4.1 第一课时 数列的概念与简单表示-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第一课时　数列的概念与简单表示 课标要求 情境导入 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类（数学抽象）. 2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数（数学抽象、数学运算）. 　　在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如，一棵树在某一时刻的高度为2 m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.你还能举出一些这样的例子吗？ 知识点一　数列的有关概念 问题　观察以下几列数： （1）全体正偶数按从小到大的顺序排成一列数：2，4，6，8，10，…； （2）当n分别取1，2，3，4，5，…时，（－1）n的值排成一列数：－1，1，－1，1，－1，…； （3）从学号1开始，记下本班的每一个同学的某次数学考试成绩：101，115，91，95，121，…，95. 以上各组数据中数有什么共同点吗？ 提示：都有确定的顺序. 1.数列的有关概念 数列 按照　确定的顺序　排列的一列数 项 数列中的每一个数 首项 数列的第1项 通项 数列中的第n项an 2.数列的表示 （1）一般形式：a1，a2，…，an，…； （2）字母表示：上面数列通常记为　{an}　. 提醒：（1）如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；（2）同一个数可以在数列中重复出现；（3）{an}表示一个数列，an表示数列中的第n项. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，0，1，0是一个数列.（　√　） （2）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（　×　） （3）数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3.（　×　） （4）数列4，7，3，4的首项是4.（　√　） （5）数列中的项可以是代数式.（　×　） 2.下列各项表示数列的是（　　） A.△ ，○，☆，□ B.211，985，211，985，211，985，… C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D.a＋b，a－b，a·b，λa 解析：B　数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合.故选B. 规律方法 判断一组元素能否构成数列的依据 （1）各项是否为“数”； （2）各数能否按照确定的顺序排成一列. 知识点二　数列的分类 问题　已知数列：（1）2，4，6，8，10，…； （2）－1，1，－1，1，－1，…； （3）5 100，5 100，5 100，5 100，5 100. 这三个数列中的不同点是什么？ 提示：从项数上来看：（3）项数有限，（1）（2）项数无限；从项的变化上来看：（1）每一项在依次变大，（2）项的大小交替变化，（3）项没有发生变化. 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数　有限　的数列 无穷数列 项数　无限　的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都　大于　它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都　小于　它的前一项的数列 常数列 各项都　相等　的数列 周期数列 项呈现周期性变化的数列 摆动数列 从第2项起，有些项　大于　它的前一项，有些项　小于　它的前一项的数列 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ （1）1，0.84，0.842，0.843，…； （2）1，3，5，7，9，…； （3）7，7，7，7，…； （4），，，，…； （5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； （6）0，－1，2，－3，4，－5，…. 解：（5）是有穷数列；（1）（2）（3）（4）（6）是无穷数列；（2）是递增数列；（1）（4）（5）是递减数列；（3）是常数列；（6）是摆动数列. 规律方法 判断数列类型的策略 　　在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递减还是常数列，要从项的变化趋势来分析；是有穷还是无穷数列，要看项的个数是有限个还是无限个. 训练1　给出下列数列： （1）1，2，22，23，24，…，263；（2）－，－，－，…，－，…；（3）1，2，3，…，10 000；（4）－2，2，－2，2，－2，2，…；（5）1，2，3，5，8，13，21，…；（6），，，，…. 其中，　（1）（3）　为有穷数列，　（2）（4）（5）（6）　为无穷数列，　（1）（3）（5）　为递增数列， 　（2）　为递减数列，　（6）　为常数列，　（4）　为摆动数列.（填序号） 解析：根据数列的分类，容易得到：（1）（3）为有穷数列，（2）（4）（5）（6）为无穷数列，（1）（3）（5）为递增数列，（2）为递减数列，（6）为常数列，（4）为摆动数列. 知识点三　数列的表示 问题　（1）如果我们以序号n为自变量，以项an为函数值，可以将数列看作函数吗？ 提示：两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数. （2）回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，你认为数列可以用上面的方法表示吗？ 提示：可以.但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义. 1.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的　序号n　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 提醒：数列的通项公式可能有多个，也可能不存在. 2.数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*　（或它的有限子集{1，2，3，…，n}） 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照　从小到大的顺序依次取值　时，对应的一列函数值构成 表示方法 （1）通项公式法（解析法）；（2）　列表法　；（3）　图象法 （链接教材P4例1）根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. （1）an＝（－1）n＋2；（2）an＝. 解：（1）数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图1所示. （2）数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如图2所示. 规律方法 1.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系. 2.图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立的点. 训练2　某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}. 解：通项公式法：an＝5n（n∈N*，n≤5）. 列表法： n 1 2 3 4 5 an 5 10 15 20 25 图象法： 提能点　数列通项公式的求解及应用 角度1　由数列的前几项写出数列的通项公式 （链接教材P5例2）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）3，5，7，9，…； 解：各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1. （2），，，，…； 解：每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，…，所以原数列的一个通项公式为an＝. （3）9，99，999，9 999，…； 解：各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. （4）－1，，－，，…. 解：这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝. 变式　（1）试写出前4项为1，11，111，1 111的数列的一个通项公式； 解：由本例的第（3）题可知，每一项除以9即可，即an＝（10n－1）. （2）试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.999 9的数列的一个通项公式. 解：an＝1－0.1n. 规律方法 根据数列的前几项求其通项公式的方法 （1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等； （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式； （3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或（－1）n＋1处理； （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 训练3　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）2×3，3×4，4×5，5×6，…； 解：由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×（2＋2），4×5＝（3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×（4＋2），…，可得an＝（n＋1）（n＋2）. （2）1，2，3，4，…； 解：此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝. （3）3，33，333，3 333，…； 解：联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列的一个通项公式为an＝（10n－1），即an＝（10n－1）. （4）－1，0，－1，0，…. 