1 = (7 + 4√3) − (8 + 4√3) + 1 = 0，适合。 即 2 + √3 确实是方程 x² − 4x + 1 = 0 的根。 29 最后一题，已知 2 加根号 3 是方程 x² − 4x + c = 0 的一个根，要求另一个根和 c。提醒大家一句，这题根本不用代入求根，看系数就够了。 两根之和等于负 a 分之 b，这里是 4；既然一根是 2 加根号 3，另一根就是 4 减它，得到 2 减根号 3。 两根之积等于 a 分之 c，也就是 c 本身。把 (2 + √3) 和 (2 − √3) 相乘，用平方差一算，4 减 3 等于 1。这一对共轭的无理数根乘起来恰好是整数，大家可以把结果代回去检验一下。 复习题13 · 由两根写出方程 【选自教材 P56 复习题 第13题】写出一个一元二次方程，使它的两个根为 1，−2。 因为方程的两个根为 x₁ = 1，x₂ = −2， 所以方程可写成 (x − 1)(x + 2) = 0。 展开左边：x² + 2x − x − 2 = 0， 整理，得 x² + x − 2 = 0。 答案 x² + x − 2 = 0 两根为 1 和 −2，符合要求 提示：答案不唯一，例如方程两边都乘 2，得 2x² + 2x − 4 = 0，也满足要求。 30 这一题看着简单，但它考的是反着用因式分解——以前是给我们方程去求根，现在是给根让我们造方程。 既然两个根是 1 和 −2，那 x − 1 和 x + 2 就分别是两个因式，乘起来展开就是 x² + x − 2 = 0。 要特别提醒的是，答案并不唯一，两边同乘一个非零数，两个根还是 1 和 −2，所以同学们写出的系数不一样也没关系。 你们可以用求根公式回头验一验，看看那两个根是不是真的回到 1 和 −2。 复习题14 · 运动的三角形（题目） A B(E) C D G F 图(1)：点 B 与点 E 重合 A E B C D G F 重叠 68 cm² 图(2)：向右运动后两图形重叠 △ABC 以 1 cm/s 向右运动，矩形不动 【选自教材 P56 复习题 第14题】 如图(1)，△ABC 中 ∠C = 90°， CA = CB，AB = 20 cm； 矩形 DEFG 中 EF = 30 cm，DE = 10 cm。 △ABC 在矩形左侧，AB 与 EF 在同一直线上， 点 B 与点 E 重合；△ABC 以 1 cm/s 的速度 沿直线 AF 向右运动（矩形不动）。 当 △ABC 运动到图(2)的位置时，两图形的 重叠部分面积为 68 cm²。 求此时 △ABC 运动的时间。 31 这道题是本卷里阅读量最大的一道，我们先别急着算，先把画面在脑子里放一遍。 三角形 ABC 是个等腰直角三角形，斜边 AB 长 20 厘米，它贴着矩形的左边，以每秒 1 厘米的速度往右滑，而矩形稳稳不动。 滑到图(2)那个位置时，两个图形压在一起的面积正好是 68 平方厘米，要问的就是它滑了多久。 读题的时候请把"AB 与 EF 在同一直线上""点 B 与点 E 重合"这两句圈出来，它们是后面算距离的起点。 复习题14 · 求解（一） A E B C D G F AE = (20 − t) cm，BE = t cm 左侧未被覆盖的小三角形也是等腰直角三角形 矩形 DEFG 不动 解题步骤 ∵ 在 △ABC 中，∠C = 90°，CA = CB，AB = 20 cm， ∴ △ABC 是等腰直角三角形，AB 边上的高为 10 cm。 S△ABC = ½ × 20 × 10 = 100 cm²。 设 △ABC 向右运动了 t 秒，则 BE = t cm， AE = (20 − t) cm； 左侧未被覆盖的也是一个等腰直角三角形， 其面积是 ½ (20 − t)²。 ∴ 重叠部分面积 = 100 − ½ (20 − t)²。 32 解题的第一步不是列方程，而是把图形里能算的面积先算清楚。 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，所以 AB 边上的高是 10 厘米，三角形面积就是 100 平方厘米，这个数要牢牢记住。 接着设运动了 t 秒，那 BE 就是 t，AE 就是 20 减 t；有意思的是，左边没有被盖住的那一小块，仍然是个等腰直角三角形，两条直角边都是 20 减 t。 把这几块面积写清楚，重叠部分就等于大三角形的面积减去这个小三角形的面积。 复习题14 · 求解（二） 建立方程并求解 重叠部分面积 = S△ABC − S左侧小三角形 = 100 − ½ (20 − t)² 由题意：100 − ½ (20 − t)² = 68 移项得 ½ (20 − t)² = 32，即 (20 − t)² = 64 因为 20 − t > 0，所以 20 − t = 8（−8 舍去） 解得 t = 12 答 t = 12 s △ABC 运动了 12 s 20 − t = −8 不合题意，舍去 33 有了上一页的面积表达式，这一页就是把它变成方程：100 减去二分之一倍的 (20 − t)² 等于 68。 整理一下，就是 (20 − t)² 等于 64，开平方得到 20 − t 等于正负 8。 这里要拦住一个常见错误——20 − t 表示的是长度，只能是正数，所以负 8 必须舍去，t 就等于 12。 答案就是三角形运动了 12 秒，而这个舍根的理由，考试的时候是要写出来的。 复习题15 · 高速列车 【选自教材 P57 复习题 第15题】高速列车启动加速过程中， 路程 s（m）与时间 t（s）的关系为 s = 10t + (3/2)t²。 路程关系式 s = 10t + (3/2)t² 化为一般形式并求解 当 s = 800 时，(3/2)t² + 10t = 800。 两边同乘 2：3t² + 20t − 1600 = 0。 Δ = 20² − 4×3×(−1600) = 19600，√19600 = 140。 t = (−20 ± 140) / 6，即 t₁ = 20，t₂ = −80/3。 答 20 s 行驶 800 m 需要的时间 t₂ = −80/3 舍去 34 这题给的是路程关于时间的表达式，看起来陌生，其实还是个一元二次方程。 我们要找的是行驶 800 米需要多久，所以把 s 换成 800，就得到 (3/2)t² + 10t = 800。 两边同乘 2 是为了让系数变成整数，得到 3t² + 20t − 1600 = 0；判别式算出来是 19600，开方正好是 140，所以两根是 20 和负的三分之八十。 时间是负数显然没有意义，舍掉它，答案就是 20 秒。 复习题16 · 水渠的宽度 水渠宽 x m 60 m 92 m 三条水渠把耕地分成 6 块小矩形 每小块面积 885 m² 【选自教材 P57 复习题 第16题】 长 92 m、宽 60 m 的矩形耕地上挖三条宽度相同的 水渠，把耕地分成面积均为 885 m² 的 6 个矩形小块。 设水渠宽为 x m。三条水渠的面积可表示为 2·60x + 92x − 2x²（两个交叉处各重复算了 x²）。 它等于耕地总面积减去 6 块小地面积： 92×60 − 885×6 = 5520 − 5310 = 210。 所以 120x + 92x − 2x² = 210， 整理得 x² − 106x + 105 = 0。 解得 x₁ = 1，x₂ = 105（105 m 超过耕地宽 60 m，舍去）。 所以水渠应挖 1 m 宽。 35 这道题的难点全在"重复计算"这四个字上。 耕地上挖两条竖的、一条横的水渠，竖渠的面积是 60x 的两倍，横渠是 92x，但两条竖渠和横渠各交叉一次，交叉的那两个小正方形被算了两次，所以要减去 2x²。 水渠的总面积还等于整块地减去六小块，也就是 5520 减 5310 等于 210，于是整理出 x² − 106x + 105 = 0。 解出来是 1 和 105，而 105 米比地的宽 60 米还大，显然不合理，所以水渠就是 1 米宽。 复习题17 · 果园的产量 【选自教材 P57 复习题 第17题】果园原计划种 100 棵果树， 平均每棵结 1000 个果子；每多种 1 棵，每棵就少结 2 个，且多种的果树不能超过 100 棵。 设元与列方程 要使总产量增加 15.2%，设应多种 x 棵。 总产量 = (100 + x)(1000 − 2x)， 目标产量 = 1000 × 100 × (1 + 15.2%) = 115200。 由 (100 + x)(1000 − 2x) = 115200， 展开整理：2x² − 800x + 15200 = 0， 即 x² − 400x + 7600 = 0。 答 20 棵 应多种 20 棵果树 解得 x₁ = 20，x₂ = 380； x₂ = 380 超过 100 棵，舍去。 36 这题是"每多一棵、每棵少结两个"的经典模型，关键是别把两边的变化搞混。 原来 100 棵树、每棵 1000 个果子，多种 x 棵以后，棵数变成 100 加 x，而每棵的产量降到 1000 减 2x，总产量就是它们的乘积。 题目要求总产量增加 15.2%，也就是要达到 115200 个，展开整理得 x² − 400x + 7600 = 0。 两个根是 20 和 380，可题目说多种的果树不能超过 100 棵，380 只能舍去，所以应多种 20 棵。 复习题18 直角三角形的两直角边 【选自教材 P57 复习题 第18题】 图形示意 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 7 cm。 A B C x − 1 cm x cm 7 cm 已知直角三角形的斜边长为 7 cm， 一条直角边比另一条直角边长大 1 cm，求两条直角边的长。 解：设一条直角边为 x cm，另一条为 (x − 1) cm。 由勾股定理，得 x² + (x − 1)² = 7² 整理得 2x² − 2x − 48 = 0，即 x² − x − 24 = 0 解得 x = (1 + √97)/2 ≈ 5.42（另一根为负，舍去） 答：两直角边分别约为 5.42 cm 和 4.42 cm。 37 这道题把勾股定理和一元二次方程接在一起，我们先抓住"斜边 7 cm，两条直角边相差 1 cm"这两个条件。 设一条直角边是 x cm，另一条就是 (x − 1) cm，由勾股定理列出 x² + (x − 1)² = 7²，整理后得到 x² − x − 24 = 0。 用求根公式解出 x = (1 + √97)/2 ≈ 5.42，另一根是负数，长度不能为负，只能舍去。所以两条直角边大约是 5.42 cm 和 4.42 cm。 请大家记住这个习惯：几何题目算出两个根之后，一定要回到实际意义里检验，不合题意的根要写清"舍去"的理由。 复习题19 军舰与侦察船 【选自教材 P57 复习题 第19题】 图形示意 两船航线互相垂直 A B 军舰 20 n mile/h 向东 AB = 90 n mile 侦察船 30 n mile/h 向北 军舰 20 n mile/h 由西向东，侦察船 30 n mile/h 由南向北航行， 能侦察周围 50 n mile 内的目标；军舰行至 A 处时， 侦察船在 A 正南方的 B 处，AB = 90 n mile。 设航行 x 小时后能侦察到，此时两船距离的平方为 (90 − 30x)² + (20x)² = 50² 整理得 13x² − 54x + 56 = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 28/13 ≈ 2.15 答：取较小值，最早 2 小时后能侦察到这艘军舰。 38 这是一道两船运动的勾股问题，军舰 20 n mile/h 由西向东，侦察船 30 n mile/h 由南向北，两条航线正好垂直。 设航行 x 小时后能侦察到，此时两船距离的平方是 (90 − 30x)² + (20x)²，侦察半径是 50 n mile，于是列出 (90 − 30x)² + (20x)² = 50²。 整理得 13x² − 54x + 56 = 0，解得 x₁ = 2，x₂ = 28/13 ≈ 2.15。 题目问的是"最早"什么时候侦察到，所以取较小的那个根，答案是 2 小时后。这提醒我们，运动问题里多个根常常都有实际意义，要看题目问的是第一次还是最后一次。 复习题20 节水灌溉面积的年均增长率 【选自教材 P57 复习题 第20题】 2021 年新增高效节水灌溉面积为 188 万 hm²， 若 2021 至 2023 年三年新增面积的总和为 622.28 万 hm²，求年均增长率。 解：设这三年新增面积的年平均增长率为 x。 由题意，得 188 + 188(1 + x) + 188(1 + x)² = 622.28 两边同除以 188，整理得 (1 + x)² + (1 + x) − 2.31 = 0 解得 1 + x = 1.1 或 1 + x = −2.1（不合题意，舍去） 所以 x = 0.1 = 10%，即这三年新增面积的年平均增长率为 10%。 39 增长率问题是本章的重点模型，这道题的背景是高效节水灌溉面积，2021 年新增 188 万 hm²，三年总和是 622.28 万 hm²。 设年平均增长率为 x，那么三年新增面积依次是 188、188(1 + x)、188(1 + x)²，把它们加起来等于 622.28，两边同除以 188 再整理，就得到 (1 + x)² + (1 + x) − 2.31 = 0。 解得 1 + x = 1.1 或 1 + x = −2.1，增长率不可能小于 −100%，所以负值舍去，x = 0.1 = 10%。 注意这里设的是"增长率"，最后别忘了把 0.1 换成百分数再作答，很多同学失分就失在这一步。 复习题21 握手问题 【选自教材 P58 复习题 第21题】 图形示意 每两点之间的连线表示一次握手 x 个人两两握手，共握手 x(x − 1)/2 次 每两个参加会议的人都相互握了一次手， 所有人一共握了 66 次手，求到会的人数。 设到会的人数为 x，则 x 个人两两握手一次，共握手 x(x − 1)/2 次（每两人的握手只算一次）。由题意得 x(x − 1)/2 = 66，整理得 x² − x − 132 = 0， 解得 x₁ = 12，x₂ = −11（不合题意，舍去） 答：到会的人数是 12。 40 握手问题看起来很生活化，其实考的是一元二次方程建模。每两个到会的人都握一次手，一共握了 66 次。 设到会人数是 x，每个人要和其余 (x − 1) 人握手，这样算每两个人的握手会被重复计算一次，所以总次数是 x(x − 1)/2。 由题意列式 x(x − 1)/2 = 66，整理得 x² − x − 132 = 0，解得 x₁ = 12，x₂ = −11。 人数不能是负数，所以到会 12 人。想一想，为什么除以 2 这么关键？因为甲和乙握手是同一次，只能算一遍。 复习题22 一次函数与矩形面积 【选自教材 P58 复习题 第22题】 y x O A B C D P y = −2x + 3 直线 y = −2x + 3 一次函数 y = −2x + 3 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B。 点 P 在线段 AB 上，过 P 作 OA、OB 的垂线，垂足分别为 C、D。 当矩形 OCPD 的面积为 1 时，求点 P 的坐标。 设点 P 的坐标为 (m，n)，则矩形 OCPD 的面积 S = m·n， 且点 P 在直线 AB 上，所以 n = −2m + 3。 由 m(−2m + 3) = 1，整理得 2m² − 3m + 1 = 0， 解得 m = 1 或 m = 1/2，即 P(1，1) 或 P(1/2，2)。 答：点 P 的坐标为 (1，1) 或 (1/2，2)。 41 这道题把一次函数和矩形面积联系起来，直线 y = −2x + 3 与 x 轴交于 A、与 y 轴交于 B，点 P 在线段 AB 上。 过 P 作两坐标轴的垂线，垂足是 C、D，那么矩形 OCPD 的长和宽正好就是 P 点的横坐标 m 和纵坐标 n，面积 S = m·n。 又因为点 P 在直线 AB 上，所以 n = −2m + 3，把它代入面积关系，令面积等于 1，得到 m(−2m + 3) = 1，整理为 2m² − 3m + 1 = 0。 解得 m = 1 或 m = 1/2，对应 P(1，1) 和 P(1/2，2)。你会发现"用坐标表示线段长"是这类题的关键一步。 复习题23 轮船与台风 【选自教材 P58 复习题 第23题】 轮船 30 km/h 向东 A B C 台风中心 20 km/h 向北 300 km CB = 500 km 两船航线互相垂直，台风中心向北移动 轮船以 30 km/h 向东航行，台风中心以 20 km/h 向北移动， 距台风中心 200 km 内属于影响区。接到警报时，轮船到台风中心的 距离 CB = 500 km，台风中心到航线的最短距离是 300 km。 设经过 t 小时后，轮船与台风中心的距离的平方为 (500 − 30t)² + (300 − 20t)² = 200²，整理得 13t² − 420t + 3000 = 0，解得 t ≈ 10.66 或 t ≈ 21.65。 所以轮船会进入台风影响区，从接到警报开始约 10.66 h 后进入。 42 上节课我们用勾股定理判断能否侦察到，这道题把它反过来用，判断轮船会不会进入台风影响区。 轮船 30 km/h 向东，台风中心 20 km/h 向北，距台风中心 200 km 以内都算影响区。接到警报时轮船到台风中心的距离是 500 km，台风中心到航线的最短距离是 300 km。 设经过 t 小时，两者距离的平方是 (500 − 30t)² + (300 − 20t)²，令它等于 200²，整理得 13t² − 420t + 3000 = 0。 解得 t ≈ 10.66 或 t ≈ 21.65，说明轮船确实会穿过影响区，从接到警报开始大约 10.66 小时后就进入了。 复习题24 各种方程的联系与区别 【选自教材 P58 复习题 第24题】 一元一次方程 1 个未知数，次数是 1， 只有 1 个解。 一元二次方程 1 个未知数，次数是 2， 最多 2 个实数根。 二元一次方程组 2 个未知数，次数都是 1， 通常只有一组解。 分式方程 未知数在分母中， 去分母化为整式方程。 提示 可以从「未知数的个数」「未知数的次数」「解的个数」「解法转化」几个角度比较。 也可以画图或用一篇小短文，分享你对它们联系与区别的认识。 43 这道题不要求算出答案，而是请我们回头看看已经学过的四类方程：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组和分式方程。 可以用四个角度去比较它们：未知数的个数、未知数的次数、解的个数，还有解题时的转化方式。 比如一元一次方程只有一个未知数、次数是 1，只有一个解；一元二次方程次数升到 2，最多有两个实数根；二元一次方程组通常有一组解；分式方程则要先去分母，把它化成整式方程再求解。 课后请大家画一张图，或者写一篇小短文，把这些联系和区别讲清楚，这也是很好的复习方式。 课后作业 1. 完成本章复习题中尚未讲评的题目，并整理错题。 2. 用思维导图梳理本章知识结构：概念、解法、判别式、根与系数关系、实际应用。 44 这节课我们把第二章复习题里最后一组题目讲完了，从勾股定理、运动问题到增长率、握手问题，其实都是同一件事：找到等量关系，列出方程，再回到实际意义中检验。 课后请大家完成本章复习题中还没有讲评的题目，并且把错题整理出来，写清错在哪里、正确的思路是什么。 另外请用一张思维导图梳理本章的知识结构，把概念、解法、根的判别式、根与系数的关系以及实际应用都串起来。 画图的过程就是重新整理一遍思路的过程，下节课我们会请几位同学来分享自己的知识结构图。 $