第三单元 多边形的面积（平行四边形的面积）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第三单元 多边形的面积（平行四边形的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、平行四边形面积的推导（割补法） 把平行四边形沿着一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。 - 拼成的长方形的长等于平行四边形的底； - 拼成的长方形的宽等于平行四边形的高； - 拼成的长方形面积和原平行四边形的面积相等。 因为长方形面积 = 长 × 宽，由此推导得出： 平行四边形的面积 = 底 × 高 二、面积计算公式 1. 基本公式： 　　- 表示平行四边形的面积，表示底，表示高； 　　- 核心原则：底和高必须一一对应，高必须是这条底边上对应的垂直高度。 2. 逆运用公式： 　　- 已知面积和底，求对应高： 　　- 已知面积和高，求对应底： 三、重要性质 等底等高的平行四边形，面积一定相等；但面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 - 面积相等的平行四边形，形状可能不同，底和高的组合可以有多种。 - 同底等高的平行四边形，无论形状如何倾斜，面积都相等。 四、常见易错点 1. 底高不对应：用斜边长度乘高，必须用对应的底边和这条底边上的垂直高相乘； 2. 单位不统一：底和高单位不一致时直接计算，导致结果量级错误； 3. 概念混淆：以为面积相等形状就相同，或以为周长相等面积就相等； 4. 公式混淆：和三角形面积公式混淆，多除以2（平行四边形面积无需除以2）； 5. 变形误区：把长方形拉成平行四边形，误以为面积不变，实际高变小、面积变小。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式代入法——已知底高求面积 【解题思路】 找到平行四边形对应的底和高，直接代入面积公式计算，核心是"底高对应"。 【操作步骤】 第一步：确定底边的长度； 第二步：找到这条底边对应的垂直高； 第三步：统一单位，代入公式计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：随便找一个高和底相乘，不对应。 　　→ 规避技巧：高垂直于哪条底，就和哪条底相乘。 方法点拨2：逆推公式法——已知面积求底或高 【解题思路】 已知面积和其中一个量（底或高），根据面积公式逆向推导，用面积除以已知量得到未知量。 【操作步骤】 第一步：明确已知量和所求量； 第二步：对应逆公式：求高用面积÷底，求底用面积÷高； 第三步：计算结果，标注对应单位。 【易错提升】 ● 易错点：已知面积求高，用面积乘高，搞反运算。 　　→ 规避技巧：根据，求其中一个因数，用积除以另一个因数。 方法点拨3：等积变形法 【解题思路】 解决平行四边形割补、变形类问题，抓住"割补前后面积不变"的规律，转化为规则图形计算。 【操作步骤】 第一步：观察图形，通过割、补、移，把不规则图形转化为标准平行四边形或长方形； 第二步：找出转化后图形的底和高； 第三步：计算面积，原图形面积等于转化后的面积。 【易错提升】 ● 易错点：认为割补后周长也不变。 　　→ 规避技巧：割补后面积不变，周长通常会发生变化。 【第三部分】考点讲练 考点一：平行四边形面积的计算 【典例精讲】 求平行四边形的面积。 【变式训练】 求下列图形的面积。（单位：厘米） 考点二：平行四边形面积的应用 【典例精讲】 花园小学五（1）班在平行四边形劳动实践菜园种植蔬菜，平行四边形的邻边长如图所示。同学们量得菜园的高分别是25米和15米。如果每平方米可以种4棵菜，那么这个菜园一共可以种多少棵菜？ 【变式训练】 襄襄爷爷用44米长的篱笆在靠墙的地方围了一块菜地（如图），这块菜地的面积是多少平方米？ 考点三：用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】 一块平行四边形草坪，中间有两条宽为1米的石子路（如图）。已知铺这块草坪共用去2400元，平均每平方米草坪需要多少元？ 【变式训练】 如图，一块平行四边形草坪，底是18米，高是10米。中间有两条宽都为2米的石子路。如果铺1平方米草坪需要16元，那么铺完这块草坪一共需要多少元？ 【第四部分】专项提升练习 1．有一个长24厘米，宽20厘米的可以活动的长方形框架，现在把它拉成一个底是24厘米的平行四边形框架后，发现面积少了120平方厘米，那么平行四边形框架的高是( )厘米。 2．一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等，如果平行四边形的高是6分米，那么三角形的高是( )分米；如果三角形的高是4分米，那么平行四边形的高是( )分米。 3．一块平行四边形试验田，相邻的两条边长度分别是20米和30米，量得一条高是24米，这块试验田的面积可能是( )平方米。 4．将一个平行四边形通过分割平移转化成长方形（如图，单位：厘米），原来平行四边形的面积是( )平方厘米，现在长方形的周长是( )厘米。我发现它们的( )变了，( )没变。（选填“周长或面积”） 5．春分放风筝主要是代表了人们对美好生活的一种期盼。小梦自己做了一个形似平行四边形的风筝，这个风筝的两条邻边分别是长10分米、6分米，量得一条高是4分米，这个平行四边形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 6．如图，平行四边形的高为( )m。 7．计算下面平行四边形的面积。 8．计算下面平行四边形的面积。 9．计算下面平行四边形的面积。           10．求出下列图形的面积。 11．一块平行四边形草坪，底30米，高14米。每平方米草坪需要养护费2元，养护这块草坪一共需要多少元？ 12．一个三角形，它的底是50分米，高是20分米，有一个平行四边形，与它等底等高，这个平行四边形面积是多少平方分米？ 13．一块近似平行四边形的桃园，被一条长方形的石子路分成了两块（如图）。已知平行四边形的底是38米，高是26米，小路宽1米。如果平均每棵桃树占地5平方米，这个桃园大约有多少棵桃树？ 14．物业公司打算给幸福小区的停车位粉刷防滑油漆。如图，每个停车位是一个底长6米，高3米的平行四边形，平均每平方米需要防滑油漆2千克，幸福小区共有65个这样的停车位，物业公司至少需要准备多少千克防滑油漆？ 15．一块平行四边形稻田，中间有一条宽1.5米的小路。如果每平方米收稻谷约0.8千克，这块地共收稻谷多少千克？ 16．一个平行四边形的钢板，底是2.5米，高是0.6米。如果每平方米钢板重39千克，这块钢板大约重多少千克？ 17．有一个平行四边形果园，底60米，高40米。如果每12平方米种一棵苹果树，那么这个果园一共可以种多少棵苹果树？ 18．某广告公司制作了一块平行四边形广告牌，它的底是35米，高20米。如果油漆这块广告牌（涂一面）每平方米用油漆200克，共需要油漆多少千克？ 19．一块面积为1.3公顷的空地上修建了一块底边为90米、高80米的平行四边形草坪，其余部分修人行通道。人行通道的面积是多少公顷？ 20．为了缓解停车位紧张的状况，社区管理员规划了一块平行四边形的场地，用于停车（如图所示），高10米所对应的底边长是多少米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多边形的面积（平行四边形的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、平行四边形面积的推导（割补法） 把平行四边形沿着一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。 - 拼成的长方形的长等于平行四边形的底； - 拼成的长方形的宽等于平行四边形的高； - 拼成的长方形面积和原平行四边形的面积相等。 因为长方形面积 = 长 × 宽，由此推导得出： 平行四边形的面积 = 底 × 高 二、面积计算公式 1. 基本公式： 　　- 表示平行四边形的面积，表示底，表示高； 　　- 核心原则：底和高必须一一对应，高必须是这条底边上对应的垂直高度。 2. 逆运用公式： 　　- 已知面积和底，求对应高： 　　- 已知面积和高，求对应底： 三、重要性质 等底等高的平行四边形，面积一定相等；但面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 - 面积相等的平行四边形，形状可能不同，底和高的组合可以有多种。 - 同底等高的平行四边形，无论形状如何倾斜，面积都相等。 四、常见易错点 1. 底高不对应：用斜边长度乘高，必须用对应的底边和这条底边上的垂直高相乘； 2. 单位不统一：底和高单位不一致时直接计算，导致结果量级错误； 3. 概念混淆：以为面积相等形状就相同，或以为周长相等面积就相等； 4. 公式混淆：和三角形面积公式混淆，多除以2（平行四边形面积无需除以2）； 5. 变形误区：把长方形拉成平行四边形，误以为面积不变，实际高变小、面积变小。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式代入法——已知底高求面积 【解题思路】 找到平行四边形对应的底和高，直接代入面积公式计算，核心是"底高对应"。 【操作步骤】 第一步：确定底边的长度； 第二步：找到这条底边对应的垂直高； 第三步：统一单位，代入公式计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：随便找一个高和底相乘，不对应。 　　→ 规避技巧：高垂直于哪条底，就和哪条底相乘。 方法点拨2：逆推公式法——已知面积求底或高 【解题思路】 已知面积和其中一个量（底或高），根据面积公式逆向推导，用面积除以已知量得到未知量。 