章末检测（四）数列-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

章末检测（四）　数列 （时间：120分钟　满分：150分） 第四章　数列 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察数列 ，－ ，（　　），－ ， ，（　　），…的特点，则括 号中应分别填入（　　） A. ，－ B. － ， C. ，－ D. ，－ 解析：由题可得数列的通项公式an＝（－1）n＋1· ，∴a3＝ ，a6＝－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册 2. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13＝ （　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 解析：由已知，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，则a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 3. 若正项数列{an}满足 － ＝0，a4＋a5＝3，则a2＋a3＝（　　） A. B. 1 C. 6 D. 12 解析：由 － ＝0可得 ＝ ，即an＋1＝ an，即数列{an}是公比q＝ 的等比数列，又a4＋a5＝3，可得a2q2＋a3q2＝（a2＋a3）q2＝3，将q＝ 代入计算可得a2＋a3＝12. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 4. 等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝ （　　） A. B. 2 C. D. 3 解析：由S6＝9S3可知q≠1，故 ＝ ＝1＋q3＝9，∴q＝2，故S5＝ ＝ ＝62，故a1＝2，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 5. 设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－ ，记数列{an}的前n项之积为Tn， 则T2 026＝（　　） A. －2 B. 1 C. －1 D. 2 解析：　由a1＝2，an＋1＝1－ ，得a2＝1－ ＝ ，a3＝1－ ＝－1， a4＝1－ ＝2，…，则数列{an}是以3为周期的周期数列，又a1a2a3＝2× ×（－1）＝－1，且2 026＝3×675＋1，∴T2 026＝（－1）675＋a1＝－1＋2 ＝1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 6. 在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国 的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用 竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹 筒等.某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒 的容积a1，a2，…，a9（单位：L）依次成等差数列，若a1＋a2＋a3＝3， a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝（　　） A. 5.4 B. 6.3 C. 7.2 D. 13.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　因为a1，a2，…，a9依次成等差数列，a1＋a2＋a3＝3，所以3a2 ＝3，即a2＝1，又a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝ ＝ ＝ ＝6.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4（a1＋a3＋…＋a2n－1），a1a2a3＝27，则a6＝（　　） A. 27 B. 81 C. 243 D. 729 解析：由已知得 解得 即公比q＝ ＝3，所以a6＝a1q6－1＝1×35＝243. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 8. 已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋a8＝1，且 ＝ （n＝1，2，…， 7），则a1＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：因为 ＝ ，则an＝a1· · ·…· ＝a1· · ·…· ＝ ·a1＝2a1（ － ）（n＝2，…，7， 8），当n＝1时，a1＝2a1（1－ ）＝a1，符合上式，故an＝2a1（ － ）（n＝1，2，…，7，8），所以a1＋a2＋…＋a8＝2a1［（1－ ）＋ （ － ）＋…＋（ － ）］＝2a1（1－ ）＝ ＝1，解得a1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－7，S2＝－12，则下列结 论正确的是（　　） A. an＝2n－9 B. {an}为递减数列 C. a3＋a6＝0 D. S7＝a1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝－7，S2＝－12，可得a2＝S2－a1＝－12－（－7）＝－5，解得d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝－7＋2（n－1）＝2n－9，所以A正确；因为d＝2＞0，所以数列{an}为递增数列，所以B错误；由a3＝－3，a6＝3，可得a3＋a6＝0，所以C正确；因为S7＝7×（－7）＋ ×2＝－7，所以S7＝a1，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 10. 若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），则下列结论 正确的是（　　） A. a5＝－16 B. S5＝－31 C. 数列{an}是等比数列 D. 数列{Sn＋1}是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn＋3）（n∈N*）在函数y＝ 3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an（n∈N*），其前n项和 为Tn，则下列结论正确的是（　　） A. Sn＝2Tn B. Tn＝2bn－1 C. Tn＞an D. Tn＜bn＋1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：因为点（n，Sn＋3）在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－（3×2n－1－3）＝3×2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式，所以an＝3×2n－1.设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.对于A，Sn＝3×2n－3≠2Tn＝2×2n－2，故A错误；对于B，2bn－1＝2n－1＝Tn，故B正确；对于C，Tn－an＝2n－1－3×2n－1＝－ －1＜0，故Tn＜an，故C错误；对于D，Tn－bn＋1＝2n－1－2n＝－1＜0故Tn＜bn＋1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a6＝4a4，记Sn为数列{an}的前 n项和，若Sm＝63，则m＝ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，且q＝ ＝2，且Sm＝ ＝2m－1＝63，所以2m＝64，解得m＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 13. 在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列， 将这n＋2个数的乘积记作Tn，令an＝log3Tn，则数列{an}的通项公式 是 ⁠. 解析：设这n＋2个数构成的等比数列的公比为q，则3＝1×qn＋1，即qn＋1 ＝3，所以Tn＝1×q×q2×…×qn×3＝3 ＝3（qn＋1 ＝ ，所以an＝log3Tn＝ ＋1. an＝ ＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 14. 已知数列{an}满足a1＝ ， ＝ ，若a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋ a1a2…an≤ 成立，则n的最大值为 ⁠. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：因为数列{an}满足a1＝ ， ＝ ，可得 ＝ ＋1，可得 数列{ }是首项为3，公差为1的等差数列，则 ＝3＋n－1＝n＋2，即an ＝ ，则a1a2a3…an＝ × × ×…× · ＝ ＝2 （ － ），可得a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2a3…an＝2（ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ）＝2（ － ）＝1－ ，因为a1＋a1a2 ＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤ ，可得 ≥ ，解得n≤6，即所求n的最大 值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. （1）求{an}的通项公式； 解：因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3 ＝a3，求Sn. 解：由（1）得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，设{bn}的公差为d，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2，所以Sn＝13n＋ ×（－2）＝－n2＋14n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 16. （本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝ ，且当 n≥2（n∈N*）时，2Sn·Sn－1＝－an. （1）证明：数列{ }是等差数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解：证明：因为2Sn·Sn－1＝－an（n≥2）， 所以2Sn＋1·Sn＝－an＋1， 则2Sn·Sn＋1＝Sn－Sn＋1. 因为S1＝a1＝ ≠0，易知Sn≠0， 所以 ＝ － ＝2. 又 ＝ ＝2， 所以数列{ }是首项与公差都为2的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）设数列{bn}满足bn＝ ，求b1＋b101的值. 解：由（1）得 ＝2＋2（n－1）＝2n，则Sn＝ ， 当n＝1时，b1＝ ＝ ＝ ＝－2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ · ， 所以bn＝ ＝ ，所以b1＋b101＝－2＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 17. （本小题满分15分）已知首项为1的等差数列{an}满足：a1，a2，a3＋ 1成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设{an}的公差为d，又a1，a2，a3＋1成等比数列， 所以 ＝a1（a3＋1），即（a1＋d）2＝a1（a1＋2d＋1）， 又a1＝1，即（1＋d）2＝2＋2d， 解得d＝1或d＝－1， 而当d＝－1时，a2＝a1＋d＝0，不满足a1，a2，a3＋1成等比数列，所以 d＝1，所以an＝1＋（n－1）×1＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若数列{bn}满足：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1＝3n－1，求数列{bn}的 前n项和Tn. 解：令Dn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1＝3n－1， 所以Dn＋1＝a1bn＋1＋a2bn＋…＋an＋1b1＝3n＋1－1， 两式相减得Dn＋1－Dn＝a1bn＋1＋（bn＋bn－1＋…＋b1）＝2·3n， 所以数列{bn}的前n＋1项和为2·3n，即Tn＋1＝2·3n， 又D1＝a1b1＝2，即b1＝2，所以b1＋b2＋…＋bn＝2·3n－1， 所以Tn＝2·3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 18. （本小题满分17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机 生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、 维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持 在100万元. （1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解：设引进该生产线n年后总盈利为f（n）万元，设除去该生产线引进费用，第n年的成本为an，由题意知{an}是等差数列，前n年成本之和为［24n＋ ×8］万元， 所以f（n）＝100n－[24n＋4n（n－1）＋196]＝－4n2＋80n－196＝－ 4（n－10）2＋204，n∈N*， 所以当n＝10时，f（n）max＝204（万元）， 即引进该生产线10年后总盈利最大，为204万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 解：设n年后平均盈利为g（n）万元， 则g（n）＝ ＝－4n－ ＋80，n∈N*， 即g（n）＝－4（n＋ ）＋80， 当n∈N*时，n＋ ≥2 ＝14， 当且仅当n＝ ，即n＝7时取等号， 故当n＝7时，g（n）max＝g（7）＝24（万元）， 即引进该生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 19. （本小题满分17分）设数列{an}的前n项和为Sn.若 ≤ ≤2 （n∈N*），则称{an}是“紧密数列”. （1）已知数列{an}是“紧密数列”，其前5项依次为1， ， ，x， ， 求x的取值范围； 解：因为数列{an}为“紧密数列”，所以x≠0，且 解得 ≤x≤ ，故x的取值范围为［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若Sn＝ （n2＋3n），判断{an}是不是“紧密数列”，并说明理 由； 解：数列{an}为“紧密数列”.理由如下： 当n＝1时，a1＝S1＝ ×（1＋3）＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ （n2＋3n）－ [（n－1）2＋3（n－1）] ＝ n＋ ， 又 ＋ ＝1＝a1，所以a1＝1满足上式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 所以an＝ n＋ （n∈N*）， 所以对任意n∈N*， ＝ ＝ ＝1＋ ∈（1，2）， 所以数列{an}为“紧密数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数 列”，求q的取值范围. 解：因为数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn， 所以当q＝1时，an＝a1，Sn＝na1， 所以 ＝1， ＝ ＝1＋ ∈（1，2]， 所以{an}和{Sn}都是“紧密数列”，满足题意. 当q≠1时，an＝a1qn－1，Sn＝ ， 因为{an}为“紧密数列”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 所以 ≤ ＝q≤2，即 ≤q＜1或1＜q≤2， 当 ≤q＜1时， ＝ ＞ ＝1， ＝ ≤ ＝ ＝1＋qn＜2， 所以1＜ ＜2，所以{Sn}为“紧密数列”，满足题意； 当1＜q≤2时， ＝ ＝1＋q＞2， 所以{Sn}不是“紧密数列”，不符合题意. 综上，实数q的取值范围是［ ，1］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 $