微专题01：三角形的三边关系 讲与练 ——2026-2027学年苏科版八年级数学上册

2026-2027学年新苏科版八年级上学期数学培优微专题讲与练 微专题01：三角形的三边关系 【课本回顾】 三角形的三边关系： 苏科版八上数学课本第5页 【深度理解】 1.对三边关系的理解： 文字语言 几何语言 数学依据 图形语言 三角形的任意两边之和大于第三边； 两点之间，线段最短 三角形的任意两边之差小于第三边； 2.三角形三边关系的应用： 【强化训练】 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，4 B．1，2，3 C．2，2，4 D．3，4，8 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能组成三角形，符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能组成三角形，不符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，不符合题意． 2．把一根长为的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】A．，故不能围成三角形； B．，故不能围成三角形； C．，故不能围成三角形； D．，故能围成三角形． 3．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再选出不符合要求的选项． 【详解】解：设第三边长为，则 根据三角形三边之间的关系可得：， 即， 不在该范围内． 4．若三角形的两条边长分别是2和3，则第三条边长不可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：设第三边长为， 由三角形三边关系得， 即， 选项中只有不在该取值范围内，故第三边长不可以是． 5．如图 ，第一组小棒a、b、c的长度分别为、、；第二组小棒 d、e、f 的长度分别为、、．从这两组小棒中取出三根，能首尾顺次相接摆成三角形的是（     ） A．a、b、c B．d、e、f C．c、d、e D．c、e、f 【答案】B 【分析】判断三根小棒能否摆成三角形，看较短两根之和是否大于最长一根即可． 【详解】A．a、b、c：，不能构成三角形； B．d、e、f：，能构成三角形； C．c、d、e：，不能构成三角形； D．c、e、f：，不能构成三角形． 6．已知三角形的三边长分别为，，，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边的取值范围正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系确定a的取值范围，结合数轴表示不等式解集的方法进行判断． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，a，4 ， ∴， ∴， 在数轴上表示该不等式组的解集时，2和6处应为空心圆圈，且取中间部分，观察选项可知A符合题意． 7．在中，，，那么长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 即， ∴． 8．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 9．已知一个三角形的两边长分别为6和9，第三边长为x，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系，代入已知边长计算即可得到第三边的取值范围. 【详解】解：∵三角形的两边长为和，第三边为， ∴， ∴. 10．临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 【答案】13 【分析】根据三角形的三边关系即可列不等式组，解出即可得的取值范围，再根据x为整数，即可得x的最大值为13． 【详解】解：设第三条边长为x，则根据三角形三边关系得: ， ∴． ∵x为整数， ∴x的最大值为13． 11．若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，把当作第三边，列出不等式求出的范围，再解不等式得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系得， ， ． 12．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合已知条件表示出和，再根据三角形三边关系列出不等式，取解集的公共部分得到的取值范围． 【详解】解：∵，，为的三边，满足，， ∴联立两个等式相加得，即，两个等式相减得，即， 根据三角形任意两边之和大于第三边， 列出不等式，代入得，解得； 代入得，解得； 代入得，解得； 取三个不等式解集的公共部分，得． 13．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 14．在中，，，，其中为常数．求的取值范围_____． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形三边之间的关系．根据三角形三边之间的关系，任意两边之和大于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由三角形三边关系，得： ① ，即 ，化简得 ，解得 ； ② ，即 ，化简得 ，解得 ； ③ ，即 ，化简得 ，解得 ， 由于已满足，故的取值范围为， 故答案为：． 15．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 16．如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，把这些分散的线段集中在三角形中，利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】证明：如图所示，延长交于点E， 在中，． 在中，． 上述两式相加，得， ， ． 17．如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 18．如图，P为中任意一点．证明：． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关键． 如图：延长交于D，在中，，在中，，求出，同理，最后相加化简即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长交于D， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 同理：， ∴，即． 19．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意，利用三角形的三边关系及不等式的基本性质即可求解； （2）延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （4）利用（2）的结论和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； （4）解：由（2）得，， ， ， ∴， ∴， 即； 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即； 综上，， 故答案为：． 20．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 21．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 22．已知三角形的三边为，，； (1)化简：. (2)若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边去掉绝对值符号，再合并同类项即可得到答案． （2）根据三角形三边关系及题意得出或7，然后求周长即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别为，，， ，， ． （2）解：，， ，即． 为最长边且为整数， ， 或， 三角形的周长为或． 答：三角形的周长为或． 23．已知是的三边长，且都是整数． (1)若，设的周长是．求的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形三边关系及绝对值，熟练掌握三角形三边关系及绝对值的意义是解题的关键； （1）根据三角形三边关系可进行求解； （2）根据三角形三边关系及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴x的取值范围是； （2）解：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得， ∴ ∴ ． 24．已知是的三边长，且都是实数． (1)若，则c的取值范围是 ． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系可进行求解； （2）根据三角形三边关系及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴c的取值范围是； （2）解：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得， ， ， ∴ ∴ ． 25．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 26．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 27．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（    ） A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】C 【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6； ①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6； ②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7； ③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7． 故选：C． 28．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=_________，C′B=_________， ∴AC +CB=AC+CB′=_________． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 【分析】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决． 【详解】解：证明：证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB'，C′B=C'B'， ∴AC+CB=AC+CB′=AB'． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． ． 拓展应用：图，在BA上截取BC'=BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'， ∵BC=BC'，BD平分∠CBC'， ∴BD垂直平分CC'， ∴PC=PC'，P'C=P'C'， ∴PC+PM=PC'+PM=C'M， ∵C'P'+P'M'＞C'M， ∴PC+PM＜P'C+P'M'， ∴点P即为所求． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年新苏科版八年级上学期数学培优微专题讲与练 微专题01：三角形的三边关系 【课本回顾】 三角形的三边关系： 苏科版八上数学课本第5页 【深度理解】 1.对三边关系的理解： 文字语言 几何语言 数学依据 图形语言 三角形的任意两边之和大于第三边； 两点之间，线段最短 三角形的任意两边之差小于第三边； 2.三角形三边关系的应用： 【强化训练】 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，4 B．1，2，3 C．2，2，4 D．3，4，8 2．把一根长为的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边长不可能是（     ） A． B． C． D． 4．若三角形的两条边长分别是2和3，则第三条边长不可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图 ，第一组小棒a、b、c的长度分别为、、；第二组小棒 d、e、f 的长度分别为、、．从这两组小棒中取出三根，能首尾顺次相接摆成三角形的是（     ） A．a、b、c B．d、e、f C．c、d、e D．c、e、f 6．已知三角形的三边长分别为，，，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边的取值范围正确的是（     ） A． B． C． D． 7．在中，，，那么长度的取值范围是________． 8．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 9．已知一个三角形的两边长分别为6和9，第三边长为x，则x的取值范围是_________． 10．临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 11．若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 12．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是____． 13．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 14．在中，，，，其中为常数．求的取值范围_____． 15．已知的三边长分别为，，10．则的取值范围________． 16．如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 17．如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 18．如图，P为中任意一点．证明：． 19．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新） 如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 20．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 21．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 22．已知三角形的三边为，，； (1)化简：. (2)若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 23．已知是的三边长，且都是整数． (1)若，设的周长是．求的取值范围． (2)化简：． 24．已知是的三边长，且都是实数． (1)若，则c的取值范围是 ． (2)化简：． 25．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 26．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 27．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（    ） A．10 B．8 C．7 D．5 28．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=_________，C′B=_________， ∴AC +CB=AC+CB′=_________． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $