第四章 培优课 数列前n项和的求法-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

培优课　数列前n项和的求法 第四章　数列 1 重点解读 1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式（数学运算）. 2.掌握并项转化法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和方法 （数学运算）. 一、并项转化法求和 已知数列an＝（－1）nn，求数列{an}的前n项和Sn. 解：若n是偶数，则Sn＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋[－ （n－1）＋n]＝ ； 若n是奇数，则Sn＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋[－（n －2）＋（n－1）]＋（－n）＝ －n＝－ . 综上所述，Sn＝ 数学·选择性必修第二册 规律方法 并项转化法求和的解题策略 （1）一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数列 时，可以采用并项转化法求和； （2）在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所以一 般需要对项数n进行分类讨论，最终的结果往往可以用分段形式来表示. 数学·选择性必修第二册 训练1　计算：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝ ⁠. 解析：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝（12－22）＋（32－42）＋…＋ （992－1002）＝（1－2）×（1＋2）＋（3－4）×（3＋4）＋…＋（99－ 100）×（99＋100）＝－（1＋2＋3＋4＋…＋99＋100）＝－5 050. －5 050 数学·选择性必修第二册 二、分组转化法求和 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点（Sn，an＋1）在直线y＝3x ＋1上. （1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 解：因为点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1， 于是an＋1－an＝3（Sn－Sn－1），即an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3S1＋1，即a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时数列{an}是等比数列. 数学·选择性必修第二册 （2）在（1）的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的 前n项和，求Tn. 解：由（1）可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n） ＝（40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n） ＝ ＋ . 数学·选择性必修第二册 规律方法 分组求和法的常见类型及解法 数学·选择性必修第二册 训练2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数， 且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. （1）求{an}，{bn}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q（q＞0）， 依题意得 解得d＝q＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n，数列{bn}的通项公式为bn＝2n. 数学·选择性必修第二册 （2）记cn＝ （k∈N*），求数列{cn}的前21项的和. 解：由（1）知，a2k－1＝4k－2，数列{a2k－1}是等差数列，首项为2，公差 为4，b2k＝22k＝4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 而cn＝ （k∈N*）， 则数列{cn}的前21项的和T21＝（a1＋a3＋…＋a21）＋（b2＋b4＋…＋ b20）＝11×2＋ ×4＋ ＝ ， 所以数列{cn}的前21项的和为 . 数学·选择性必修第二册 三、裂项相消法求和 已知等差数列{an}中，a4＋a5＝3a3，2a3－a5＝1. （1）求{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d， 由 得 解得 所以数列{an}的通项公式是an＝a3＋（n－3）d＝n. 数学·选择性必修第二册 （2）设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：由（1）知，bn＝ ＝ （ － ）， 所以Sn＝ ［（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋（ － ）］＝ （1＋ － － ）＝ － . 数学·选择性必修第二册 规律方法 裂项相消法的原则与规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项 的规律为止； （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后 边就剩倒数第几项； （3）裂项时常用的公式如下： ① ＝ （ － ）（k≠0）； ② ＝ （ － ）； ③ ＝ （ － ）（k≠0）. 数学·选择性必修第二册 训练3　（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，S11＝66，则数 列{ }的前99项和为（　C　） A. 7 B. 8 C C. 9 D. 10 解析： 依题意，S11＝ ×11＝11a6＝66，所以a6＝6，因为a2＝ 2，由d＝ ＝1，易知an＝n，所以 ＝ ＝ － ，所以数列{ }的前99项和为（ －1）＋（ － ） ＋…＋（ － ）＝ －1＝9. 数学·选择性必修第二册 （2）已知an＝ ，则数列{an}的前n项和Sn＝ ⁠. 解析： 由an＝ ，设2n＋3＝m，则an＝ ＝ （ － ），即an＝ （ － ），所以Sn＝ ［（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）］＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 四、错位相减法求和 若an＝ ，求数列{an}的前n项和Tn. 解：由题意得Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，　① Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，　② ①－②得 Tn＝1＋（ ＋ ＋…＋ ）－ ＝1＋ － ＝1＋ － － ＝ － ， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝3－ . 数学·选择性必修第二册 规律方法 错位相减法的使用范围和注意事项 （1）使用范围：如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列 {an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法； （2）注意事项：在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错 项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 数学·选择性必修第二册 训练4　已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公差为d， 因为a1＋a3＝2a2，a1＋a2＋a3＝12， 所以a2＝4. 又a1＝2，所以d＝4－2＝2. 所以an＝2n，n∈N*. 数学·选择性必修第二册 （2）令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：由bn＝an·3n＝2n·3n，得 Sn＝2·3＋4·32＋…＋（2n－2）·3n－1＋2n·3n，　① 3Sn＝2·32＋4·33＋…＋（2n－2）·3n＋2n·3n＋1，　② ①－②得－2Sn＝2（3＋32＋33＋…＋3n）－2n·3n＋1＝3（3n－1）－ 2n·3n＋1， 所以Sn＝ ＋（n－ ）×3n＋1，n∈N*. 数学·选择性必修第二册 课时作业>>（时间：45分钟　满分：76分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 20 1. 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 （　　） A. 2n＋n2－1 B. 2n＋1＋n2－1 C. 2n＋n－2 D. 2n＋1＋n2－2 解析：运用分组转化法求和，得数列{an}的前n项和Sn＝ ＋ ＝2n＋1－2＋n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 数学·选择性必修第二册 2. 数列{an}的通项公式为an＝（－1）n－1·（4n－3），则它的前100项 之和S100＝（　　） A. 200 B. －200 C. 400 D. －400 解析：依题意S100＝（4×1－3）－（4×2－3）＋（4×3－3）－…－（4×100－3）＝4×[（1－2）＋（3－4）＋…＋（99－100）]＝4×（－ 50）＝－200.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝ （n∈N*），Sn＝10， 则n＝（　　） A. 90 B. 119 C. 120 D. 121 解析：　因为an＝ ＝ － （n∈N*），所以Sn＝（ －1）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝ －1＝10，所以n ＋1＝121，所以n＝120. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 4. 在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），则该数 列的前100项之和是（　　） A. 18 B. 8 C. 5 D. 2 解析：因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），所以a3＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，a7＝－2＋3＝1，a8＝1＋2＝3，a9＝3－1＝2，…，所以{an}是周期为6的周期数列，因为100＝16×6＋4，所以S100＝16×（1＋3＋2－1－3－2）＋（1＋3＋2－1）＝5.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 5. 化简Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果 是（　　） A. 2n＋1＋n－2 B. 2n＋1－n＋2 C. 2n－n－2 D. 2n＋1－n－2 解析：Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1　①，2Sn＝n×2＋（n－1）×22＋（n－2）×23＋…＋2×2n－1＋2n　②，②－①得，Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋ ＝－n ＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 6. 已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{an cos nπ}的 前2 026项和为（　　） A. 1 012 B. 1 013 C. 2 024 D. 2 026 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 解析：　设数列{an}的公差为d，则 解得 ∴an＝2n－1，设bn＝an cos nπ，∴b1＋b2＝a1 cos π＋a2 cos 2π ＝2，b3＋b4＝a3 cos 3π＋a4 cos 4π＝2，…，∴数列{an cos nπ}的前2 026 项和S2 026＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（b2 025＋b2 026）＝2× ＝ 2 026. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 7. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋ 1＋an＝0（n∈N*）.记Tn＝ ＋ ＋…＋ （n∈N*），则下列说法正确 的是（　　） A. {an}为等差数列 B. an＝n＋1 C. Sn＝ D. Tn＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 解析：由an＋2－2an＋1＋an＝0变形得an＋2－an＋1＝an＋1－an，即{an}为等差数列，因为a1＝1，a2＝2，所以an＝n，Sn＝ ， ＝ ＝2（ － ），所以Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝2（1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝2（1－ ）＝ ，故A、C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 8. 若数列{an}满足an＝ 则a1＋a2＋a3＋…＋a10 ＝ .（用具体数值作答） 解析：由题意可得：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋25＝ （1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝ ＋ ＝45＋ 62＝107. 107 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 9. 已知函数f（x）＝ ，则f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＋f（1）＋ f（2）＋…＋f（8）＋f（9）＝ ⁠ 解析：因为f（x）＝ ，所以f（x）＋f（ ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝1，设f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（8） ＋f（9）＝m①，则f（9）＋f（8）＋…＋f（2）＋f（1）＋f（ ）＋… ＋f（ ）＋f（ ）＝m②，①＋②得17×1＝2m，所以m＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 10. （15分）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝ 30，且a1，a2，a4成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由{an}为等差数列，d≠0，前n项和为Sn，且S5＝30，得30＝5a1＋10d，　① ∵a1，a2，a4成等比数列，∴ ＝a1·a4， 即（a1＋d）2＝a1（a1＋3d），　② 由①②解得 ∴数列{an}的通项公式为an＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）若bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由bn＝ ，an＝2n，得bn＝ ＝ （ － ）.则数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 11. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＋3an＝6n＋4 （n∈N*）. （1）求证：数列{an－3}是等比数列； 解：证明：当n＝1时，2S1＋3a1＝6＋4， ∴a1＝2，当n≥2时，有 两式相减得2an＋3an－3an－1＝6，∴5an－3an－1＝6， 故an－3＝ （an－1－3），又a1－3＝－1≠0， ∴数列{an－3}是以－1为首项， 为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）求数列{nan}的前n项和Tn. 解：由（1）可得an－3＝－1×（ ）n－1， ∴an＝3－（ ）n－1， ∴nan＝3n－n·（ ）n－1， 令Wn＝1×（ ）0＋2×（ ）1＋3×（ ）2＋…＋n·（ ）n－1，　① 两边同乘 ，得 Wn＝ ＋2×（ ）2＋…＋（n－1）·（ ）n－1＋ n·（ ）n，　② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 ①－②得 Wn＝1＋ ＋（ ）2＋…＋（ ）n－1－n·（ ）n＝ －n·（ ）n＝ －（n＋ ）·（ ）n，∴Wn＝ －（ n＋ ）·（ ）n， 则Tn＝3（1＋2＋3＋…＋n）－Wn＝ －Wn＝ ＋（ ＋ ）·（ ）n－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 $