解：an＝是此数列的一个通项公式. 由于－1＝－－，0＝－＋. 联想到（－1）n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝. 角度2　数列中项的求解与判断 （链接教材P5例3）已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 解： a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. （2）－49是否为该数列的项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的项呢？ 解：令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2. 因为∉N*，－2∉N*，所以68不是该数列的项. （3）数列{an}中有多少个负数项？ 解：an＝n（3n－28），令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 变式　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值. 解：∵an＝n2－5n＋4＝（n－）2－， ∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2. 规律方法 求项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项. 训练4　已知数列5，，5，…的通项公式是an＝＋c. （1）求an； 解：因为a1＝5，a2＝，a3＝5， 所以解得 所以an＝＋1. （2）判断是不是该数列中的项？ 解：令an＝＋1＝， 解得n＝9或n＝（舍去）， 因此，是该数列中的项，并且是该数列的第9项. 1.下列说法正确的是（　　） A.{0，1，2，3，4，5}是有穷数列 B.所有正整数构成的数列是无穷数列 C.数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列 D.数列1，2，3，4，…，n是无穷数列 解析：B　因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错误；所有正整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一定次序排列的一列数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是同一数列，故C错误；数列1，2，3，4，…，n，共有n项，是有穷数列，故D错误. 2.已知数列－1，0，，，…，，…，则是其（　　） A.第14项　　　　　　　 B.第12项 C.第10项 D.第8项 解析：B　令＝，整理得5n2－72n＋144＝0，解得n＝12或n＝（舍去）.故选B. 3.数列－1，，－，，－，…的一个通项公式an＝　　. 解析：由题可知，数列－1，，－，，－，…，每项的分子为1，分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列的一个通项公式为an＝. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4. （1）a5＝　－4　； （2）150是数列中的第　16　项. 解析：（1）由已知得解得所以an＝n2－7n＋6，所以a5＝52－7×5＋6＝－4. （2）令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），所以150是该数列的第16项. （时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列说法错误的是（　　） A.数列可以用图象来表示 B.数列的通项公式是唯一的 C.数列可以用一群孤立的点表示 D.数列{2n＋1}是递增数列 解析：B　易知A、C正确；数列的通项公式不唯一，故B错误；因为y＝2n＋1在（0，＋∞）上单调递增，所以数列{2n＋1}是递增数列，故D正确.故选B. 2.已知数列{an}的通项公式为an＝（－1）n·n，则该数列为（　　） A.摆动数列 B.递减数列 C.递增数列 D.常数列 解析：A　由数列{an}的通项公式为an＝（－1）n·n知，数列的奇数项为负，偶数项为正，故数列为摆动数列. 3.已知数列{an}的通项公式为an＝，则是该数列的第（　　） A.10项 B.7项 C.5项 D.8项 解析：D　令＝，解得n＝8，负值舍去，则是该数列的第8项. 4.数列－1，，－，，…的一个通项公式是（　　） A.an＝（－1）n B.an＝（－1）n C.an＝（－1）n D.an＝（－1）n 解析：B　因为数列－1，，－，，…，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正，而分母1，3，5，7可归纳为2n－1，分子1，4，9，16可归纳为n2，故数列－1，，－，，…的一个通项公式是an＝（－1）n，故B正确. 5.下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，第51个图中的火柴棒有（　　） A.151根 B.154根 C.157根 D.160根 解析：B　第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B. 6.〔多选〕已知数列，2，，2，…，则下列说法正确的是（　　） A.此数列的一个通项公式是an＝ B.8是它的第32项 C.此数列的一个通项公式是an＝ D.8是它的第31项 解析：AB　数列，2，，2，…，即，，，，…，则此数列的一个通项公式为an＝，A正确，C错误；令＝8，解得n＝32，故B正确，D错误. 7.〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝，则下列n的值中满足an＜an＋1的有（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：ABD　由数列{an}的通项公式为an＝，可得a3＝，a4＝，a5＝4，a6＝－4，a7＝－，显然a3＜a4＜a5，a6＜a7，但a5＞a6.故满足an＜an＋1的n的值有3，4，6. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝　20　. 解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20. 9.已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数.写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝　（答案不唯一）　. 解析：符合三个条件的数列有{}，{}，{}，….（答案不唯一） 10.（13分）根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. （1）an＝n－1； （2）an＝sin. 解：（1）当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－，0，，1，.图象如图1所示. （2）当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－1，0，1，0，－1.图象如图2所示. 　　 11.设an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是（　　） A.107 B.108 C. D.109 解析：B　设f（x）＝－2x2＋29x＋3，其对称轴方程为x＝＝7，故an＝－2n2＋29n＋3在n＝7时有最大值，即（an）max＝a7＝108. 12.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（　　） A.6 B.7 C.64 D.65 解析：B　由数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1有1个，2有2个，3有3个，4有4个，5有5个，6有6个，7有7个，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7. 13.正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，10＝　2 026　. 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 …… 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1＝＋1＝2 017，则a64，10＝2 026. 14.（15分）已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. （1）求a10； （2）是不是这个数列的项？ （3）这个数列中有多少项是整数？ （4）该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 解：（1）a10＝＝. （2）令＝，解得n＝100，故是这个数列的项. （3）易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6， 故这个数列中共有4项是整数. （4）令＝n，得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2（舍去）. 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 15.（15分）在数列{an}中，an＝. （1）求数列{an}的第7项； （2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内； （3）区间（，）内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？ 解：（1）a7＝＝. （2）证明：因为an＝＝1－， 所以0＜an＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内. （3）令＜＜，则＜n2＜2，n∈N*， 解得n＝1，即在区间（，）内有数列{an}中的项，且只有1项a1. 学科网（北京）股份有限公司 $