专题04 整式的加减（期中复习讲义·培优版）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 整式的加减（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 单项式、多项式的系数、项、次数 题型02 书写符合条件的单项式或多项式 题型03 利用多项式系数、指数中字母求值 题型04 已知同类项求字母或代数式的值 题型05 合并同类项 题型06 整式简单的加减运算（含无关型问题） 题型07 整式的加减运算（错看或遮挡问题） 题型08 整式加减的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式的概念辨析（单项式、多项式、整式） 能准确识别单项式并求出系数和次数，确定多项式的项、常数项与次数，判断几次几项式，并判别代数式是否属于整式。 基础高频小题，以选择、填空为主；易错点：忽略π是数字、漏掉负号，把多项式所有项次数相加当作多项式次数，误把分母含字母的式子判为整式。 同类项的识别及由概念求参数 能依据"两相同两无关"辨别同类项，并会利用同类项概念求解字母参数的值。 高频考点，选择、填空均会出现；命题趋势常结合参数求值；易错点：只看字母忽略相同字母指数，忽略常数项都是同类项。 合并同类项运算 能熟练对多项式中的同类项进行正确合并同类项计算。 计算核心考点，小题、化简大题都会涉及；易错点：非同类项强行合并，合并时字母与指数发生改变。 多项式按指定字母升幂、降幂排列 能把多项式按照指定字母完成升幂或降幂排列。 中档填空小题；易错点：移动项时不带符号移动，混淆升幂、降幂顺序。 去括号、添括号运算 能正确完成去括号、添括号的符号变换运算。 计算类必考，是整式化简的基础；易错点：括号前为负号时只改变第一项符号，其余项忘记变号；括号外有系数容易漏乘。 整式加减化简与化简求值 能完整完成整式加减的化简运算，规范书写步骤，并代入数值求出代数式的最终结果。 期中解答题必考，常考整式化简与化简求值；命题趋势：直接代入、整体代入两种题型都可能出现；易错点：去括号符号出错、合并计算失误，不化简直接代入，负数代入忘记加括号。 知识点01整式的相关概念 1.单项式 （1）定义：由数字或字母的积组成的代数式叫单项式；单独一个数、单独一个字母也是单项式。 （2）系数：单项式中的数字因数。 （3）次数：单项式中所有字母的指数之和。 注意：π属于数字，不是字母。 2.多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式；组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项。 （2）常数项：多项式里不含字母的项。 （3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是整个多项式的次数。 （4）命名：一个多项式次数为n、共有m个项，就叫n次m项式。 3.整式 单项式和多项式统称整式。 提示：分母中含有字母的式子不是整式。 知识点02整式的加减 1.同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。 判断口诀：两相同，两无关 两相同：①所含字母完全相同；②相同字母的指数相同。 两无关：①和系数大小无关；②和字母的排列顺序无关。 2.合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合并成一项。 （2）法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变。 3.多项式的升幂、降幂排列 （1）降幂排列：按某一个字母的指数从大到小排列。 （2）升幂排列：按某一个字母的指数从小到大排列。 （3）易错点：移动项的时候，必须连同该项前面的符号一起移动；多个字母时，只按照题目指定的字母排序。 4.去括号法则 （1）括号前是"+"：去掉括号和前面的"+"，括号内各项符号不变。 （2）括号前是"−"：去掉括号和前面的"−"，括号内每一项都要变号。 小技巧：括号前面有数字因数，要把这个数乘进括号里每一项，不要漏乘。 5.添括号法则 （1）添括号，括号前是"+"，括号内各项符号不变。 （2）添括号，括号前是"−"，括号内全部项都改变符号。 6.整式加减运算法则 几个整式做加减运算步骤： ①用括号把各个整式括好，用加减号连接；②去括号；③合并同类项；④结果一般按照某字母降幂排列。 题型01 单项式、多项式的系数、项、次数 解｜题｜技｜巧 确定单项式系数时注意带上前面符号，π是数字不是字母；次数只算所有字母指数和，不含数字指数。 找多项式的项要连带符号，常数项不含字母；多项式次数取最高次项次数，不是各项次数相加，区分"几次几项式"表述。 【例1】关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式 【答案】A 【详解】解：是单项式，属于整式，它的系数为，次数为，故A正确，B、C、D错误． 【例2】单项式的次数是________． 【答案】 【详解】∵ 单项式中，是常数，只有和是字母，的指数为，的指数为， ∴ 单项式的次数为． 【变式1-1】多项式的次数与常数项分别是_______、______． 【答案】 3 【详解】解：该多项式的最高次项的次数是3，即该多项式的次数为3，常数项是． 【变式1-2】代数式的三次项是__________． 【答案】 【详解】解： 的次数为，的次数为，的次数为，是常数项，次数为， 因此该代数式的三次项是． 【变式1-3】有下列式子：，，2027，，m，，，． (1)哪些是单项式？哪些是多项式？ (2)哪个多项式的次数最高？并写出该多项式的项． 【答案】(1)单项式：；多项式：，， (2)多项式的次数最高，该多项式的项为和 【分析】 【详解】（1）解：根据单项式定义：单独数字、字母，数与字母乘积，分母不含字母的式子为单项式． 单项式：，2027，，，． 几个单项式的和是多项式， 多项式：，，． （2）解：，最高次是次； ，最高项次数：次； ，最高项次数：次． 所以次数最高的多项式是． 该多项式的项为和． 题型02 书写符合条件的单项式或多项式 解｜题｜技｜巧 先抓住题目限定条件：次数、项数、系数、所含字母，优先确定字母指数。 写单项式：系数、字母、指数分开构思；写多项式：拆分每一项，最高次项满足次数要求，不要漏写常数项，写完后回代条件检验是否符合题意。 【例3】①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】写一个多项式，使它是四次三项式，这个多项式可以是 _____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：多项式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了多项式，解题的关键是能正确理解多项式的项数，次数的定义（多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数）． 【变式2-1】写出一个同时满足以下三个条件的二次三项式：①该多项式只含有字母；②二次项系数是1；③一次项系数是．这个二次三项式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由条件，该多项式只含有字母，二次项系数为1，一次项系数为， 因此多项式形式为，为常数项且， 取，得，满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 【变式2-3】李老师在黑板上写了一个多项式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个多项式是一个四次三项式； 小红：这个多项式的最高次项的系数是4； 小华：这个多项式的常数项是5． 如果上面的描述都是正确的，那么李老师写出的多项式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 小明描述：多项式是四次三项式； 小红描述：最高次项系数为4； 小华描述：常数项为5． 对于选项A： 项数为三项，符合； 最高次项为 ，次数为4，系数为4，符合； 常数项为5，符合． 对于选项B： 最高次数为5，不是四次，不符合． 对于选项C： 最高次项为 ，系数为，不是4，不符合． 对于选项D： 最高次项系数为，不是4，且常数项为，不是5，不符合． ∴ 李老师写出的多项式有可能是A， 故选：A． 题型03 利用多项式系数、指数中字母求值 解｜题｜技｜巧 根据单项式、次数、项数的定义列等式，最高次项次数等于题目给定次数。 若题目说明是几次几项式，要注意部分项不能消失，对应项系数不能为0；解方程求出字母后，带回原题检验，排除不符合题意的解。 【例5】已知是关于的二次三项式，则_____． 【答案】3 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【例6】如果多项式是关于y的三次多项式，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， ∴的最高次数为3，且最高次项合并后系数不为0； 选项A：，三次项合并后系数为，不符合； 选项B：，第一项为四次项，关于y的多项式次数为4，不符合； 选项C：，第一项系数为，最高次项为，符合要求； 选项D：，多项式最高次数为1，不符合． 【变式3-1】若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 【变式3-2】已知，均为有理数，且多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)填空：________，________； (2)求这个多项式各项的系数和． 【答案】(1)3； 1 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴； （2）解：． ∴这个多项式各项的系数和为． 【变式3-3】关于的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【详解】解：关于的多项式不含二次项， 且， ∴， ∴． 题型04 已知同类项求字母或代数式的值 解｜题｜技｜巧 牢记同类项"两相同"：所含字母相同，相同字母的指数相等，据此列方程求字母。 求出字母数值后，再代入待求代数式计算结果；注意常数项都是同类项，审题看清求的是字母值还是整体代数式的值，不要直接写字母答案。 【例7】若与为同类项，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】解：与是同类项， ∴， ． 【例8】若与的和是单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项． 根据同类项定义，相同字母的指数相同，可得，． 将，代入，得． 【变式4-1】若单项式与可合并，则的值是____________． 【答案】3 【详解】解：∵单项式与可合并， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-2】若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 【变式4-3】已知单项式与的和是单项式，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵单项式与的和是单项式 ， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等 ， ∴可得 ， 解方程得 ， 代入计算得． 题型05 合并同类项 解｜题｜技｜巧 先标记多项式里的同类项，非同类项不能合并；合并只对系数做加减运算，字母和字母指数保持原样不变。 注意项前面的正负符号，符号跟随系数；合并完成后检查，没有同类项的项要原样保留，不要随意删改或改变字母部分。 【例9】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项：，计算正确． B选项：，计算错误． C选项：与不是同类项，不能合并，计算错误． D选项：，计算错误． 【例10】合并同类项： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】下列化简过程，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 与不是同类项，不能合并，错误． B. ，错误． C. ，错误． D. ，正确． 【变式5-2】如果，那么的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ，， 解得 ，． 【变式5-3】合并同类项： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 0 0 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）。 题型06 整式简单的加减运算（含无关型问题） 解｜题｜技｜巧 先去括号、合并同类项，把式子整理成关于字母的降幂形式。 "与某字母取值无关"核心技巧：该字母对应项的系数等于0，据此列方程求参数。求出参数后代回式子验算，确认对应项确实消失，保证结果符合题目的无关条件。 【例11】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【例12】已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，是关于，的多项式， ∴， ∵，， ∴． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，，解得，， ∴． 【变式6-1】多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【答案】B 【详解】解： ． ∵ 化简结果含字母,，不含字母， ∴ 多项式的值与,的大小有关，与的大小无关． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式6-3】已知多项式．若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】 【详解】解： ． 因为的结果与x的取值无关， 所以， 所以， 所以． 题型07 整式的加减运算（错看或遮挡问题） 解｜题｜技｜巧 看错符号、抄错式子题型，把错算过程当作正确运算，先求出原本未知的整式。 得到原式之后，再按照题目正确条件重新计算出正确结果。切记不要直接修改错误算式，分清"看错的算式"和"真实算式"，两步计算分开，避免逻辑混乱。 【例13】淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】解：， 而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错， 则看错的情况可能共有：①看成，看成； ②看成，看成； ③看成，看成． 所以，看错的情况可能共有3种． 故选：C． 【例14】某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． (1)小组成员甲根据二次项的系数关系，猜测C卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的差，请求出C卡片上部分被遮挡的代数式 (2)小组成员乙提出D卡片上的代数式是关于x的二次三项式，请求出这个二次三项式，并求当时，D卡片上的代数式的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）解： 卡片上部分被遮挡的代数式为． （2）解：由题意得，D卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的和， ， 卡片上的代数式为， 当时，． 【变式7-1】有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 【答案】 【详解】解：原整式为： ， 则原题正解为： ． 【变式7-2】老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：被遮挡部分的整式为 ； （2）解：当，时， 原式 ． 【变式7-3】老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 题型08 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 读懂实际问题，用字母表示题目中的各个数量关系，根据题意列出整式。 运用去括号、合并同类项法则化简式子；结果如果是实际应用，式子保持最简形式。最后检验列式是否符合实际情境，注意括号和符号，防止列式阶段就出现符号错误。 【例15】如图，大长方形被分割成4个标号分别为①②③④的小正方形和5个小长方形，其中标号为⑤的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为______． 【答案】 【详解】解：设⑤号小长方形的长和宽分别为，则①②小正方形的边长为，③④小正方形的边长为，， ∴大长方形的边长为， ∴大长方形的周长为. 【例16】如图，两个正方形的面积分别为，两阴影部分的面积分别为（），则的值等于______． 【答案】 【详解】解：设空白部分的面积为， ∵两个正方形的面积分别为，两阴影部分的面积分别为（）， ∴，， ∴，， ∴． 【变式8-1】如图，小明和小宇一起玩三巧板，小明说：“看，我把三巧板排成了一个正方形”，小宇说：“我把你的正方形变成了一面小旗子”，根据他们的拼图，请写出小宇所拼小旗子“旗杆”长方形的周长为______．（用含有m的式子表示） 【答案】/ 【详解】解：观察可知，， ∴长方形的周长为． 【变式8-2】如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设中间一个数为，则上面的数为，下面的数为， ∴这三个数的和为． 【变式8-3】某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）； (2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） ②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由． 【答案】(1) (2)① 方案一花费元，方案二花费元； ② 最省钱的购买方案为：用方案二购买100个乒乓球（获赠1副乒乓球拍），用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），总花费610元． 【分析】 【详解】（1）解：该乒乓球队共需花费：（元）． （2）①解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个）， 所需费用：（元）． 方案二： 每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副）， 所需费用： （元）． ②解：当，时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）． 设计最省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球）， 总费用为：（元）， ， 选择方案三一更省钱，需花费610元． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项A错误； B、与不是同类项，不能合并，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确． 2．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．是多项式 C．是5次单项式 D．的常数项是3 【答案】B 【详解】解：A．的系数是，故该选项不正确，不符合题意； B．是多项式，故该选项正确，符合题意； C．是3次单项式，故该选项不正确，不符合题意； D．的常数项是，故该选项不正确，不符合题意． 3．下列各式，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 4．若式子与式子是同类项，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与是同类项， ，， 解得，， ． 5．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【详解】解：， ∴ ． 6．写出一个同时满足下列条件的四次三项式：_______． ①只含有字母a和b； ②每一项的次数都是4； ③按字母a的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题意可知，这个多项式可以为． 7．把多项式按升幂排列：______． 【答案】 【详解】解：先列出原多项式的所有项：，，，， 确定各项中的次数：中的次数为，中的次数为，中的次数为，中的次数为， 按的指数从小到大排列各项，得到结果为． 8．填空： （1）三个连续整数，如果中间一个整数是n，那么第一个整数和第三个整数分别是_______、______； （2）三个连续偶数，如果中间一个偶数是，那么它前一个偶数和后一个偶数分别是______、______． 【答案】 【详解】解：∵ 相邻两个整数相差，中间的整数为 ∴ 第一个整数比小，为，第三个整数比大，为 ∵ 相邻两个偶数相差，中间的偶数为 ∴ 前一个偶数比小，为，后一个偶数比大，为． 9．已知小明的年龄是 a 岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少3岁，小亮的年龄比小明的年龄的多4岁，这三名同学年龄的和是多少岁？ 【答案】三名同学年龄的和是岁 【详解】解：根据题意可知，小红的年龄为岁，小亮的年龄为岁， 三名同学年龄的和是岁． 10．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 11．先化简，再求值．，其中． 【答案】； 【详解】解： ； ∵，， ∴原式． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 12．如图，数轴上，两点之间的距离为1个单位长度，，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为_______． 【答案】 3 【详解】解：∵A，B两点之间的距离为1个单位长度，B，C两点之间的距离为3个单位长度， ∴， ∵点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止， ∴点在线段上， ∴， ∴点到三点的距离之和为， 当点运动到点时，最大，最大值为， ∴， ∵当点运动到点时，最小，最小值为 0， ∴， ∴． 13．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：①对进行所有“加系数操作”，共得到3个新多项式， 每个新多项式为原多项式加其中一项，因此总和为，故①正确； ②取二次三项式，加二次项得； 取二次三项式，加常数项得， 故两个二次三项式不同，操作后结果相同，故②正确. ③取二次三项式， ∵，， ∴， ∴该多项式的值不可能为零. 对其进行加一次项的操作，得多项式， ∵，， ∴， ∴该多项式的值可以为零，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 14．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 【答案】 / 1351 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… 因为输出结果的系数依次为1，2，3，5，8，13，…，输出结果的次数依次为1，2，3，5，8，…， 所以从第2个输出的结果开始，系数与次数按偶数，奇数，奇数循环， 则， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1351个． 15．在一条笔直的公路上顺次有A，B，C三个村庄，A，B两村相距5千米，B，C两村相距7千米．某纯净水公司将在这条公路某处设置一个供水点位，向三个村庄投送桶装纯净水．经过市场调查，由于通往各村的路况不同，向A，B，C三个村庄投送一桶水每千米产生的综合成本分别为元，1元，元，A村有600户，B村有600户，C村有500户．该公司计划在选定一处适合的位置后，向A，B，C三个村庄的每户投送一桶纯净水，要使得总成本最低，那么该公司这次投送总成本的最小值是________元． 【答案】 【详解】解：当选的位置P在A、B两个村庄在之间时，如图所示： 设该公司选定的位置距离B村x千米，则，到A的距离为千米，到C村的距离为千米，投送总成本为： ， ∵， ∴当时，最小，且最小值为元， 即当点P位于B村时，投送总成本最小，且最小值为元； 当选的位置P在B、C两个村庄在之间时，如图所示： 设该公司选定的位置距离B村y千米，则，到A的距离为千米，到C村的距离为千米，投送总成本为： ， ∵， ∴当时，最小，且最小值为元， 即当点P位于B村时，投送总成本最小，且最小值为元； 综上，该公司这次投送总成本的最小值是元． 16．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 17．已知一个三位数，且，若能被3整除，且能被整除，则的最大值与最小值的差是__________． 【答案】 【详解】解：能被3整除，， 的值是整数， 能被7整除， 的值是整数， ∴能被3整除，能被7整除， ∴当，时，，此时三位数为， 当，时，，此时三位数为， 当，时，，此时三位数为， 最大值与最小值的差为． 18．定义：若，则称与是关于数的平均数．比如与是关于的平均数，与是关于的平均数． (1)填空：与 是关于的平均数， 与是关于的平均数． (2)若与是关于的平均数，与是关于的平均数，与是关于的平均数，求 (3)现有与（为常数），且与始终是关于数的平均数，与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平均数， ∵， ∴与是关于2的平均数； （2）解：由题意得：，，， ∴ ； （3）解：， ∵与始终是关于数的平均数，与的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b的相反数是，且a、c满足． (1)_______；_____； (2)若数轴上有一点D为线段的三等分点（点D在线段内），求点D表示的数是多少？ (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，是否存在常数k，使为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，8； (2)D表示的数为或 (3)存在，，理由如下： ∵b的相反数为， ∴，即B点表示数为1， 设运动时间为t秒， ∵点A表示的数是，向左的速度为每秒1个单位长度，点B表示的数是1，向右的速度为每秒2个单位长度，点C表示的数是8，向右的速度为每秒4个单位长度， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴． 【分析】 【详解】（1）解：，，， ，， ，， （2）解：由（1）可知，点A表示的数是，点C表示的数是8， , D为线段的三等分点， 当点是靠近点的三等分点时，；当点是靠近点的三等分点时，， ∴点D表示的数为或． （3）略 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 单项式、多项式的系数、项、次数 题型02 书写符合条件的单项式或多项式 题型03 利用多项式系数、指数中字母求值 题型04 已知同类项求字母或代数式的值 题型05 合并同类项 题型06 整式简单的加减运算（含无关型问题） 题型07 整式的加减运算（错看或遮挡问题） 题型08 整式加减的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式的概念辨析（单项式、多项式、整式） 能准确识别单项式并求出系数和次数，确定多项式的项、常数项与次数，判断几次几项式，并判别代数式是否属于整式。 基础高频小题，以选择、填空为主；易错点：忽略π是数字、漏掉负号，把多项式所有项次数相加当作多项式次数，误把分母含字母的式子判为整式。 同类项的识别及由概念求参数 能依据"两相同两无关"辨别同类项，并会利用同类项概念求解字母参数的值。 高频考点，选择、填空均会出现；命题趋势常结合参数求值；易错点：只看字母忽略相同字母指数，忽略常数项都是同类项。 合并同类项运算 能熟练对多项式中的同类项进行正确合并同类项计算。 计算核心考点，小题、化简大题都会涉及；易错点：非同类项强行合并，合并时字母与指数发生改变。 多项式按指定字母升幂、降幂排列 能把多项式按照指定字母完成升幂或降幂排列。 中档填空小题；易错点：移动项时不带符号移动，混淆升幂、降幂顺序。 去括号、添括号运算 能正确完成去括号、添括号的符号变换运算。 计算类必考，是整式化简的基础；易错点：括号前为负号时只改变第一项符号，其余项忘记变号；括号外有系数容易漏乘。 整式加减化简与化简求值 能完整完成整式加减的化简运算，规范书写步骤，并代入数值求出代数式的最终结果。 期中解答题必考，常考整式化简与化简求值；命题趋势：直接代入、整体代入两种题型都可能出现；易错点：去括号符号出错、合并计算失误，不化简直接代入，负数代入忘记加括号。 知识点01整式的相关概念 1.单项式 （1）定义：由数字或字母的积组成的代数式叫单项式；单独一个数、单独一个字母也是单项式。 （2）系数：单项式中的数字因数。 （3）次数：单项式中所有字母的指数之和。 注意：π属于数字，不是字母。 2.多项式 （1）定义：几个单项式的和叫做多项式；组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项。 （2）常数项：多项式里不含字母的项。 （3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，就是整个多项式的次数。 （4）命名：一个多项式次数为n、共有m个项，就叫n次m项式。 3.整式 单项式和多项式统称整式。 提示：分母中含有字母的式子不是整式。 知识点02整式的加减 1.同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；所有常数项都是同类项。 判断口诀：两相同，两无关 两相同：①所含字母完全相同；②相同字母的指数相同。 两无关：①和系数大小无关；②和字母的排列顺序无关。 2.合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合并成一项。 （2）法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变。 3.多项式的升幂、降幂排列 （1）降幂排列：按某一个字母的指数从大到小排列。 （2）升幂排列：按某一个字母的指数从小到大排列。 （3）易错点：移动项的时候，必须连同该项前面的符号一起移动；多个字母时，只按照题目指定的字母排序。 4.去括号法则 （1）括号前是"+"：去掉括号和前面的"+"，括号内各项符号不变。 （2）括号前是"−"：去掉括号和前面的"−"，括号内每一项都要变号。 小技巧：括号前面有数字因数，要把这个数乘进括号里每一项，不要漏乘。 5.添括号法则 （1）添括号，括号前是"+"，括号内各项符号不变。 （2）添括号，括号前是"−"，括号内全部项都改变符号。 6.整式加减运算法则 几个整式做加减运算步骤： ①用括号把各个整式括好，用加减号连接；②去括号；③合并同类项；④结果一般按照某字母降幂排列。 题型01 单项式、多项式的系数、项、次数 解｜题｜技｜巧 确定单项式系数时注意带上前面符号，π是数字不是字母；次数只算所有字母指数和，不含数字指数。 找多项式的项要连带符号，常数项不含字母；多项式次数取最高次项次数，不是各项次数相加，区分"几次几项式"表述。 【例1】关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式 【例2】单项式的次数是________． 【变式1-1】多项式的次数与常数项分别是_______、______． 【变式1-2】代数式的三次项是__________． 【变式1-3】有下列式子：，，2027，，m，，，． (1)哪些是单项式？哪些是多项式？ (2)哪个多项式的次数最高？并写出该多项式的项． 题型02 书写符合条件的单项式或多项式 解｜题｜技｜巧 先抓住题目限定条件：次数、项数、系数、所含字母，优先确定字母指数。 写单项式：系数、字母、指数分开构思；写多项式：拆分每一项，最高次项满足次数要求，不要漏写常数项，写完后回代条件检验是否符合题意。 【例3】①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【例4】写一个多项式，使它是四次三项式，这个多项式可以是 _____． 【变式2-1】写出一个同时满足以下三个条件的二次三项式：①该多项式只含有字母；②二次项系数是1；③一次项系数是．这个二次三项式可以是________． 【变式2-2】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【变式2-3】李老师在黑板上写了一个多项式，三位同学分别作了以下描述： 小明：这个多项式是一个四次三项式； 小红：这个多项式的最高次项的系数是4； 小华：这个多项式的常数项是5． 如果上面的描述都是正确的，那么李老师写出的多项式有可能是（   ） A． B． C． D． 题型03 利用多项式系数、指数中字母求值 解｜题｜技｜巧 根据单项式、次数、项数的定义列等式，最高次项次数等于题目给定次数。 若题目说明是几次几项式，要注意部分项不能消失，对应项系数不能为0；解方程求出字母后，带回原题检验，排除不符合题意的解。 【例5】已知是关于的二次三项式，则_____． 【例6】如果多项式是关于y的三次多项式，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】若多项式是关于的二次二项式，则________． 【变式3-2】已知，均为有理数，且多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)填空：________，________； (2)求这个多项式各项的系数和． 【变式3-3】关于的多项式不含二次项，求的值． 题型04 已知同类项求字母或代数式的值 解｜题｜技｜巧 牢记同类项"两相同"：所含字母相同，相同字母的指数相等，据此列方程求字母。 求出字母数值后，再代入待求代数式计算结果；注意常数项都是同类项，审题看清求的是字母值还是整体代数式的值，不要直接写字母答案。 【例7】若与为同类项，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【例8】若与的和是单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】若单项式与可合并，则的值是____________． 【变式4-2】若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-3】已知单项式与的和是单项式，则的值是________． 题型05 合并同类项 解｜题｜技｜巧 先标记多项式里的同类项，非同类项不能合并；合并只对系数做加减运算，字母和字母指数保持原样不变。 注意项前面的正负符号，符号跟随系数；合并完成后检查，没有同类项的项要原样保留，不要随意删改或改变字母部分。 【例9】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例10】合并同类项： (1) ； (2) ． 【变式5-1】下列化简过程，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如果，那么的值分别为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】合并同类项： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 题型06 整式简单的加减运算（含无关型问题） 解｜题｜技｜巧 先去括号、合并同类项，把式子整理成关于字母的降幂形式。 "与某字母取值无关"核心技巧：该字母对应项的系数等于0，据此列方程求参数。求出参数后代回式子验算，确认对应项确实消失，保证结果符合题目的无关条件。 【例11】先化简，再求值： ，其中，． 【例12】已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【变式6-1】多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【变式6-2】先化简，再求值：，其中． 【变式6-3】已知多项式．若的结果与x的取值无关，求的值． 题型07 整式的加减运算（错看或遮挡问题） 解｜题｜技｜巧 看错符号、抄错式子题型，把错算过程当作正确运算，先求出原本未知的整式。 得到原式之后，再按照题目正确条件重新计算出正确结果。切记不要直接修改错误算式，分清"看错的算式"和"真实算式"，两步计算分开，避免逻辑混乱。 【例13】淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例14】某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． (1)小组成员甲根据二次项的系数关系，猜测C卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的差，请求出C卡片上部分被遮挡的代数式 (2)小组成员乙提出D卡片上的代数式是关于x的二次三项式，请求出这个二次三项式，并求当时，D卡片上的代数式的值． 【变式7-1】有一个整式减去的题目，小春同学误看成加法了，得到的答案是．假如小春同学没看错，原来题目正确解答是什么？ 【变式7-2】老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． 原式= (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【变式7-3】老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 题型08 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 读懂实际问题，用字母表示题目中的各个数量关系，根据题意列出整式。 运用去括号、合并同类项法则化简式子；结果如果是实际应用，式子保持最简形式。最后检验列式是否符合实际情境，注意括号和符号，防止列式阶段就出现符号错误。 【例15】如图，大长方形被分割成4个标号分别为①②③④的小正方形和5个小长方形，其中标号为⑤的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为______． 【例16】如图，两个正方形的面积分别为，两阴影部分的面积分别为（），则的值等于______． 【变式8-1】如图，小明和小宇一起玩三巧板，小明说：“看，我把三巧板排成了一个正方形”，小宇说：“我把你的正方形变成了一面小旗子”，根据他们的拼图，请写出小宇所拼小旗子“旗杆”长方形的周长为______．（用含有m的式子表示） 【变式8-2】如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为_______（用含的代数式表示）． 【变式8-3】某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）； (2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） ②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．是多项式 C．是5次单项式 D．的常数项是3 3．下列各式，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若式子与式子是同类项，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 6．写出一个同时满足下列条件的四次三项式：_______． ①只含有字母a和b； ②每一项的次数都是4； ③按字母a的降幂排列． 7．把多项式按升幂排列：______． 8．填空： （1）三个连续整数，如果中间一个整数是n，那么第一个整数和第三个整数分别是_______、______； （2）三个连续偶数，如果中间一个偶数是，那么它前一个偶数和后一个偶数分别是______、______． 9．已知小明的年龄是 a 岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少3岁，小亮的年龄比小明的年龄的多4岁，这三名同学年龄的和是多少岁？ 10．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．先化简，再求值．，其中． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 12．如图，数轴上，两点之间的距离为1个单位长度，，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为_______． 13．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 14．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为___________，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有___________个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出                … 15．在一条笔直的公路上顺次有A，B，C三个村庄，A，B两村相距5千米，B，C两村相距7千米．某纯净水公司将在这条公路某处设置一个供水点位，向三个村庄投送桶装纯净水．经过市场调查，由于通往各村的路况不同，向A，B，C三个村庄投送一桶水每千米产生的综合成本分别为元，1元，元，A村有600户，B村有600户，C村有500户．该公司计划在选定一处适合的位置后，向A，B，C三个村庄的每户投送一桶纯净水，要使得总成本最低，那么该公司这次投送总成本的最小值是________元． 16．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 17．已知一个三位数，且，若能被3整除，且能被整除，则的最大值与最小值的差是__________． 18．定义：若，则称与是关于数的平均数．比如与是关于的平均数，与是关于的平均数． (1)填空：与 是关于的平均数， 与是关于的平均数． (2)若与是关于的平均数，与是关于的平均数，与是关于的平均数，求 (3)现有与（为常数），且与始终是关于数的平均数，与的取值无关，求的值． 19．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b的相反数是，且a、c满足． (1)_______；_____； (2)若数轴上有一点D为线段的三等分点（点D在线段内），求点D表示的数是多少？ (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，是否存在常数k，使为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $