第三单元 多边形的面积（三角形的面积）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第三单元 多边形的面积（三角形的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、三角形面积的推导（拼摆法） 用两个完全相同的三角形，通过旋转、平移可以拼成一个平行四边形。 - 拼成的平行四边形的底等于三角形的底； - 拼成的平行四边形的高等于三角形的高； - 每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，由此推导得出： 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 二、面积计算公式 1. 基本公式： 　　- 表示三角形的面积，表示底，表示这条底对应的高； 　　- 核心原则：底和高必须一一对应，高必须是这条底边上的垂直高度。 2. 逆运用公式： 　　- 已知面积和底，求对应高： 　　- 已知面积和高，求对应底： 　　- 关键：逆运算时必须先把面积乘2，还原成等底等高的平行四边形面积，再求底或高。 三、重要性质 1. 等底等高的三角形，面积一定相等；但面积相等的三角形，不一定等底等高，形状也不一定相同。 2. 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的；平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍。 3. 同一条底、高相等的三角形，无论顶点怎么移动，面积都相等（"同底等高，面积不变"）。 四、常见易错点 1. 忘记除以2：和平行四边形公式混淆，算完底乘高忘记除以2，这是最常见的错误； 2. 底高不对应：用斜边长度乘高，必须用对应的底边和这条底边上的垂直高相乘； 3. 逆运算错误：已知面积求底/高时，直接用面积除以底/高，忘记先乘2； 4. 单位不统一：底和高单位不一致时直接计算，导致结果量级错误； 5. 概念混淆：认为面积相等的三角形形状一定相同，或认为只要是三角形面积就是平行四边形的一半。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式代入法——已知底高求面积 【解题思路】 找到三角形对应的底和高，代入面积公式计算，核心是"底高对应，勿忘除以2"。 【操作步骤】 第一步：确定底边的长度； 第二步：找到这条底边对应的垂直高； 第三步：统一单位，代入公式计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：计算完底乘高忘记除以2。 　　→ 规避技巧：写完后立刻写""，养成固定计算习惯。 方法点拨2：逆推公式法——已知面积求底或高 【解题思路】 已知面积和其中一个量，先把面积乘2还原成等底等高的平行四边形面积，再除以已知量得到未知量。 【操作步骤】 第一步：明确已知量和所求量； 第二步：面积先乘2，还原为平行四边形面积； 第三步：除以已知的底或高，得到对应结果。 【易错提升】 ● 易错点：直接用面积除以底求高，结果是正确值的一半。 　　→ 规避技巧：求底求高，先乘2，再相除。 方法点拨3：等积关系法 【解题思路】 解决三角形与平行四边形的面积关系问题，抓住"等底等高时，三角面积是平行四边形一半"的核心规律。 【操作步骤】 第一步：找到两个图形共同的底和高，确定是否等底等高； 第二步：明确倍数关系：平行四边形面积是三角形的2倍，三角形是平行四边形的； 第三步：根据已知量计算未知量。 【易错提升】 ● 易错点：搞反倍数关系，认为三角形面积是平行四边形的2倍。 　　→ 规避技巧：平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的，所以平行四边形面积大。 【第三部分】考点讲练 考点一：三角形面积的计算 【典例精讲】 已知三角形面积是0.39平方米，求这个三角形的高。 【变式训练】 计算下面图形的面积。（单位：cm）            考点二：三角形面积的应用 【典例精讲】 一把遮阳伞的伞面是由8块相同的三角形布料拼成的，每个三角形的底是3.8分米，高是5分米。做这把遮阳伞，至少需要多少平方分米的布料？（不考虑接缝处） 【变式训练】 外婆家有一块三角形白菜地，底为5米，高为2.4米，每平方米可收2千克白菜，这块地一共可收多少千克白菜？ 考点三：平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点B是线段AE的中点，图中有( )个三角形的面积和①号三角形的面积相等。 【变式训练】 如图，，图中的四个图形，面积相等的是( )。（填序号，不重不漏）。 【第四部分】专项提升练习 1．一个三角形和一个平行四边形的面积和高分别相等，如果三角形的底是18厘米，那平行四边形的底是( )厘米。如果平行四边形的底是16厘米，那三角形的底是( )厘米。 2．一个三角形的面积是40平方米，高是8米，它的底是( )米。 3．一个三角形的面积是48平方米，高是8米，底是( )米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方米。 4．一个平行四边形和一个三角形等底等高。若它们的面积之差是24平方厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米；若它们的面积之和是24平方厘米，则三角形的面积是( )平方厘米。 5．如图，在边长相等的五个正方形中，画了两个三角形。如果三角形A的面积是36cm2，那么三角形B的面积是( )cm2。 6．追梦小学劳动实践基地的植物旁边竖着不同形状的牌子，上面记录着植物的习性。其中有一个平行四边形牌子的底是8cm，高是6cm，它的面积是( )；另一个三角形的牌子，它的底是4cm，高是5cm，这个牌子的面积是( )。 7．一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28cm2，这个三角形的面积是( )cm2。 8．如图，在长方形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )dm2。 9．计算下面图形的面积。 10．计算下面图形的面积（单位：cm）。 11．计算下面图形的面积。（单位：厘米） 12．计算下面各图形的面积。 13．一块三角形白菜地，底是400米，高是250米。每公顷收白菜25吨，这块地共收白菜多少吨？ 14．一块三角形地，底长38米，高是27米，如果每2平方米可以种一棵树，这块地可以种多少棵树？ 15．一块三角形麦田，底是800米，高是500米。如果每公顷收小麦5000千克，这块麦田能收多少吨小麦？ 16．张伯伯家有一片三角形的桃树林，底是36米，高是12米，如果每棵桃树占地约4平方米，那么这片桃树林有多少棵桃树？ 17．全运会赛场有一款三角形零件（如图），三角形面积是15.6平方厘米，底是6.5厘米，这个三角形零件的高是多少厘米？ 18．学校要制作三角形的流动红旗，它的底是20厘米，高比底长10厘米。制作15面这样的流动红旗需要用布料多少平方米？ 19．李大伯有一块三角形菜地，底边长为12米，底边上的高为8米。去年李大伯在这块地种菜，卖菜共收入720元。平均每平方米菜地收入多少元？ 20．要在公路中间的一块直角三角形空地上种草坪（如图）。如果种1平方米草坪的价格是12元，那么种这片草坪需要多少元？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多边形的面积（三角形的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、三角形面积的推导（拼摆法） 用两个完全相同的三角形，通过旋转、平移可以拼成一个平行四边形。 - 拼成的平行四边形的底等于三角形的底； - 拼成的平行四边形的高等于三角形的高； - 每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，由此推导得出： 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 二、面积计算公式 1. 基本公式： 　　- 表示三角形的面积，表示底，表示这条底对应的高； 　　- 核心原则：底和高必须一一对应，高必须是这条底边上的垂直高度。 2. 逆运用公式： 　　- 已知面积和底，求对应高： 　　- 已知面积和高，求对应底： 　　- 关键：逆运算时必须先把面积乘2，还原成等底等高的平行四边形面积，再求底或高。 三、重要性质 1. 等底等高的三角形，面积一定相等；但面积相等的三角形，不一定等底等高，形状也不一定相同。 2. 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的；平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍。 3. 同一条底、高相等的三角形，无论顶点怎么移动，面积都相等（"同底等高，面积不变"）。 四、常见易错点 1. 忘记除以2：和平行四边形公式混淆，算完底乘高忘记除以2，这是最常见的错误； 2. 底高不对应：用斜边长度乘高，必须用对应的底边和这条底边上的垂直高相乘； 3. 逆运算错误：已知面积求底/高时，直接用面积除以底/高，忘记先乘2； 4. 单位不统一：底和高单位不一致时直接计算，导致结果量级错误； 5. 概念混淆：认为面积相等的三角形形状一定相同，或认为只要是三角形面积就是平行四边形的一半。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式代入法——已知底高求面积 【解题思路】 找到三角形对应的底和高，代入面积公式计算，核心是"底高对应，勿忘除以2"。 【操作步骤】 第一步：确定底边的长度； 第二步：找到这条底边对应的垂直高； 第三步：统一单位，代入公式计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：计算完底乘高忘记除以2。 　　→ 规避技巧：写完后立刻写""，养成固定计算习惯。 方法点拨2：逆推公式法——已知面积求底或高 【解题思路】 已知面积和其中一个量，先把面积乘2还原成等底等高的平行四边形面积，再除以已知量得到未知量。 【操作步骤】 第一步：明确已知量和所求量； 第二步：面积先乘2，还原为平行四边形面积； 第三步：除以已知的底或高，得到对应结果。 【易错提升】 ● 易错点：直接用面积除以底求高，结果是正确值的一半。 　　→ 规避技巧：求底求高，先乘2，再相除。 方法点拨3：等积关系法 【解题思路】 解决三角形与平行四边形的面积关系问题，抓住"等底等高时，三角面积是平行四边形一半"的核心规律。 【操作步骤】 第一步：找到两个图形共同的底和高，确定是否等底等高； 第二步：明确倍数关系：平行四边形面积是三角形的2倍，三角形是平行四边形的； 第三步：根据已知量计算未知量。 【易错提升】 ● 易错点：搞反倍数关系，认为三角形面积是平行四边形的2倍。 　　→ 规避技巧：平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的，所以平行四边形面积大。 【第三部分】考点讲练 考点一：三角形面积的计算 【典例精讲】 已知三角形面积是0.39平方米，求这个三角形的高。 【答案】0.6米 【分析】依据三角形面积公式“底×高÷2”列出方程，再利用等式的性质2解方程即可。 【详解】1.3×x÷2＝0.39 1.3x＝0.39×2 1.3x＝0.78 x＝0.78÷1.3 x＝0.6 即三角形的高是0.6米。 【变式训练】 计算下面图形的面积。（单位：cm）            【答案】120；420 【分析】三角形，找到与已知底16cm对应的高15cm，因为三角形面积公式为，代入对应底和高即可计算。 平行四边形，找到与已知底28cm对应的高15cm，因为平行四边形面积公式为，代入对应底和高即可计算。 【详解】三角形： 平行四边形： 考点二：三角形面积的应用 【典例精讲】 一把遮阳伞的伞面是由8块相同的三角形布料拼成的，每个三角形的底是3.8分米，高是5分米。做这把遮阳伞，至少需要多少平方分米的布料？（不考虑接缝处） 【答案】76平方分米 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘8即可解答。 【详解】3.8×5÷2×8 ＝19÷2×8 ＝9.5×8 ＝76（平方分米） 答：至少需要76平方分米的布料。 【变式训练】 外婆家有一块三角形白菜地，底为5米，高为2.4米，每平方米可收2千克白菜，这块地一共可收多少千克白菜？ 【答案】12千克 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，用5×2.4÷2即可求出白菜地的面积，再乘2即可求出白菜的总千克数。 【详解】5×2.4÷2＝6（平方米） 6×2＝12（千克） 答：这块地一共可收12千克白菜。 考点三：平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点B是线段AE的中点，图中有( )个三角形的面积和①号三角形的面积相等。 【答案】4 【分析】根据“等底等高的三角形的面积相等”来解决此题。 【详解】四边形ABCD是平行四边形，则AB所在的边与CD互相平行（平行线间的距离处处相等），且AB＝CD； 点B是线段AE的中点，所以AB＝BE； 所以，三角形BDE、三角形BCE、三角形DCB、三角形DCE和三角形ABD（也就是①号三角形）都是等底等高的三角形，面积都相等。 即，图中有4个三角形的面积和①号三角形的面积相等。 【变式训练】 如图，，图中的四个图形，面积相等的是( )。（填序号，不重不漏）。 【答案】①②③ 【分析】观察图形可知，这四个图形的高相等，所以可以假设它们的高是2cm，再根据三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值分别求出四个图形的面积，进行解答。 【详解】假设它们的高是2cm。 ①8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） ②4×2＝8（cm2） ③（3＋5）×2÷2 ＝8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） ④（3＋1）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 所以面积相等的是①②③。 【第四部分】专项提升练习 1．一个三角形和一个平行四边形的面积和高分别相等，如果三角形的底是18厘米，那平行四边形的底是( )厘米。如果平行四边形的底是16厘米，那三角形的底是( )厘米。 【答案】 9 32 【分析】一个三角形和一个平行四边形的面积和高分别相等，那么平行四边形的底等于三角形的底的一半，三角形的底等于平行四边形的底的2倍。 【详解】18÷2＝9（厘米） 16×2＝32（厘米） 所以，如果三角形的底是18厘米，那平行四边形的底是9厘米。如果平行四边形的底是16厘米，那三角形的底是32厘米。 2．一个三角形的面积是40平方米，高是8米，它的底是( )米。 【答案】 10 【分析】首先回忆三角形面积公式，三角形面积和底、高的关系为，其中S是面积，a是底，h是高。 因为已知面积S和高h，所以需要对面积公式进行变形，推导得到求底的公式是三角形的底等于面积乘2除以高。 将已知的面积和高的数值代入变形后的公式，即可求解底的长度。 【详解】40×2÷8＝10（米） 3．一个三角形的面积是48平方米，高是8米，底是( )米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方米。 【答案】 12 96 【分析】已知三角形面积和高，求底，因为三角形面积公式为，所以可以对公式变形得到，代入已知数值计算即可得到底的长度。 求等底等高的平行四边形面积，因为平行四边形的面积公式为，所以等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，所以用三角形面积乘2即可得到结果。 【详解】48×2÷8＝12（米） 48×2＝96（平方米） 4．一个平行四边形和一个三角形等底等高。若它们的面积之差是24平方厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米；若它们的面积之和是24平方厘米，则三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 48 8 【分析】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积是与它等底等高三角形面积的2倍，把三角形面积看作1份，与它等底等高的平行四边形面积是2份。 面积差为2－1＝1份，即1份对应24平方厘米，用1份的面积乘2即可得到平行四边形的面积； 面积和为1＋2＝3份，即3份对应24平方厘米，算出1份的面积，即为三角形的面积。 【详解】平行四边形的面积： 24÷（2－1）×2 ＝24÷1×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 三角形的面积： 24÷（1＋2） ＝24÷3 ＝8（平方厘米） 5．如图，在边长相等的五个正方形中，画了两个三角形。如果三角形A的面积是36cm2，那么三角形B的面积是( )cm2。 【答案】72 【分析】三角形面积＝底×高÷2，观察图形可发现三角形A的底对应1个正方形的边长，三角形B的底对应2个正方形的边长，两个三角形的高均等于正方形的边长，那么三角形B的底是三角形A底的2倍，进而推导它们的面积关系。 【详解】设每个正方形的边长为a，三角形A和三角形B的高均等于正方形的边长a，三角形B的底为2a，三角形A的底是a。 三角形B的面积：2a×a÷2＝a²； 三角形A的面积：a×a÷2＝a²÷2。 由此可知，三角形B的面积是三角形A面积的2倍。 三角形B的面积为36×2＝72（cm²）。 因此，三角形B的面积是72cm²。 6．追梦小学劳动实践基地的植物旁边竖着不同形状的牌子，上面记录着植物的习性。其中有一个平行四边形牌子的底是8cm，高是6cm，它的面积是( )；另一个三角形的牌子，它的底是4cm，高是5cm，这个牌子的面积是( )。 【答案】 48 10 【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，据此计算。 【详解】平行四边形：8×6＝48（cm2） 三角形： 4×5÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 7．一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28cm2，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】28 【分析】平行四边形的面积公式：底×高，三角形的面积公式：底×高÷2。当两者等底等高时，平行四边形的面积刚好是三角形面积的2倍。也就是说平行四边形的面积比同底等高的三角形多出来的部分，就正好等于1个三角形的面积。 【详解】题目里说大了28cm²，所以这个三角形的面积就是28cm²。 8．如图，在长方形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )dm2。 【答案】315 【分析】要想在长方形内画一个最大的三角形，则三角形的底和高就是长方形的长和宽，最大三角形的面积＝底×高÷2，据此计算。 【详解】35×18÷2 ＝630÷2 ＝315（dm2） 这个三角形的面积是315dm2。 9．计算下面图形的面积。 【答案】；； 【分析】平行四边形的面积底高，三角形的面积底高。据此解答。 【详解】 10．计算下面图形的面积（单位：cm）。 【答案】24；24；2.16 【分析】分别找到每个三角形的底和高，根据代入数据计算即可。 【详解】（1）三角形底为6cm，高为8cm。 面积为：6×8÷2＝24（） （2）三角形底为6cm，高为8cm。 面积为：6×8÷2＝24（） （3）三角形底为2.4cm，高为1.8cm。 面积为：2.4×1.8÷2＝2.16（） 11．计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】 7.2平方厘米 【分析】观察图形可知，这是一个直角三角形，两条直角边长分别是4.8厘米、3厘米。两条直角边，一条作底边，另一条就是这条边上的高，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求解即可 【详解】4.8×3÷2 ＝14.4÷2 ＝7.2（平方厘米） 这个三角形的面积是7.2平方厘米。 12．计算下面各图形的面积。 【答案】54cm2；30dm2 【分析】（1）根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，找到高6cm所对应的底是9cm，代入公式计算面积。 （2）根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，底10dm和高6dm是一组对应的底和高，代入公式计算面积。 【详解】（1）9×6＝54（cm2） （2）10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（dm2） 13．一块三角形白菜地，底是400米，高是250米。每公顷收白菜25吨，这块地共收白菜多少吨？ 【答案】125吨 【分析】先根据“三角形面积＝底×高÷2”算出菜地的面积，再根据进率“1公顷＝10000平方米”把面积换算成公顷作单位，然后用每公顷的白菜产量乘公顷数，得到这块地白菜的总产量。 【详解】400×250÷2 ＝100000÷2 ＝50000（平方米） 50000平方米＝5公顷 25×5＝125（吨） 答：这块地共收白菜125吨。 14．一块三角形地，底长38米，高是27米，如果每2平方米可以种一棵树，这块地可以种多少棵树？ 【答案】256棵 【分析】先根据三角形面积公式“三角形面积＝底×高÷2”求出这块地的总面积，每2平方米种1棵树，用总面积除以2得到种树棵数，如果有余数，余下的面积不够种1棵树，舍去余数。 【详解】 （平方米） ……1（平方米） 答：这块地可以种256棵树。 15．一块三角形麦田，底是800米，高是500米。如果每公顷收小麦5000千克，这块麦田能收多少吨小麦？ 【答案】100吨 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，算出麦田的面积；再根据1公顷＝10000平方米，将面积单位换算为公顷，再根据1吨＝1000千克，把每公顷收小麦的质量换算为吨，最后用公顷数乘每公顷产量即可 【详解】 （平方米） 200000平方米20公顷 5000千克5吨 （吨） 答：这块麦田能收100吨小麦。 16．张伯伯家有一片三角形的桃树林，底是36米，高是12米，如果每棵桃树占地约4平方米，那么这片桃树林有多少棵桃树？ 【答案】54棵 【分析】先根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2求出三角形桃树林的总面积，再用总面积除以每棵桃树的占地面积，即可求出桃树的总棵数。 【详解】36×12÷2 ＝432÷2 ＝216（平方米） 216÷4＝54（棵） 答：这片桃树林有54棵桃树。 17．全运会赛场有一款三角形零件（如图），三角形面积是15.6平方厘米，底是6.5厘米，这个三角形零件的高是多少厘米？ 【答案】4.8厘米 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，则用三角形的面积15.6平方厘米乘2再除以底长6.5厘米即可求出这个三角形零件的高。 【详解】15.6×2÷6.5＝4.8（厘米） 答：这个三角形零件的高是4.8厘米。 18．学校要制作三角形的流动红旗，它的底是20厘米，高比底长10厘米。制作15面这样的流动红旗需要用布料多少平方米？ 【答案】0.45平方米 【分析】用底的长度加上10厘米算出高的长度，三角形面积＝底×高÷2，算出1面红旗需要的布料面积，再乘15算出15面红旗需要的布料面积，最后将平方厘米换算为平方米（1平方米＝10000平方厘米）。 【详解】20＋10＝30（厘米） 30×20÷2 ＝600÷2 ＝300（平方厘米） 300×15＝4500（平方厘米） 4500平方厘米＝0.45平方米 答：制作15面这样的流动红旗需要用布料0.45平方米。 19．李大伯有一块三角形菜地，底边长为12米，底边上的高为8米。去年李大伯在这块地种菜，卖菜共收入720元。平均每平方米菜地收入多少元？ 【答案】15元 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可求出菜地的面积；已知卖菜共收入720元，根据单价＝总价÷数量，用总收入除以总面积，即可求出平均每平方米的单价。 【详解】（平方米） （元） 答：平均每平方米菜地收入15元。 20．要在公路中间的一块直角三角形空地上种草坪（如图）。如果种1平方米草坪的价格是12元，那么种这片草坪需要多少元？ 【答案】864元 【分析】从图中可知，直角三角形空地的底和高分别是15米和9.6米，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出空地的面积，再乘每平方米草坪的价格，即是种这片草坪需要总钱数。 【详解】15×9.6÷2 ＝144÷2 ＝72（平方米） 72×12＝864（元） 答：种这片草坪需要864元。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $