专题01 有理数（期中复习讲义·培优版）七年级数学上学期新教材人教版

专题01 有理数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正数和负数 题型02 有理数的相关概念及分类 题型03 利用数轴求两点距离 题型04 数轴的动点问题 题型05 有理数的大小比较 题型06 相反数问题 题型07 利用绝对值求数 题型08 绝对值的几何意义 题型09 有理数中的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的分类及正负数实际意义 能准确判别有理数类别，会用正负数表示实际情境中相反意义的量。 基础必考点，以选择填空小题为主，容易忽略0、循环小数的归类。 0的特殊性质与非正、非负数识别 能辨析0的多重性质，准确识别非负数、非正数，不遗漏数字0。 隐含陷阱考点，极少单独出题，常在选项、分类题型中设置干扰。 数轴概念与基础应用 能掌握数轴三要素，会读、描数轴上点，分清有理数与数轴点的对应关系。 高频小题，常出现“有理数和数轴上点一一对应”的错误判断选项。 相反数及多重符号化简 会求任意有理数的相反数，依据负号个数完成多重符号化简运算。 必考基础小题，易错误认为一定是负数。 绝对值的代数与几何意义 会求有理数绝对值，能运用绝对值非负性做简单判断。 核心重点考点，小题高频；去绝对值容易忽略式子内部正负。 有理数的大小比较 能运用法则、数轴正确比较有理数大小，熟练完成两个负数大小比较。 常规小题；易错为直接用绝对值判断负数本身的大小。 数轴、相反数、绝对值综合题型 能结合数轴上点的位置，判断正负并化简简单绝对值、相反数式子。 中档拉分小题，期中高频综合题，融合多个知识点，陷阱较多。 知识点01有理数的分类 1.正数与负数 （1）大于0的数叫做正数；在正数前面加“”号的数叫做负数。 （2）0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 （3）非负数：；非正数：。 （4）实际意义：用正、负数表示具有相反意义的量。 2.有理数的判定 （1）有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，因此属于有理数； （3）无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数，典型例子：。 3.有理数两种分类方式 4.数字0的四大作用 作用 说明与举例 表示数的性质 0是自然数、整数、有理数 表示没有 3个苹果记作+3，没有苹果记作0 表示某种客观状态 0℃代表冰水混合物的冰点，不代表没有温度 正负数的界点 0非正非负，是中性数 知识点02数轴 1.数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2.核心知识点 （1）有理数与数轴：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数（可表示无理数）。 （2）位置规律：原点对应0，原点右侧为正数，左侧为负数。 （3）大小规律：数轴上右边的点对应的数，总大于左边的点对应的数。 知识点03相反数 1.相反数定义 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 2.几何意义 互为相反数的两个数，在数轴上的对应点特征：分布在原点两侧（0除外）、到原点距离相等、关于原点对称。 3.求解方法与符号化简 （1）求任意数的相反数：在数的前面添加负号“-”，如的相反数是。 （2）多重符号化简：数式子中负号个数，偶正奇负（偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负）。 知识点04绝对值 1.定义与表示 数的绝对值记作，分为代数意义和几何意义。 2.代数意义： 3.几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示该数的点到原点的距离，距离恒非负。 4.重要性质 （1）绝对值非负性：，绝对值结果永远不为负数。 （2）若，则（非负数）；若，则（非正数）。 （3）若，则或。 知识点05有理数的大小比较 1.常用基础方法 （1）数轴比较法：数轴上右侧的数大于左侧的数，适用于所有有理数。 （2）法则比较法：正数＞0＞负数，正数大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小。 2.拓展提升方法 （1）作差比较法：； （2）作商比较法（正数适用）： （3）倒数比较法（正数适用）：倒数越大，原数越小。 题型01 正数和负数 解｜题｜技｜巧 做题先抓住基准，实际应用题中，把基准记作0，上升、收入等记正，下降、支出等记负。一定要牢牢记住0不属于正、负数，看到“非正数、非负数”类说法，第一时间考虑0，很多题目陷阱就设置在这里，读题时圈画关键词，防止审题疏漏。 【例1】下列各数中为负数的是（     ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：是负数，是正数，既不是正数，也不是负数. 【例2】不具有相反意义的量是（     ） A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱 B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元 C．5000个产品中有20个不合格产品 D．新疆白天气温零上，晚上的气温零下 【答案】C 【详解】解：A、运进和卖出具有相反意义，不符合题意； B、收入和生活所用具有相反意义，不符合题意； C、总数5000个、不合格20个，只是同一批产品里总数和次品数量，不具有相反意义，符合题意； D、零上和零下具有相反意义，不符合题意． 【变式1-1】在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作（     ）元 A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作元． 【变式1-2】下列表示“相反意义的量”的一组是（     ） A．向东走和向南走 B．盈利100元和支出100元 C．水位上升和水位下降 D．长大2岁和减少 【答案】C 【详解】解：A、向东和向西相反，原选项不是相反意义的量，不符合题意； B、盈利和亏损相反，原选项不是相反意义的量，不符合题意； C、水位上升和水位下降是相反意义的量，符合题意； D、增加和减少相反，且岁和千克不对应，原选项不是相反意义的量，不符合题意. 【变式1-3】小明将体重增加记作，那么体重减少应记作____________． 【答案】 【详解】解：将体重增加记作，那么体重减少应记作：． 题型02 有理数的相关概念及分类 解｜题｜技｜巧 做分类题优先选定一套分类标准，要么按整数、分数划分，要么按正负划分，一套标准用到底，不要混用。有限小数、无限循环小数属于分数；这类无限不循环小数不是有理数，判断时直接排除，分类做到不重复、不遗漏。 【例3】下列各数：，，0，，，（两个1之间依次多一个0），其中有理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：有理数为，，0，，共4个． 【例4】在5，，，，中，负有理数有_____个． 【答案】 【详解】解：，是负有理数， 故有2个． 【变式2-1】已知下列数字：，，2026，，，0，，其中的负分数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，和都是负分数，共有3个； 是正分数； 2026，和0都是整数． 【变式2-2】在中，非负整数有__________个． 【答案】3 【详解】解：非负整数为，有3个． 【变式2-3】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，，，，， 整数集合：{______________________…}； 负数集合：{______________________…}； 正分数集合：{______________________…}． 【答案】，，；，，，；，， 【详解】解：整数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}． 题型03 利用数轴求两点距离 解｜题｜技｜巧 数轴两点距离通用公式：两点对应数之差取绝对值，不用纠结谁大谁小。已知点求距离直接代入计算；如果其中点为字母，保留绝对值形式，不要主观默认位置，避免漏解。计算结束可在草稿简单画图验证结果。 【例5】对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【详解】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． 【例6】如图，点、在数轴上，点表示，点表示2． (1)点表示的数是_____，点表示的数是_____； (2)在数轴上表示出点和点； (3)写出数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：由数轴可知点表示的数是，点表示的数是； （2）解：点D表示2，对应数轴上标有“2”的刻度位置；点C表示3.5，位于刻度3和4的正中间，在对应位置标注两个点并写上对应字母． （3）解：由数轴知，在点的左侧且与点的距离为4个单位长度的点所对应的数为，在点的右侧且与点的距离为4个单位长度的点所对应的数为， 故数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数为或． 【变式3-1】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是________． 【答案】 / 【详解】解： ∵圆的直径为1个单位长度 ∴圆的周长为 ∵将该圆沿数轴正方向滚动1周 ∴点向右移动的距离为 ∵点与数轴上表示的点重合 ∴点表示的数为． 【变式3-2】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是________； (2)若数轴上一点与点的距离为3个单位长度，求点表示的数． 【答案】(1)；4 (2)点所表示的数为1或7 【分析】 【详解】（1）解：在数轴上标出原点略： 根据数轴可知点所表示的数是4． （2）解：∵点与点的距离为3个单位长度， 则当点在点的左侧时，点表示的数为； 当点在点的右侧时，点表示的数为， ∴点所表示的数为1或7． 【变式3-3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】(1)；4 (2)2或6 【分析】 【详解】（1）解：如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 图略； （2）解：点C表示的数为或． 题型04 数轴的动点问题 解｜题｜技｜巧 记住核心口诀：右移加，左移减，先把动点运动后的位置用代数式写出来。题干给出距离、相等条件时，翻译成绝对值方程求解。解出参数后，结合题目运动范围筛选答案，不符合题意的解要舍去，不能直接全部保留。 【例7】已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 【例8】如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 【变式4-1】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【变式4-3】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)点三点在数轴上的位置如图所示， (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】 【详解】（1）解：略． （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 题型05 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 多个数排序优先把全部数字标到数轴上，右大左小一目了然。两个负数比较是高频易错点，先算出各自绝对值，绝对值越大，原数反而越小。切忌直接比对数字部分，遇到带负号的数，先分清正负再开展大小判断。 【例9】已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，这四个数中最大的是（ ） A．a B．b C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， ∴， 即最大的数是． 【例10】在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”号连接． 【答案】； 【详解】解：数轴表示见答案， 由数轴知：． 【变式5-1】如果，，比较大小：b_________（用“”、“”或“”连接）． 【答案】 【详解】解：，则数轴上表示的点位于表示的点的左边， ，则数轴上表示的点位于表示的点的右边， 可知表示的点位于表示的点的左边，因此． 【变式5-2】先画出数轴，然后在数轴上表示出下列各数并用“”连接起来： ，，，0，2，4． 【答案】如图： 【详解】略 【变式5-3】如图，已知数轴上从左到右有A，B，C，D四个点分别表示不同的数，其中点A，D对应的数分别为，，点C为原点，点B到点A与点D的距离相等． (1)点B表示的数为_________； (2)在数轴上标出点B的位置，并按从小到大的顺序用“”连接这四个数． 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）解：∵点到点、的距离相等，点A，D对应的数分别为，， ∴点B表示的数是， （2）解：数轴表示略， 用“”号把它们连接起来：． 题型06 相反数问题 解｜题｜技｜巧 求相反数直接在整体前加负号；多重符号化简只统计负号数量，偶正奇负。要跳出思维误区：未必是负数，为负数时，实际是正数。几何角度可借助数轴，互为相反数的两点到原点距离相等，可用来快速检验结果。 【例11】下列各组互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：A、，，即，不是相反数，不符合题意； B、，，，即不是相反数，不符合题意； C、和，是相反数，符合题意； D、和，不是相反数，不符合题意． 【例12】下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 【变式6-1】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是． 【变式6-2】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在数轴上表示出它们的位置如图所示： ∴从小到大排列为：． 【变式6-3】若与互为相反数，则__________． 【答案】1 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 题型07 利用绝对值求数 解｜题｜技｜巧 方程，当，一定有一正一负两组解，千万不要只写正数解。解题时刻谨记绝对值的非负性，结果不可能小于0。去掉绝对值符号前，必须先判定绝对值内部代数式的正负，不能直接去掉竖线。 【例13】计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【例14】如果a为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是___________． 【答案】156 【详解】解：∵， ∴的最小值为0， ∴式子的最大值为156． 【变式7-1】已知，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值是． 【变式7-2】已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 【答案】 四个数的绝对值之和为7 【详解】解：是最大的负整数， ． 和互为相反数， ． ， ． 将，代入得：， 化简得． ，且乘积， ，结合得． 将代入得，解得，即． ， ， 计算四个数的绝对值之和：． 【变式7-3】小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺序，可她们两个争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示． 【答案】 【详解】解：，，的绝对值是，，的相反数是， 在数轴上表示如图， 大小比较得． 题型08 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 把理解成点到原点距离，理解成两点间距。遇到求最值、范围类题型，优先画图，把代数问题转成数轴上点的移动问题。画图分析可以避开复杂代数讨论，直观找到临界点，大幅降低出错概率。 【例15】数轴上对应点A、B、C、D的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：观察数轴，点B离原点最近，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是点B． 【例16】如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和4两点之间的距离是_________，数轴上2和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为_________，的几何意义是_________． (3)求出当时的值． (4)若，则能取到的最大值是__________． (5)求的最小值，并直接写出此时x可取哪些整数值． 【答案】(1)3；5 (2)；数轴上表示x和的两点之间的距离 (3)4或 (4) (5)最小值为7，x可取的整数值为、、、0、1、2、3、4 【分析】 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式，数轴上1和4两点之间的距离为；数轴上2和两点之间的距离为． （2）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为； 因为，所以的几何意义是数轴上表示x和的两点之间的距离． （3）由可知，数轴上表示x的点到的距离为7． 分两种情况讨论： 当x在的右侧时，，解得； 当x在的左侧时，，解得． 综上所述，x的值为4或． （4）表示数轴上点x到2的距离与点x到的距离之差． 因为2与之间的距离为，若，说明点x到2的距离比到的距离大3． 结合数轴可知，当点x在的左侧（包括）时，满足条件，即，所以x能取到的最大值是． （5）表示数轴上点x到的距离与点x到的距离之和． 根据“两点之间，线段最短”，当点x位于和4之间（包括端点）时，距离之和最小，最小值为与4之间的距离，即； 此时x的取值范围是，在此范围内的整数有、、、0、1、2、3、4． 【变式8-1】已知非零有理数a，b满足，，，用数轴上的点来表示a，b正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴a是正数，b是负数， ∵， ∴C选项正确． 【变式8-2】若，则满足条件的整数有_____个． 【答案】8 【详解】解：表示数的点和表示数的点之间的距离为， 且根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴满足条件的整数有，，，，，，，，共个． 【变式8-3】已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则______． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)5或 (3)3 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得，数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为； （2）解：∵，表示数x在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离， ∵数轴上到数2在数轴上对应的点的距离为3的点为5或， ∴或； （3）解：∵表示数a在数轴上对应的点到数1和数在数轴上对应的点的距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值为到1的距离，即3． 题型09 有理数中的新定义问题 解｜题｜技｜巧 完全遵从题目给出的新规则，不凭自己旧经验随意改写运算。第一步拆解题干定义，模仿例题格式，把陌生符号替换为熟悉的四则运算。代入数字计算完，回头对照原题条件复核一遍，重点检查符号，防止看错定义丢分。 【例17】在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 【例18】小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 【变式9-1】定义：表示有理数到最近整数的距离，如，，．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．到和的距离均为，故，正确，不符合题意； B．最近的整数是，距离为，故，正确，不符合题意； C．最近的整数是，距离为，故，正确，不符合题意； D．最近的整数是，距离为，故，错误，符合题意． 【变式9-2】定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【答案】①③/③① 【详解】解：对于结论①：若，则． 由于绝对值非负性，故且， 即且， 解得， 因此结论①正确． 对于结论②：． 当时，，因此结论②错误． 对于结论③：若 a，b 异号． 当时，； 当时，； 当时，． 因此或， 综上，结论③正确． 对于结论④：取， 则， 而，两者不相等，因此结论④错误． 故答案为：①③． 【变式9-3】如果我们对有理数定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，， ，，，…… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据“乘加法”法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 【答案】(1)负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值． 故答案为：负；相加；这个数的绝对值； （2）解：，． 故答案为：，； （3）解： ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各数中互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】 【详解】解：选项A，化简：负号共2个，为偶数个，因此； 计算：的绝对值是它的相反数，因此； 两数相等，不是互为相反数，选项错误，不符合题意． 选项B，化简：负号共2个，为偶数个，因此； 和2只有符号不同，互为相反数，选项正确，符合题意． 选项C，化简：正号可直接省略，因此； 化简：正号可直接省略，因此； 两数相等，不是互为相反数，选项错误，不符合题意． 选项D，计算，因此， 两数相等，不是互为相反数，选项错误，不符合题意． 2．一批食品，标准质量为每袋 ．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）．那么，最接近标准质量的样品编号为（     ） 样品编号 与标准质量的差 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的样品编号为． 3．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2028的点与圆周上重合的点表示的数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴数轴上表示2028的点为第508个周期上的第3个数， ∴数轴上表示2028的点与圆周上重合的点表示的数字是2． 4．比较大小： _____（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ， ， 则， 故． 5．如果数a是负数，且，那么数轴上表示数a的点在表示数的点________边．（填“左”或“右”） 【答案】左 【详解】解：∵，， ∴， ∵a是负数， ∴， ∵数轴上左边的数小于右边的数， ∴数轴上表示数的点在表示的点的左边． 6．如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是__________． 【答案】 【详解】解：根据表格中的对应规则可知：百位数对应，十位数对应，个位数对应， 个位数上划上了斜线，说明此数是负数， 所以“”所表示的数是． 7．把下列各数填入相应的大括号中： (1)负有理数：{      …}； (2)整数：{      …}． 【答案】(1)， ， (2)， ， 【详解】（1）略． （2）略． 8．下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”号连接起来： ，，0，5，1，π， 【答案】，画出数轴，如图， 按从小到大的顺序用“”号连接： 【详解】略 9．观察数轴，按要求完成： (1)点A表示的数写成分数是． (2)点C到O的距离和点B到O的距离相等，但方向相反，请标出C点，并将C点表示的数字写出来． (3)在数轴上标出表示2.5和的点． 【答案】(1) (2)如图，点C即为所求； (3)数轴表示如图所示． 【详解】（1）解：点A表示的数写成分数是； （2）略 （3）略 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 10．若，，，，，，，都不为零，并且，把，，，四个数用“”号连接为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知：，，，， 即，，都是负数，为正数， 又， ． 11．的最大值是_______． 【答案】5 【详解】解：当时， ； 当时， 当时，代数式的值最大， 当时， ； 所以当时，原代数式取得最大值为5． 12．学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 【答案】2027 【详解】解：设这条线段为（点A在点B的左侧，且点A为起点） 当点A恰好在整点上时那么一共可以盖住个整点， 当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离不大于厘米时，那么一共可以盖住个整点， 当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离大于厘米时，那么一共可以盖住个整点， 综上所述，这条线段最多可以盖住2027个整点． 13．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 【答案】 ② 【分析】 【详解】解：（1）， 互为相反数， 点、对应的数分别是、， 原点在第②部分， （2）点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度， 点与点距离个单位长度， 点、对应的数分别是、，且， ， 又∵点与点距离个单位长度，点对应的数是， ∴． 14．已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 【答案】(1)1 (2)或 (3)点P对应，点Q对应或点P对应，点Q对应 【分析】 【详解】（1）解：∵点M对应的数是，点N在M右边4个单位， ∴， （2）， ①点P在点M的左边：， ②点P在点N的右边：． 故点P所对应的数是或． （3）解：①点P在点Q的左边： =12÷1 （秒）， 点P对应的数是，点Q对应的数是； ②点P在点Q的右边： =16÷1 （秒）； 点P对应的数是，点Q对应的数是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 16．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 17．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正数和负数 题型02 有理数的相关概念及分类 题型03 利用数轴求两点距离 题型04 数轴的动点问题 题型05 有理数的大小比较 题型06 相反数问题 题型07 利用绝对值求数 题型08 绝对值的几何意义 题型09 有理数中的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的分类及正负数实际意义 能准确判别有理数类别，会用正负数表示实际情境中相反意义的量。 基础必考点，以选择填空小题为主，容易忽略0、循环小数的归类。 0的特殊性质与非正、非负数识别 能辨析0的多重性质，准确识别非负数、非正数，不遗漏数字0。 隐含陷阱考点，极少单独出题，常在选项、分类题型中设置干扰。 数轴概念与基础应用 能掌握数轴三要素，会读、描数轴上点，分清有理数与数轴点的对应关系。 高频小题，常出现“有理数和数轴上点一一对应”的错误判断选项。 相反数及多重符号化简 会求任意有理数的相反数，依据负号个数完成多重符号化简运算。 必考基础小题，易错误认为一定是负数。 绝对值的代数与几何意义 会求有理数绝对值，能运用绝对值非负性做简单判断。 核心重点考点，小题高频；去绝对值容易忽略式子内部正负。 有理数的大小比较 能运用法则、数轴正确比较有理数大小，熟练完成两个负数大小比较。 常规小题；易错为直接用绝对值判断负数本身的大小。 数轴、相反数、绝对值综合题型 能结合数轴上点的位置，判断正负并化简简单绝对值、相反数式子。 中档拉分小题，期中高频综合题，融合多个知识点，陷阱较多。 知识点01有理数的分类 1.正数与负数 （1）大于0的数叫做正数；在正数前面加“”号的数叫做负数。 （2）0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 （3）非负数：；非正数：。 （4）实际意义：用正、负数表示具有相反意义的量。 2.有理数的判定 （1）有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，因此属于有理数； （3）无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数，典型例子：。 3.有理数两种分类方式 4.数字0的四大作用 作用 说明与举例 表示数的性质 0是自然数、整数、有理数 表示没有 3个苹果记作+3，没有苹果记作0 表示某种客观状态 0℃代表冰水混合物的冰点，不代表没有温度 正负数的界点 0非正非负，是中性数 知识点02数轴 1.数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2.核心知识点 （1）有理数与数轴：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数（可表示无理数）。 （2）位置规律：原点对应0，原点右侧为正数，左侧为负数。 （3）大小规律：数轴上右边的点对应的数，总大于左边的点对应的数。 知识点03相反数 1.相反数定义 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 2.几何意义 互为相反数的两个数，在数轴上的对应点特征：分布在原点两侧（0除外）、到原点距离相等、关于原点对称。 3.求解方法与符号化简 （1）求任意数的相反数：在数的前面添加负号“-”，如的相反数是。 （2）多重符号化简：数式子中负号个数，偶正奇负（偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负）。 知识点04绝对值 1.定义与表示 数的绝对值记作，分为代数意义和几何意义。 2.代数意义： 3.几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示该数的点到原点的距离，距离恒非负。 4.重要性质 （1）绝对值非负性：，绝对值结果永远不为负数。 （2）若，则（非负数）；若，则（非正数）。 （3）若，则或。 知识点05有理数的大小比较 1.常用基础方法 （1）数轴比较法：数轴上右侧的数大于左侧的数，适用于所有有理数。 （2）法则比较法：正数＞0＞负数，正数大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小。 2.拓展提升方法 （1）作差比较法：； （2）作商比较法（正数适用）： （3）倒数比较法（正数适用）：倒数越大，原数越小。 题型01 正数和负数 解｜题｜技｜巧 做题先抓住基准，实际应用题中，把基准记作0，上升、收入等记正，下降、支出等记负。一定要牢牢记住0不属于正、负数，看到“非正数、非负数”类说法，第一时间考虑0，很多题目陷阱就设置在这里，读题时圈画关键词，防止审题疏漏。 【例1】下列各数中为负数的是（     ） A． B．0 C．3 D． 【例2】不具有相反意义的量是（     ） A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱 B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元 C．5000个产品中有20个不合格产品 D．新疆白天气温零上，晚上的气温零下 【变式1-1】在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作（     ）元 A． B． C． D．6 【变式1-2】下列表示“相反意义的量”的一组是（     ） A．向东走和向南走 B．盈利100元和支出100元 C．水位上升和水位下降 D．长大2岁和减少 【变式1-3】小明将体重增加记作，那么体重减少应记作____________． 题型02 有理数的相关概念及分类 解｜题｜技｜巧 做分类题优先选定一套分类标准，要么按整数、分数划分，要么按正负划分，一套标准用到底，不要混用。有限小数、无限循环小数属于分数；这类无限不循环小数不是有理数，判断时直接排除，分类做到不重复、不遗漏。 【例3】下列各数：，，0，，，（两个1之间依次多一个0），其中有理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例4】在5，，，，中，负有理数有_____个． 【变式2-1】已知下列数字：，，2026，，，0，，其中的负分数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-2】在中，非负整数有__________个． 【变式2-3】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，，，，， 整数集合：{______________________…}； 负数集合：{______________________…}； 正分数集合：{______________________…}． 题型03 利用数轴求两点距离 解｜题｜技｜巧 数轴两点距离通用公式：两点对应数之差取绝对值，不用纠结谁大谁小。已知点求距离直接代入计算；如果其中点为字母，保留绝对值形式，不要主观默认位置，避免漏解。计算结束可在草稿简单画图验证结果。 【例5】对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【例6】如图，点、在数轴上，点表示，点表示2． (1)点表示的数是_____，点表示的数是_____； (2)在数轴上表示出点和点； (3)写出数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数． 【变式3-1】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是________． 【变式3-2】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是________； (2)若数轴上一点与点的距离为3个单位长度，求点表示的数． 【变式3-3】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 题型04 数轴的动点问题 解｜题｜技｜巧 记住核心口诀：右移加，左移减，先把动点运动后的位置用代数式写出来。题干给出距离、相等条件时，翻译成绝对值方程求解。解出参数后，结合题目运动范围筛选答案，不符合题意的解要舍去，不能直接全部保留。 【例7】已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【例8】如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【变式4-1】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【变式4-3】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 题型05 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 多个数排序优先把全部数字标到数轴上，右大左小一目了然。两个负数比较是高频易错点，先算出各自绝对值，绝对值越大，原数反而越小。切忌直接比对数字部分，遇到带负号的数，先分清正负再开展大小判断。 【例9】已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，这四个数中最大的是（ ） A．a B．b C． D． 【例10】在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”号连接． 【变式5-1】如果，，比较大小：b_________（用“”、“”或“”连接）． 【变式5-2】先画出数轴，然后在数轴上表示出下列各数并用“”连接起来： ，，，0，2，4． 【变式5-3】如图，已知数轴上从左到右有A，B，C，D四个点分别表示不同的数，其中点A，D对应的数分别为，，点C为原点，点B到点A与点D的距离相等． (1)点B表示的数为_________； (2)在数轴上标出点B的位置，并按从小到大的顺序用“”连接这四个数． 题型06 相反数问题 解｜题｜技｜巧 求相反数直接在整体前加负号；多重符号化简只统计负号数量，偶正奇负。要跳出思维误区：未必是负数，为负数时，实际是正数。几何角度可借助数轴，互为相反数的两点到原点距离相等，可用来快速检验结果。 【例11】下列各组互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例12】下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式6-1】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】若与互为相反数，则__________． 题型07 利用绝对值求数 解｜题｜技｜巧 方程，当，一定有一正一负两组解，千万不要只写正数解。解题时刻谨记绝对值的非负性，结果不可能小于0。去掉绝对值符号前，必须先判定绝对值内部代数式的正负，不能直接去掉竖线。 【例13】计算：______． 【例14】如果a为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是___________． 【变式7-1】已知，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 【变式7-3】小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺序，可她们两个争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示． 题型08 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 把理解成点到原点距离，理解成两点间距。遇到求最值、范围类题型，优先画图，把代数问题转成数轴上点的移动问题。画图分析可以避开复杂代数讨论，直观找到临界点，大幅降低出错概率。 【例15】数轴上对应点A、B、C、D的位置如图所示，则这四个点中表示的数的绝对值最小的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例16】如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和4两点之间的距离是_________，数轴上2和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为_________，的几何意义是_________． (3)求出当时的值． (4)若，则能取到的最大值是__________． (5)求的最小值，并直接写出此时x可取哪些整数值． 【变式8-1】已知非零有理数a，b满足，，，用数轴上的点来表示a，b正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】若，则满足条件的整数有_____个． 【变式8-3】已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则______． (3)求的最小值． 题型09 有理数中的新定义问题 解｜题｜技｜巧 完全遵从题目给出的新规则，不凭自己旧经验随意改写运算。第一步拆解题干定义，模仿例题格式，把陌生符号替换为熟悉的四则运算。代入数字计算完，回头对照原题条件复核一遍，重点检查符号，防止看错定义丢分。 【例17】在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【例18】小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【变式9-1】定义：表示有理数到最近整数的距离，如，，．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【变式9-3】如果我们对有理数定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，， ，，，…… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据“乘加法”法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各数中互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．一批食品，标准质量为每袋 ．现随机抽取个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，具体如下表（单位：）．那么，最接近标准质量的样品编号为（     ） 样品编号 与标准质量的差 A． B． C． D． 3．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2028的点与圆周上重合的点表示的数字是（    ） A． B． C． D． 4．比较大小： _____（填“”“”或“”）． 5．如果数a是负数，且，那么数轴上表示数a的点在表示数的点________边．（填“左”或“右”） 6．如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是__________． 7．把下列各数填入相应的大括号中： (1)负有理数：{      …}； (2)整数：{      …}． 8．下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”号连接起来： ，，0，5，1，π， 9．观察数轴，按要求完成： (1)点A表示的数写成分数是． (2)点C到O的距离和点B到O的距离相等，但方向相反，请标出C点，并将C点表示的数字写出来． (3)在数轴上标出表示2.5和的点． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 10．若，，，，，，，都不为零，并且，把，，，四个数用“”号连接为（     ） A． B． C． D． 11．的最大值是_______． 12．学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 13．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 14．已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 16．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 17．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $