专题01 二元一次方程组的定义与解法（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题01 二元一次方程组的定义与解法 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程（组）的判断（重） 题型2 二元一次方程的整数解（难） 题型3 已知二元一次方程（组）的解求值（高频） 题型4 代入消元法解二元一次方程组（高频） 题型5 加减消元法解二元一次方程组（高频） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题（高频） 题型7 构造二元一次方程组求解（高频） 题型8 利用同解方程组的问题求解（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程（组）的判断 1．D 2．C 3．B ◆题型2 二元一次方程的整数解 4．（答案不唯一） 5． 6． ◆题型3 已知二元一次方程（组）的解求值 7．5 8． 9． ◆题型4 代入消元法解二元一次方程组 10． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 解得． 把代入得：． ∴原方程组的解为． 11． 【答案】 【分析】利用代入法解方程组即可． 【详解】解： 把①代入②，， 得． 把代入①，得． 这个方程组的解为 12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法，将①代入②，消去，得到，并代入①，得到． （2）利用代入消元法，将①转化为③，把③代入②消去，得到，并代入③，得到． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①，得：③， 把③代入②，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 把代入③，得：， ∴方程组的解为． ◆题型5 加减消元法解二元一次方程组 13． 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为 14． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 15． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）y的系数互为相反数，用加减消元法求解即可． （2）先整理方程组为一般形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得 ， ，得 ， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． ◆题型6 二元一次方程组的错解复原问题 16． 【答案】(1)二，计算减法时没有把负号转变为正号 (2)解：得：③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【分析】（1）根据二元一次方程组的运算即可解答． （2）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． 第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （2）略 17． 【答案】(1)② (2)三 (3)解：， 由①得③， 将③代入②，得， 去括号，得，解得， 将代入①得，解得， 所以该方程组的解为． 【分析】（1）根据题意即可得到答案； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略． 18． 【答案】(1)D (2)D (3)一；时，等式右边的4没有乘2，计算错误．（言之有理即可） (4)解： ， ，得 ③， ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 【分析】（1）根据解题过程的特征判断消元方法，该方法通过变形方程后相加消元，属于加减法； （2）消元思想将二元一次方程组转化为一元一次方程，把未知问题转化为已知问题，体现转化思想； （3）根据等式的基本性质，等式两边乘同一个数，结果仍相等，第一步计算时等号右边未乘2，因此第一步出错； （4）利用加减消元法，按照等式性质正确计算即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题干的解题过程可知，南南通过变形方程后相加消去未知数，该方法是加减法； （2）解：消元过程将“二元”转化为“一元”，把陌生的二元问题转化为熟悉的一元一次方程问题，体现了转化思想； （3）解：观察第一步计算，对①两边同时乘2时，只有左边各项乘2，右边的4没有乘2，不符合等式的基本性质， 因此第一步开始出现错误． 错误原因是时，等式右边的4没有同时乘2，计算错误． （4）略． ◆题型7 构造二元一次方程组求解 19． 20．1 21． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． ◆题型8 利用同解方程组的问题求解 22． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 23． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先联立并求解，可得两个二元一次方程的公共解为，然后代入并求解，即可确定，的值； （2）将，代入并求解，然后根据平方根的定义和性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：与的解相同， 可联立得， 解得两个二元一次方程的公共解为， 将代入， 可得，解得， ，． （2）将，代入，得， 的平方根为， 的平方根为． 24． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同解的性质，将两个不含参数的方程组成新方程组，利用加减消元法解方程组即可得到相同的解； （2）将得到的相同解代入含参数的方程，求出参数，的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：两个方程组有相同的解， 该解满足两个方程组的所有方程， 将不含参数的方程组合为新方程组， 得，解得， 把代入，得，解得， 这个相同的解为； （2）解：把代入含参数的两个方程，得， 由得， 将代入得， 整理得，解得， 把代入，得， 将，代入得 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．A 3．A 4．D 5．A 二、填空题 6．/ 7． 8． 9． 10． 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得， 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 把②代入①得，解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为． 12． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得 解得 将代入①得 解得， ∴方程组的解为； （2）解： 将①代入②得 解得 将代入①得 ∴方程组的解为． 13． 【答案】(1)二 (2) ①，得．③ ③②，得，解得． 将代入①，得． 所以这个方程组的解为． 【分析】（1）发现第二步③②出错即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：第二步③②时，应为，即，而不是． （2）略． 14． 【答案】 【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，利用加减消元的方法求出结果，再代入求出a，b的值，代入求出结果再求算术平方根． 【详解】解：由题可知，两个二元一次方程组的解也是方程组的解， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 则方程组的解为， 把分别代入，， 得， 解得 ，         的算术平方根为． 15． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 16． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，再根据定义可得答案； （2）根据“相伴系数对”的定义可得，再把代入到中求出k的值即可得到答案； （3）求出，得到此二元一次方程的“相伴系数对”为，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为， ∴， ∵是关于x、y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， ∴， ∴，即这个二元一次方程为； （3）解：∵， ∴， ∴关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组的定义与解法 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程（组）的判断（重） 题型2 二元一次方程的整数解（难） 题型3 已知二元一次方程（组）的解求值（高频） 题型4 代入消元法解二元一次方程组（高频） 题型5 加减消元法解二元一次方程组（高频） 题型6 二元一次方程组的错解复原问题（高频） 题型7 构造二元一次方程组求解（高频） 题型8 利用同解方程组的问题求解（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程（组）的判断 1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义，判定解答即可． 【详解】解： 选项A：方程含有三个未知数，不符合二元一次方程的定义， 故本选项不符合要求． 选项B：不是整式方程， 故本选项不符合要求． 选项C：最高次项的次数为2，不属于一次方程， 故本选项不符合要求． 选项D：符合定义， 故本选项符合要求． 2．（25-26七年级下·四川乐山·期末）若是关于、的二元一次方程，则m的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵ 方程是关于,的二元一次方程， ∴ ，且， 解，得或， 又， ∴ . 3．（25-26七年级下·河北保定·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． ◆题型2 二元一次方程的整数解 4．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）方程的一组整数解为______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵方程， ∴当时，， ∴方程的一组整数解为（答案不唯一）． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）方程的正整数解是___________． 【答案】 【分析】先用的代数式表示出，再结合正整数的要求，枚举验证得到方程的解. 【详解】解：， ， 当时，， 是正整数，符合要求； 当时，， 不是正整数，舍去； 当时，， 为负数，不符合正整数要求，舍去； 方程的正整数解是． 6．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知二元一次方程，当、均为正整数时，则该二元一次方程有________组解． 【答案】 【分析】将原方程变形为用含的代数式表示，根据，均为正整数得到的所有正整数取值，统计解的组数即可． 【详解】解：对二元一次方程移项，得 ， ∵，为正整数， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 因此该方程共有组正整数解． ◆题型3 已知二元一次方程（组）的解求值 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为_________． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求出的值； 【详解】解：把代入，得， 移项合并同类项得， 解得：． 8．（25-26七年级下·北京·期末）若是方程组的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，把两个新方程左右两边分别相加，合并化简后可直接求出的值． 【详解】解：把代入得， 得． 9．（25-26七年级下·江西吉安·期末）关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再代入所求式子计算算术平方根即可． 【详解】解：把代入原方程组，得 ， 解得：， 将代入，得：． ◆题型4 代入消元法解二元一次方程组 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解方程组． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 解得． 把代入得：． ∴原方程组的解为． 11．（25-26七年级下·福建莆田·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入法解方程组即可． 【详解】解： 把①代入②，， 得． 把代入①，得． 这个方程组的解为 12．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法，将①代入②，消去，得到，并代入①，得到． （2）利用代入消元法，将①转化为③，把③代入②消去，得到，并代入③，得到． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①，得：③， 把③代入②，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 把代入③，得：， ∴方程组的解为． ◆题型5 加减消元法解二元一次方程组 13．（2026九年级·四川·专题练习）解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为 14．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 15．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）y的系数互为相反数，用加减消元法求解即可． （2）先整理方程组为一般形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得 ， ，得 ， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． ◆题型6 二元一次方程组的错解复原问题 16．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③    第一步 得：        第二步 将代入②得：．    第三步 所以该方程组的解是    第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第 步开始出现了错误，错误的原因是： ． (2)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 【答案】(1)二，计算减法时没有把负号转变为正号 (2)解：得：③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【分析】（1）根据二元一次方程组的运算即可解答． （2）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． 第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （2）略 17．（25-26七年级下·河北张家口·期末）下面是小北解方程组的部分运算过程． 解：由①，得③，第一步 将③代入②，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 (1)这道题的解法用的是______（选择你认为正确的序号填入）： ①加减消元法；②代入消元法 (2)上面的运算过程从第______步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程． 【答案】(1)② (2)三 (3)解：， 由①得③， 将③代入②，得， 去括号，得，解得， 将代入①得，解得， 所以该方程组的解为． 【分析】（1）根据题意即可得到答案； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略． 18．（25-26七年级下·江西南昌·期末）下面是南南解二元一次方程组的过程，请阅读以下解题过程并完成相应的任务： 解：，得③  第一步 ，得  第二步   第三步 把代入①，得  第四步 ∴原方程组的解为  第五步 任务一： (1)上述材料中南南同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合思想    B．整体思想    C．建模思想    D．转化思想 (3)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________________； 任务二： (4)请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)D (2)D (3)一；时，等式右边的4没有乘2，计算错误．（言之有理即可） (4)解： ， ，得 ③， ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 【分析】（1）根据解题过程的特征判断消元方法，该方法通过变形方程后相加消元，属于加减法； （2）消元思想将二元一次方程组转化为一元一次方程，把未知问题转化为已知问题，体现转化思想； （3）根据等式的基本性质，等式两边乘同一个数，结果仍相等，第一步计算时等号右边未乘2，因此第一步出错； （4）利用加减消元法，按照等式性质正确计算即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题干的解题过程可知，南南通过变形方程后相加消去未知数，该方法是加减法； （2）解：消元过程将“二元”转化为“一元”，把陌生的二元问题转化为熟悉的一元一次方程问题，体现了转化思想； （3）解：观察第一步计算，对①两边同时乘2时，只有左边各项乘2，右边的4没有乘2，不符合等式的基本性质， 因此第一步开始出现错误． 错误原因是时，等式右边的4没有同时乘2，计算错误． （4）略． ◆题型7 构造二元一次方程组求解 19．（26-27九年级上·福建泉州·期中）若最简二次根式、是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义确定根指数为2，再根据最简同类二次根式的定义得到被开方数相等，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵是二次根式， ∴ ∵两个根式都是最简二次根式，且是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 整理得， 联立方程，得 由得， 两边同除以，得． 20．（25-26七年级下·山东济宁·期末）定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________． 【答案】1 【分析】根据定义得出，整理并用代入法解二元一次方程组，得出a和b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可知：， 整理得：， 解得：， ∴． 21．（2026·江苏宿迁·中考真题）生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． ◆题型8 利用同解方程组的问题求解 22．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 23．（25-26七年级下·江西上饶·期末）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先联立并求解，可得两个二元一次方程的公共解为，然后代入并求解，即可确定，的值； （2）将，代入并求解，然后根据平方根的定义和性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：与的解相同， 可联立得， 解得两个二元一次方程的公共解为， 将代入， 可得，解得， ，． （2）将，代入，得， 的平方根为， 的平方根为． 24．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同解的性质，将两个不含参数的方程组成新方程组，利用加减消元法解方程组即可得到相同的解； （2）将得到的相同解代入含参数的方程，求出参数，的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：两个方程组有相同的解， 该解满足两个方程组的所有方程， 将不含参数的方程组合为新方程组， 得，解得， 把代入，得，解得， 这个相同的解为； （2）解：把代入含参数的两个方程，得， 由得， 将代入得， 整理得，解得， 把代入，得， 将，代入得 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27八年级上·天津河北·开学考试）下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从整式方程、未知数个数、含未知数项的次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A.是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程要求； B.中项的次数为2，不符合题意； C.分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意； D.含有3个未知数，不符合题意． 2．（25-26七年级下·吉林白山·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：把代入得：， ∴． 3．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若关于、的方程是二元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程是二元一次方程， ∴ ， 即且， ∴ . 4．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【答案】A 【分析】先利用方程组的解满足方程的性质，先求，再求即可． 【详解】解：把代入，得，解得，即； 把，代入，得． 二、填空题 6．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把二元一次方程化成用表示的形式：_________． 【答案】/ 【分析】移项后将的系数化为1即可求解． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴． 7．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）若是关于、的方程的解，则______________． 【答案】 【分析】将给定的，的值代入原方程，即可计算得到的值． 【详解】解：∵是关于、的方程的解， ∴， ∴． 8．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果是关于，的二元一次方程，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，且， 由，得， 解得或， ∵， 即， ∴． 9．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如果，那么__________． 【答案】 【分析】根据非负数之和为 0，得到二元一次方程组，解出x、y的值，再代入计算． 【详解】解：，，且， ，得， ， ． 把代入①，得． ∴． ∴． 10．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】两个方程组解相同，说明解是四个方程的公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出的值，即可计算． 【详解】解：两个方程组的解相同， 公共解满足两个不含参数的方程， 联立得， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把、代入含的方程， 得：， 解得：， ． 三、解答题 11．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得， 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 把②代入①得，解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为． 12．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得 解得 将代入①得 解得， ∴方程组的解为； （2）解： 将①代入②得 解得 将代入①得 ∴方程组的解为． 13．（25-26七年级下·吉林·期末）小明同学解方程组的过程如下： 解： ，得．③  第一步 ③②，得，  第二步 ．第三步 把代入①，得．第四步 所以这个方程组的解是  第五步 (1)小明的解法中，从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2) ①，得．③ ③②，得，解得． 将代入①，得． 所以这个方程组的解为． 【分析】（1）发现第二步③②出错即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：第二步③②时，应为，即，而不是． （2）略． 14．（25-26七年级下·四川广元·期末）已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，利用加减消元的方法求出结果，再代入求出a，b的值，代入求出结果再求算术平方根． 【详解】解：由题可知，两个二元一次方程组的解也是方程组的解， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 则方程组的解为， 把分别代入，， 得， 解得 ，         的算术平方根为． 15．（25-26七年级下·河南安阳·期末）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 16．（25-26七年级下·山东日照·期末）若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程； (3)已知关于x、y的二元一次方程，该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，再根据定义可得答案； （2）根据“相伴系数对”的定义可得，再把代入到中求出k的值即可得到答案； （3）求出，得到此二元一次方程的“相伴系数对”为，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为， ∴， ∵是关于x、y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， ∴， ∴，即这个二元一次方程为； （3）解：∵， ∴， ∴关于x、y的二元一次方程的“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二元一次方程组的定义与解法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二元一次方程（组）的判断（重） 题型2二元一次方程的整数解（难） 题型3已知二元一次方程（组）的解求值（高频） 题型4代入消元法解二元一次方程组（高频） 题型5加减消元法解二元一次方程组（高频） 题型6二元一次方程组的错解复原问题（高频） 题型7构造二元一次方程组求解（高频） 题型8利用同解方程组的问题求解（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 ◆题型1二元一次方程（组）的判断 1.(26-27八年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)下列方程中是二元一次方程的是（) A.6x+3y=22-1 C.x2+x-2y=0 D.x+2y=3 2.(25-26七年级下四川乐山期末)若mx+3y=5是关于x、y的二元一次方程，则m的值为() A.-2 B.0 C.2 D.0或2 3.(25-26七年级下河北保定期末)下列方程组中，属于二元一次方程组的是（) x+y=1 A 2 x+y=2 y=4 y-二=2 B C D.x+y=2 y=3 y=1 1x2-1=0 ◆题型2二元一次方程的整数解 4.(25-26七年级下·云南曲靖阶段检测)方程2x-y=5的一组整数解为一（写出一个即可）. 1/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级下·吉林长春期末)方程2x+3y=7的正整数解是 6.(25-26七年级下湖北武汉期末)已知二元一次方程2x+y=9,当x、y均为正整数时，则该二元一 次方程有 组解 ◆题型3已知二元一次方程（组）的解求值 x=- 7.(25-26七年级下黑龙江哈尔滨期末)若y=2是关于x,y的二元一次方程x+w=9的一组解，则a 的值为 y=2是方程组6x+二7的解，则 x=一 ax+by=1 8.(25-26七年级下北京期末)若 的值为 atb 9.(25-26七年级下江西吉安期末)关于x、y的方程组 3x-y=m x=1 x+mw=n的解是y=1,则、m一n的值是 ◆题型4代入消元法解二元一次方程组 y=2x-5① 10.(25-26七年级下·湖北武汉期末)解方程组 3x+2y=-3②· y=3-2x 11.(25-26七年级下·福建莆田期末)解方程组： 3x+2y=5· 12.(江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷)解下列方程组： x=y-1 (012x-y=1 x-y=1 (2)13x+2y=8 ◆题型5加减消元法解二元一次方程组 x+2y=3 13.(2026九年级四川专题练习)解二元一次方程组： 3x-2y=5 14.(26-27八年级上黑龙江哈尔滨·阶段检测)解下列方程组： 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [3x-2y=4① ()17x+4y=182 x-y=1① (2②15x+2y=5@1 15.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)解下列方程组： 「3x+2y=7 (0)16x-2y=11 3(x-1)=y+5 (②)150-1)=2(x+5) ◆题型6二元一次方程组的错解复原问题 4x+3y=5① 16.(25-26七年级下广东肇庆期末)下面是小华同学解方程组 2x-y=-5②的过程，请你观察计算过 程，回答下面问题， 解：②×2得：4x-2y=-10③ 第一步 ①-③得：y=15 第二步 将y=15代入②得：x=5. 第三步 x=5 所以该方程组的解是y=15 第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第步开始出现了错误，错误的原因是：-· (②)请你帮小华同学写出正确的解题步骤， 2x-y=4① 17.(25-26七年级下河北张家口期末)下面是小北解方程组10x-3y=20②的部分运算过程. 解：由①，得y=2x-4③，第一步 将③代入②，得10x-3(2x-4)=20,第二步 去括号，得10x-6x-12=20,第三步 解得x=8.第四步 (1)这道题的解法用的是 (选择你认为正确的序号填入)： ①加减消元法：②代入消元法 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)上面的运算过程从第 步开始出现了错误； (3)请写出解该方程组的正确过程 x-2y=4① 18。(25-26七年级下江西南昌期末)下面是南南解二元一次方程组3x+4y=6②的过程，请阅读以下 解题过程并完成相应的任务： 解：①×2，得2x-4y=4③第一步 ②+③，得5x=10第二步 x=2第三步 把x=2代入①，得y=1第四步 x=2 ·原方程组的解为y=-1 第五步 任务一： (1)上述材料中南南同学解二元一次方程组的数学方法是 (填序号即可)； A.公式法B.换元法C.代入法D.加减法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数 学思想是 (填序号即可)： A,数形结合思想B.整体思想C.建模思想D.转化思想 (3)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二： (4)请你写出正确的求解过程. ◆题型7构造二元一次方程组求解 19.(26-27九年级上福建泉州期中)若最简二次根式0-4a+66、√2a-b+6是同类二次根式，则 a+b= 20.(25-26七年级下山东济宁·期末)定义运算“*”，规定x*y=m+y，,其中a、b为常数，且1*2=5， 2*1=6,则Vb-a= 21.(2026江苏宿迁·中考真题)生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等.有一种密码， 明文是一个数，密文是一个数对(x,y),且m=x+y,其中a,b是常数.明文与密文的对应关系如下 表所示： 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明 -5 -11 文 密 (1,2) （-2,3) 文 (1)求a,b的值： (2)求密文(4，)的明文. ◆题型8利用同解方程组的问题求解 2x-y=7[x+2y=1 22,(25-26七年级下浙江宁波：期中)已知关于x'y的方程组2-=4和x+2y=7有相同的解。 (1)求出它们的相同解. (2)求a+b的值. [2x+5y=-26mx+y=8 23.(25-26七年级下江西上饶期末)已知关于x,y的方程组mx-y=4与3x-y=12的解相同. (I)求m,n的值； (2)求m-3n的平方根. 2x+y=-13x-y=6 24.(25-26七年级下四川乐山期肿)己知关于xy的方程组a+y=13和bx-y=9有相同的解。 (1)求这个相同的解； 2026 ②球2a+b 的值 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(26-27八年级上·天津河北开学考试)下列方程中是二元一次方程的是(） A.3x+y=2 B.y=4 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. 2-1=4+y D.x-2y=3z x=a 2.(25-26七年级下吉林白山~期末)如果y=b是方程x-3y=-2的一组解，那么代数式4+2a-66的值 是() A.0 B.2 C.6 D.8 3.(2627八年级上重庆阶段检测)若关于x、y的方程(k-3)x2+2y=6是二元一次方程，则k的值 为() A.-3 B.3 C.+2 D.0 4.(26-27九年级上黑龙江大庆开学考试)如果(x+y-4+V3x-y=0,那么2x-y的值为() A.-3 B.3 C.1 D.-1 3x-y=3 x=4 5.(25-26七年级下河北张家口期末)小明解出了关于x,y的二元一次方程组2x+y=a的解为y=口因 不小心，有两处被污染，则“△”和“口”代表的数分别是() A.17,9 B.22,9 C.14.6 D.18,6 二、填空题 6.(26-27八年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)把二元一次方程2x-y-3=0化成用x表示y的形式：y=- x=1 7.（26-27八年级上黑龙江绥化开学考试)若y=2是关于xy的方程mx-y=3的解，则m= 8.(26-27八年级上黑龙江哈尔滨开学考试)如果2x+(m+2)y=2是关于x,y的二元一次方程，则 m的值为， 9.(26-27八年级上天津红桥开学考试)如果(x-y+16)+x+3y-2=0,那么x+y= [4x+3y=113x-5y=1 10.(25-26七年级下河北张家口期未)已知关于x'y的方程组1a+by=-2和x-y=6的解相同， 则a+b的值为 三、解答题 11.(26-27八年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)解下列方程组 「2x-y=5 (017x-3y=20 618 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2x+4y=5 (②1x=1-y 12.(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)解方程组： [2x+3y=40 ()13x-2y=-5 x=y+4 (②)13x+4y=19 x-3y=1① 13.(25-26七年级下吉林期末)小明同学解方程组2x-y=7@的过程如下： 解： ①×2，得2x-6y=2.③第-步 ③-②，得6y-y=2-7,第二步 5 -7y=-5,y=7:第三步 把少=7代入①，得x-3 > =1,x= 22 第四步 22 x= 7 所以这个方程组的解是 第五步 y=7 (1)小明的解法中，从第 步开始出现错误： (2)请写出正确的解题过程. 「2x+5y=-6[bx+y=-8 14.(25-26七年级下四川广元期末)已知关于x'y的=元一次方程组-by=4和13x-5y=16的 解相同，求5a-3b+2的算术平方根. 2x+y=5 15.（25-26七年级下河南安阳期末)已知关于x'y的方程组 m+2y-mx-6=0 (①)请写出方程2x+y=5的一组正整数解：一； (2)若方程组的解满足x-y=4,求m的值： (3)不论m取任何值，方程m+2y-mx-6=0总有一组固定解，请直接写出这组固定解. 16.(25-26七年级下·山东日照期末)若将关于x、y的二元一次方程变形为y=x+b的形式(ab是常 数，Q≠0)，则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为(a,b).例如：将二元一次方 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积x-2y=1变形为宁宁，则二元-次方程x-2y-1的“相作系数对”为刘分》 ()二元一次方程2x+y=1的“相伴系数对”为 x=2 ②己知少=9是关于式、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相件系数对”为(k,k-3),求这个二元 一次方程： (3)已知关于x、y的二元一次方程mr-5m=4y+5n-x,该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值. 8/8