【操作步骤】 第一步：明确已知量和所求量； 第二步：对应逆公式：求高用面积÷底，求底用面积÷高； 第三步：计算结果，标注对应单位。 【易错提升】 ● 易错点：已知面积求高，用面积乘高，搞反运算。 　　→ 规避技巧：根据，求其中一个因数，用积除以另一个因数。 方法点拨3：等积变形法 【解题思路】 解决平行四边形割补、变形类问题，抓住"割补前后面积不变"的规律，转化为规则图形计算。 【操作步骤】 第一步：观察图形，通过割、补、移，把不规则图形转化为标准平行四边形或长方形； 第二步：找出转化后图形的底和高； 第三步：计算面积，原图形面积等于转化后的面积。 【易错提升】 ● 易错点：认为割补后周长也不变。 　　→ 规避技巧：割补后面积不变，周长通常会发生变化。 【第三部分】考点讲练 考点一：平行四边形面积的计算 【典例精讲】 求平行四边形的面积。 【答案】 【分析】根据平行四边形面积＝底×高。需找到平行四边形中一组对应的底和高，要注意底和高必须是互相垂直的关系，不能把斜边当作高。从图中可知，平行四边形的底是2.5dm，这条底对应的垂直高是4.4dm，而5dm是平行四边形的斜边长度，所以计算时不需要用到这个数据。据此解答。 【详解】根据分析： 所以平行四边形的面积是。 【变式训练】 求下列图形的面积。（单位：厘米） 【答案】6平方厘米 【分析】这是一个平行四边形，观察图形可知，长度为3厘米的虚线是边长2厘米的这条边对应的高，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数值即可求出面积。 【详解】2×3＝6（平方厘米） 考点二：平行四边形面积的应用 【典例精讲】 花园小学五（1）班在平行四边形劳动实践菜园种植蔬菜，平行四边形的邻边长如图所示。同学们量得菜园的高分别是25米和15米。如果每平方米可以种4棵菜，那么这个菜园一共可以种多少棵菜？ 【答案】1800棵 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，易知底为30米，高为15米；或底为18米，高为25米，求出平行四边形菜园的面积，再用菜园面积×每平方米可以种菜的棵数，即可解答。 【详解】30×15×4 ＝450×4 ＝1800（棵） 答：这个菜园一共可以种1800棵菜。 【变式训练】 襄襄爷爷用44米长的篱笆在靠墙的地方围了一块菜地（如图），这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】180平方米 【分析】该菜地一边靠墙，它是一个平行四边形，已知它的周长和一条长边的长度，可以求出短边的长度。当以较短的边作为底时，高是15米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算解答。 【详解】（44－20）÷2 ＝24÷2 ＝12（米） 12×15＝180（平方米） 答：这块菜地的面积是180平方米。 考点三：用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】 一块平行四边形草坪，中间有两条宽为1米的石子路（如图）。已知铺这块草坪共用去2400元，平均每平方米草坪需要多少元？ 【答案】 12元 【分析】用平移的方法，把4块分散的草坪向中间靠拢，能拼成一个新的平行四边形。原来大平行四边形的底是21米，减去竖向石子路的宽度1米，得到新平行四边形的底； 原来大平行四边形的高是11米，减去横向石子路的宽度1米，得到新平行四边形的高。 草坪总面积＝新平行四边形面积＝底×高，已知总花费是2400元，每平方米的价格＝总花费÷草坪面积。 【详解】21－1＝20（米） 11－1＝10（米） 20×10＝200（平方米） 2400÷200＝12（元） 答：平均每平方米草坪需要12元。 【变式训练】 如图，一块平行四边形草坪，底是18米，高是10米。中间有两条宽都为2米的石子路。如果铺1平方米草坪需要16元，那么铺完这块草坪一共需要多少元？ 【答案】 2048元 【分析】把四块分散的草坪拼在一起，拼成一个新的平行四边形。原来底减去石子路宽2米，高减去石子路宽2米，求出草坪实际面积，再乘每平方米的费用，算出总钱数。 【详解】18－2＝16（米） 10－2＝8（米） 草坪面积：16×8＝128（平方米） 总费用：128×16＝2048（元） 答：铺完这块草坪一共需要2048元。 【第四部分】专项提升练习 1．有一个长24厘米，宽20厘米的可以活动的长方形框架，现在把它拉成一个底是24厘米的平行四边形框架后，发现面积少了120平方厘米，那么平行四边形框架的高是( )厘米。 【答案】 【分析】长方形框架拉成平行四边形后，边的长度不变，但形状改变导致高发生变化，从而面积改变。长方形的面积＝长×宽，根据长方形的长和宽计算出原长方形的面积，再根据面积减少的量求出平行四边形的面积，最后根据平行四边形的高＝平行四边形的面积÷底，求出对应的高。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （厘米） 2．一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等，如果平行四边形的高是6分米，那么三角形的高是( )分米；如果三角形的高是4分米，那么平行四边形的高是( )分米。 【答案】 12 2 【分析】一个三角形和一个平行四边形的面积和底分别相等，三角形的高等于平行四边形的高的2倍，那么平行四边形的高等于三角形的高的一半。 【详解】6×2＝12（分米） 4÷2＝2（分米） 所以，如果平行四边形的高是6分米，那么三角形的高是12分米；如果三角形的高是4分米，那么平行四边形的高是2分米。 3．一块平行四边形试验田，相邻的两条边长度分别是20米和30米，量得一条高是24米，这块试验田的面积可能是( )平方米。 【答案】 480 【分析】 如图：平行四边形相邻的两条边都可以作为底，但给定的高必须小于对应的邻边。已知相邻两边长为米和米，高为米。通过比较高度与邻边的大小关系，确定米的高只能对应米的底，排除另一种情况，最后利用面积公式计算。 【详解】若底为米，则邻边为米，高应小于米，而，不符合题意。 若底为米，则邻边为米，高应小于米，而，符合题意。 所以这条高对应的底是米。 （平方米） 答：这块试验田的面积可能是平方米。 4．将一个平行四边形通过分割平移转化成长方形（如图，单位：厘米），原来平行四边形的面积是( )平方厘米，现在长方形的周长是( )厘米。我发现它们的( )变了，( )没变。（选填“周长或面积”） 【答案】 40 28 周长 面积 【分析】沿着平行四边形的高剪开，把剪下的三角形平移到另一侧，拼成了一个长方形。 长方形的长＝平行四边形的底 长方形的宽＝平行四边形的高 长方形面积＝长×宽 平行四边形的面积＝底×高 把平行四边形分割平移拼成长方形，平行四边形的周长包括2个10米和2个5米，拼成长方形后，长方形的周长包括2个10米和2个4米，所以周长减少；但是大小没变，面积不变。 【详解】平行四边形的面积：10×4＝40（平方厘米） 长方形的面积：10×4＝40（平方厘米） 长方形的周长：（10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 平行四边形的周长：（10＋5）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 我发现它们的周长变了，面积没变。 5．春分放风筝主要是代表了人们对美好生活的一种期盼。小梦自己做了一个形似平行四边形的风筝，这个风筝的两条邻边分别是长10分米、6分米，量得一条高是4分米，这个平行四边形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 32 40或24 【分析】根据平行四边形的周长＝相邻两边长度之和×2，再根据平行四边形的面积＝底×高即可求解，没有明确高是哪条边上 的高，所以求面积有两种情况。 【详解】（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（分米） 10×4＝40（平方分米）或4×6＝24（平方分米） 即这个平行四边形的周长是32分米，面积是40或24平方分米。 6．如图，平行四边形的高为( )m。 【答案】3 【分析】已知平行四边形面积和底，根据高＝面积÷底，代入数据即可求出高。 【详解】15÷5＝3（m） 7．计算下面平行四边形的面积。 【答案】15dm2；7.5dm2 【分析】平行四边形的面积＝底×高，据此列式计算。 【详解】5×3＝15（dm2） 3×2.5＝7.5（dm2）或3.75×2＝7.5（） 8．计算下面平行四边形的面积。 【答案】14.4m2；3cm2 【分析】平行四边形面积S＝底×高。据此代入数据解答。 【详解】左：3.6×4＝14.4（m2） 右：1.5×2＝3（cm2）或1.2×2.5＝3（cm2） 9．计算下面平行四边形的面积。           【答案】4×6＝24（dm2）；8×9＝72（cm2） 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，分别找出两个平行四边形的底和对应的高，然后代入公式计算面积。 【详解】（dm2） 所以平行四边形面积为24dm2。 （cm2） 所以平行四边形面积为72cm2。 10．求出下列图形的面积。 【答案】15×18＝270（cm2） 【分析】直接根据平行四边形面积公式：平行四边形面积＝底×高，即可求解。 【详解】（cm2） 11．一块平行四边形草坪，底30米，高14米。每平方米草坪需要养护费2元，养护这块草坪一共需要多少元？ 【答案】 840元 【分析】先通过底乘高算出平行四边形草坪的面积，再用面积乘每平方米的养护费，得到总养护费用。 【详解】 （元） 答：养护这块草坪一共需要840元。 12．一个三角形，它的底是50分米，高是20分米，有一个平行四边形，与它等底等高，这个平行四边形面积是多少平方分米？ 【答案】1000平方分米 【分析】三角形与平行四边形等底等高，所以平行四边形的底是50分米，高是20分米，根据平行四边形面积＝底×高，据此求出平行四边形面积。 【详解】50×20＝1000（平方分米） 答：这个平行四边形面积是1000平方分米。 13．一块近似平行四边形的桃园，被一条长方形的石子路分成了两块（如图）。已知平行四边形的底是38米，高是26米，小路宽1米。如果平均每棵桃树占地5平方米，这个桃园大约有多少棵桃树？ 【答案】 192棵 【分析】石子路是长方形，长方形的面积＝长×宽，宽1米、高与平行四边形的高相同，所以可以用平行四边形总面积（S＝ah）减去石子路的面积得到可种植面积，再用可种植面积除以单棵桃树占地面积，得到桃树的数量，注意采用去尾法。 【详解】38×26－26×1 ＝988－26 ＝962（平方米） 962÷5≈192（棵） 答：这个桃园大约有192棵桃树。 14．物业公司打算给幸福小区的停车位粉刷防滑油漆。如图，每个停车位是一个底长6米，高3米的平行四边形，平均每平方米需要防滑油漆2千克，幸福小区共有65个这样的停车位，物业公司至少需要准备多少千克防滑油漆？ 【答案】 2340千克 【分析】平行四边形的面积＝底×高，据此先求出每个停车位的面积，再乘上每平方米需要的油漆重量求出每个停车位需要的油漆重量，最后乘停车位的总数即可求解。 【详解】6×3＝18（平方米） 18×2×65 ＝36×65 ＝2340（千克） 答：物业公司至少需要准备2340千克防滑油漆。 15．一块平行四边形稻田，中间有一条宽1.5米的小路。如果每平方米收稻谷约0.8千克，这块地共收稻谷多少千克？ 【答案】3140千克 【分析】从图中可知，这块稻田是一个底为80米、高为50米的大平行四边形，小路是一个底为1.5m、高为50米的小平行四边形，那么稻田的种植面积＝大平行四边形的面积－小路的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出这块地的种植面积，再乘每平方米收稻谷的质量，即是这块地共收稻谷的总质量。 【详解】80×50－1.5×50 ＝4000－75 ＝3925（平方米） 0.8×3925＝3140（千克） 答：这块地共收稻谷3140千克。 16．一个平行四边形的钢板，底是2.5米，高是0.6米。如果每平方米钢板重39千克，这块钢板大约重多少千克？ 【答案】58.5千克 【分析】首先通过平行四边形的面积公式，计算出这个平行四边形的面积； 用求出的平行四边形面积乘每平方米钢板重39千克，即可求出这块钢板重量。 【详解】2.5×0.6×39＝1.5×39＝58.5（千克） 答：这块钢板大约重58.5千克。 17．有一个平行四边形果园，底60米，高40米。如果每12平方米种一棵苹果树，那么这个果园一共可以种多少棵苹果树？ 【答案】200棵 【分析】先用平行四边形的面积公式：底×高求出果园面积，再用总面积除以12，即可求解。 【详解】60×40＝2400（平方米） 2400÷12＝200（棵） 答：这个果园一共可以种200棵苹果树。 18．某广告公司制作了一块平行四边形广告牌，它的底是35米，高20米。如果油漆这块广告牌（涂一面）每平方米用油漆200克，共需要油漆多少千克？ 【答案】140千克 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，即可求出平行四边形广告牌的面积；再用广告牌的面积×200即可求出需要油漆多少克，最后将克换算成千克即可。 【详解】35×20×200＝140000（克） 140000克＝140千克 答：共需要油漆140千克。 19．一块面积为1.3公顷的空地上修建了一块底边为90米、高80米的平行四边形草坪，其余部分修人行通道。人行通道的面积是多少公顷？ 【答案】0.58公顷 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形草坪的面积，结果换算成公顷。再用空地面积减去草坪的面积，即为人行通道的面积。 【详解】90×80＝7200（平方米） 7200平方米＝0.72公顷 1.3－0.72＝0.58（公顷） 答：人行通道的面积是0.58公顷。 20．为了缓解停车位紧张的状况，社区管理员规划了一块平行四边形的场地，用于停车（如图所示），高10米所对应的底边长是多少米？ 【答案】18米 【分析】从图中可知，平行四边形的底边12米对应的高是15米，根据平行四边形的面积＝底×高，求出场地的面积； 求高10米所对应的底边长，根据平行四边形的底＝面积÷高，代入数据计算求解。 【详解】12×15＝180（平方米） 180÷10＝18（米） 答：高10米所对应的底边长是18米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $